北京市铁路第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市铁路第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 534.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-21 00:00:00 | ||
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文档简介
铁二中高三年级10月月考数学试题
2025.10
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 设，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增是（ ）
A. B.
C. D.
4. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，在下列区间中，包含零点区间是
A. B. C. D.
6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A. B. C. D.
9. 某物体飞行轨迹是抛物线，上升高度h（单位：米）与时刻t（单位：秒）满足函数关系（a，b，c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到高度最高时的时刻为（ ）
A. 3.50秒 B. 3.75秒 C. 4.00秒 D. 4.25秒
10. 已知集合，集合，，满足
①每个集合都恰有5个元素；
②.
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（ ）
A. 39 B. 48 C. 57 D. 59
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 命题：，的否定是______.
12. 函数的定义域是______.
13. 若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为______.
14. 若，则函数的最小值为______，此时______.
15. 已知函数，现给出如下命题：
①当时，；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极大值；
④存在，使得对任意，都有.
其中真命题序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，.求数列的前项和.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）求在区间上的最小值.
18. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：
场次 投篮次数 命中率 场次 投篮次数 命中率
主场1 22 客场1 18
主场2 15 客场2 13
主场3 12 客场3 21
主场4 23 客场4 18
主场5 24 客场5 25
（1）估计李明在主场比赛中的命中率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率；
（3）记为表中主场命中次数的方差，为表中客场命中次数的方差.试比较与的大小.（只需写出结论）
19. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20 已知函数，.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在区间的最小值为1，求的值.
21.
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且;
(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. B
2. D
3. C
4.A
5. C
6. A
7. C
8. D
9. B
10.D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. ，
12.
13.
14. ①. ②.
15. ②③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （1）由题意得，解得，
则；
（2）由（1）得，所以，解得，
当时，，；
当时，，；
17. （1）由题设，
所以的最小正周期为，
令，则，
所以单调递减区间为；
（2）由，则，故，
所以在区间上的最小值为.
18. （1）由表格知，李明在主场命中次数为，
所以李明在主场比赛中的命中率为；
（2）由表格，李明在5个主场中有3个命中率超过，在5个客场中有2个命中率超过，
所以李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率为；
（3）由（1）主场命中次数依次为，平均数为，
所以，
客场命中次数依次为，平均数为，
，
所以.
19. （1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
20. （1）时，，，
，故，
故的图象在点处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，
，
当时，恒成立，故在上单调递减，
当时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3），
由（2）知，当时，在上单调递减，
故，故，解得，不合要求；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
若，即时，故在上单调递增，
，故，解得，满足要求；
若，即时，在上单调递减，
，故，解得，不合要求；
若，即时，上单调递减，在上单调递增，
所以，故，解得，不满足，舍去；
综上，.
21. （Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）
=3
(Ⅱ)证明：设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
当时，
所以
(Ⅲ)证明：设
记由（Ⅱ）可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数．则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数．
2025.10
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 设，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增是（ ）
A. B.
C. D.
4. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，在下列区间中，包含零点区间是
A. B. C. D.
6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A. B. C. D.
9. 某物体飞行轨迹是抛物线，上升高度h（单位：米）与时刻t（单位：秒）满足函数关系（a，b，c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到高度最高时的时刻为（ ）
A. 3.50秒 B. 3.75秒 C. 4.00秒 D. 4.25秒
10. 已知集合，集合，，满足
①每个集合都恰有5个元素；
②.
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（ ）
A. 39 B. 48 C. 57 D. 59
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 命题：，的否定是______.
12. 函数的定义域是______.
13. 若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为______.
14. 若，则函数的最小值为______，此时______.
15. 已知函数，现给出如下命题：
①当时，；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极大值；
④存在，使得对任意，都有.
其中真命题序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，.求数列的前项和.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）求在区间上的最小值.
18. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：
场次 投篮次数 命中率 场次 投篮次数 命中率
主场1 22 客场1 18
主场2 15 客场2 13
主场3 12 客场3 21
主场4 23 客场4 18
主场5 24 客场5 25
（1）估计李明在主场比赛中的命中率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率；
（3）记为表中主场命中次数的方差，为表中客场命中次数的方差.试比较与的大小.（只需写出结论）
19. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20 已知函数，.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在区间的最小值为1，求的值.
21.
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且;
(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. B
2. D
3. C
4.A
5. C
6. A
7. C
8. D
9. B
10.D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. ，
12.
13.
14. ①. ②.
15. ②③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （1）由题意得，解得，
则；
（2）由（1）得，所以，解得，
当时，，；
当时，，；
17. （1）由题设，
所以的最小正周期为，
令，则，
所以单调递减区间为；
（2）由，则，故，
所以在区间上的最小值为.
18. （1）由表格知，李明在主场命中次数为，
所以李明在主场比赛中的命中率为；
（2）由表格，李明在5个主场中有3个命中率超过，在5个客场中有2个命中率超过，
所以李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率为；
（3）由（1）主场命中次数依次为，平均数为，
所以，
客场命中次数依次为，平均数为，
，
所以.
19. （1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
20. （1）时，，，
，故，
故的图象在点处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，
，
当时，恒成立，故在上单调递减，
当时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3），
由（2）知，当时，在上单调递减，
故，故，解得，不合要求；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
若，即时，故在上单调递增，
，故，解得，满足要求；
若，即时，在上单调递减，
，故，解得，不合要求；
若，即时，上单调递减，在上单调递增，
所以，故，解得，不满足，舍去；
综上，.
21. （Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）
=3
(Ⅱ)证明：设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
当时，
所以
(Ⅲ)证明：设
记由（Ⅱ）可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数．则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数．
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