2025--2026年湖南省邵阳市武冈市高三上学期中考数学练习试卷2（含答案）

2025--2026年湖南省武冈市高三上学期中考数学练习试卷2
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．[5分]已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[5分]若关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．70 B．90 C．180 D．495
5．[5分]某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
6．[5分]下列选项不正确的是（ ）
A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是
C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2
7．[5分]已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知全集，集合，且集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．[5分]设集合，或，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．[5分]已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 .
13．[5分]已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 ．
14．[5分]在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；若5次全不中，则不合格.新兵参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则________.
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[10分]如图（1）所示，在中，，，，E为AC中点.过点E作，垂足为现将沿EF翻折至，如图（2）所示，连接PB，PC，过点P作，垂足为G，且
（1）若平面平面，求证：；
（2）求二面角的正弦值.
16．[16分]某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
17．[18分]已知椭圆．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程．
18．[16分]如图，某研学基地的篱笆墙是由三条满足，的直线段，，和一条余弦曲线段构成的平面图形，其基准点到标记点，，的距离分别为：，，．曲线段上任意一点的高度满足函数：，其中，为到的距离．现将篱笆墙卷曲在下底面中心为，半径为4、高为23的圆柱侧面上，并使篱笆墙底部线段刚好圈在圆柱底面圆周上．记经过，，三点的平面为．
（1）求平面与圆柱的轴线所成角的正弦值；
（2）证明：平面，且在平面内存在两定点，，使得为定值；
（3）设，是篱笆墙卷曲后曲线段上的两点，求面积的最大值．
19．[20分]已知函数.
（1）证明：.
（2）若，求的取值范围.
（3）证明：.（参考数据：取）
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意得，，
所以复数的虚部为.
故选C.
2．【答案】A
【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以，
所以．
故选A.
3．【答案】B
【详解】和是正确的；①②正确；
因为，故③是错误的；因为故④是错误的；
故⑤是错误的．
故选B.
4．【答案】A
【详解】关于的不等式的解集为或,
则有得故.故选.
5．【答案】D
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选D.

6．【答案】D
【详解】对于A：当时，，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确；
对于B：当，则，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确；
对于C：当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确；
对于D：令，所以，
由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误.
故选D.
7．【答案】D
【详解】对于AB，由题意知，则曲线在点（）处的切线的斜率，
又，即，故A，B错误；
对于CD，作函数与的图象如图，
设交点分别为，，，
过点B作x轴的平行线与（）的图象交于D，E两点，
则，，
由的函数图象可知，
即，所以，故C错误，D正确.
故选D.

8．【答案】C
【详解】因为，所以，
即，所以，
令，求导得，
所以在上单调递增，
而，即，
从而，所以，
令，，
求导得，，，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】由条件可知，集合中的元素有2和4，则集合中没有2和4，故A错误，B正确；
集合中没有元素6，所以集合中有元素6，故C正确；
因为集合中没有元素8，所以8是否属于集合不确定，故D错误.
故选BC
10．【答案】ABC
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，无解，
所以若，则，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】BD
【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误，
对于B，若，，则，故B正确，
对于C，若，，则或者，故C错误，
对于D，若，，则，D正确，
故选BD
12．【答案】
【详解】已知直线斜率为2且经过点，
由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.
13．【答案】1
【详解】因为是定义在R上的奇函数，故可得，
又为偶函数，所以有：，
所以有，即，
所以，故以8为周期，
故，
因为当时，，所以．
14．【答案】
【详解】由题知,至少射击4次合格通过的概率为,
所以,
令,解得.
故在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得最大值,故．
【名师点拨】
用表示至少射击4次合格通过的概率,并利用导数研究其在上的最值即可.
15．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）在图（1）中，，，所以，，
为AC的中点，，所以，，
，所以G为AB的中点，所以，
在图（2）中，平面PEG，平面PEG，
所以平面，
平面，平面平面，所以；
（2）在图（2）中，因为，，，PF、平面PBF，
所以平面PBF，
又平面EFBC，所以平面平面EFBC，
因为平面平面，，所以平面
由（1）知，即，又，所以，
过在平面内作，
以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面PEC的法向量为，
则，
令，解得，所以
设平面PBC的法向量为，
则，
令，解得，所以，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.
16．【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
17．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）椭圆．化为标准方程：，
椭圆长半轴长为，短半轴长为b，
．
（2），斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，
设斜率为1的直线l的方程为，且、，
，
椭圆C的方程为：，
由，消去y得，
，解得，
有，，
，
解得，即，
直线l的方程为．
18．【答案】（1）
证明见详解
（3）．
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由取得，
圆柱轴线的方向向量为，设平面与圆柱的轴线所成角为，
．
（2），可知，
故曲线段上任意点均在平面内，
线段的中点为，，
设，，
则，，都在平面内，
又，
，
所以，
，
所以，
（3）由（2）得曲线段卷曲后形成了一个平面椭圆，在平面内，以椭圆的中心为原点，
为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，由（2）可得，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为，
为长轴左顶点，
当平行于轴时，．
当不平行于轴时，设直线，与联立得
，，
．
令，则．
当时，不存在，舍去．
当时，．
若即且，
则．
若即，则．
若即且，
则．
当且仅当，时等号成立．
而，因此面积的最大值为．
19．【答案】（1）见详解
（2）
（3）见详解
【详解】（1）证明：.
设，则，所以为增函数，
所以，
所以在上单调递增，所以.
（2）解法1：等价于.
设，
则，
令，则，又，
在区间上，则函数单调递增，进而，
所以在上单调递减.
当时，，则在上单调递减，
又因为，所以恒成立.
当时，因为，
所以，则在上单调递增，
则当时，，这与矛盾，则不符合题意.
综上，的取值范围为.
解法2：因为，所以只需满足，
即.
设，则，
由（1）知，则，
则为减函数.
当时，，
由洛必达法则，得.
所以的取值范围为.
（3）证明：对于，令，得，
所以.
令，得，所以.
由（2）知，当时，.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以，
所以，即，
又，所以.
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