中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一元二次方程
考点类型
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）若是关于的一元二次方程，则可以为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数时2（二次）的方程，叫做一元二次方程”即可得．
【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、，整理得，选项说法正确，符合题意；
C、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、，是元元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是，（2）二次项系数不为，（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，二次项系数不为，故是一元二次方程；②，只有当时，才是一元二次方程，故不是一元二次方程；③，整理得，未知数最高次数为，不是一元二次方程；④是分式方程，不是一元二次方程，
综上所述，①为一元二次方程，一元二次方程只有个．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可．
【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，
∴A、属于一元二次方程，符合题意；
B、不是等式方程，不符合题意；
C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程．
考点2：一元二次方程的一般式
典例2：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可．
【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A． B．5，4 C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式，
二次项系数和一次项系数分别为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】先移项化为一般式，即可得答案．
【详解】解：，
，
则，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．
考点3：一元二次方程解的应用
典例3：（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）若实数是关于的一元二次方程的两个根，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用是一元二次方程的根可得，则，同理可得：，结合即可得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】C
【分析】根据方程的根的定义，得到，整体代入代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键是掌握方程的解是使等式成立的未知数的值．
【变式2】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当时，，
当时，，
使方程成立的一个解应该在与之间，
．
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解.
【详解】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则
即有一根为
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.
考点4：解一元二次方程
典例4：（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用配方法求解方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：因式分解法、公式法、配方法、直接开方法是解解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据求一个数的立方根的方法，即可求解．
【详解】（1）
∴，
∴，
（2）
∴
∴
∴
【点睛】本题考查解一元二次方程和求一个数的立方根，解题的关键是掌握法则，正确计算．
【变式2】（2022秋·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，．
(2)，．
【分析】（1）先计算，再利用求根公式解方程即可；
（2）直接利用开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）∵，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用公式法与直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）用合适的方法解下列方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）整理后利用直接开平方法解该一元二次方程即可；
（2）利用配方法解该一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解该一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
∴，
（2）解：
∴，
（3）解：
或
∴，
（4）解：
或
∴，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
考点5：根的判别式
典例5：（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，由即可得到结论；
（2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
，
∵，
∴，
∴一元二次方程总有两个实数根；
（2），
∵，
∴，
，
∵方程两个根均为整数，且k为正整数，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先计算△，化简得到，易得，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【详解】（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
(2)若方程有一个根大于3，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用根的判别式证明即可；
（2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a＜－2．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论a取任何实数，此方程总有实数根．
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，，
∵方程有一个根大于3，
∴，解得：a＜－2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程．
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为最大正整数时，求方程的根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，求出最大正整数的值，代入方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∴；
（2）∵，
∴最大正整数的值为2，
∴方程化为：，
即，
∴．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系．
考点6：根的判别式的应用
典例6：（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）阅读下面材料，并完成问题．
任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”．
探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？
小亮同学是这样探究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
由①，得，③
把③代入②，得，
整理，得．
，
的“兄弟矩形”B存在．
（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？
（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件．
【答案】（1）不存在；（2）
【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可；
（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．
【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
由①，得，③
把③代入②，得，
整理，得，
，
的“兄弟矩形”B不存在．
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
由题意，得
由①，得，③
把③代入②，得，
整理，得，
，
又都是正数，
当时，A的“兄弟矩形”B存在．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期中）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．
（1）已知x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，求c的值；
（2）若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，求证：它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．
【答案】（1）-；（2）见解析；（3）a＝2或a＝﹣2，c＝0
【分析】（1）先写出x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，然后把x＝2代入cx2+2x+1＝0可求出c的值；
（2）根据判别式的意义，由方程ax2﹣2x+c＝0无解得到ac＞1，再写出一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，计算倒方程的判别式，从而得到结论；
（3）利用倒方程只有一个解可判断倒方程为一元一次方程，则c＝0，解此方程得，把代入ax2﹣2x＝0得，然后解关于a的方程即可．
【详解】（1）解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，
把x＝2代入cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝-；
（2）证明：∵一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，
∴△＝（﹣2）2﹣4ac＜0，
∴ac＞1，
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，
∵△′＝（﹣2）2﹣4ca＝4﹣4ac，
而ac＞1，
∴△′＜0，
∴它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，
而倒方程只有一个解，
∴c＝0，则﹣2x+a＝0，解得，
把代入ax2﹣2x＝0得，
而a≠c，
∴a＝2或a＝﹣2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
【变式2】（2022秋·福建莆田·九年级莆田第二十五中学校考阶段练习）已知关于x的方程
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边的长为这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.
【答案】（1）见解析；（2）5；
【分析】（1）先计算△，化简得到△=（k-2）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=k-1，x2=1，则可设b=k-1，c=2，然后讨论：当2为腰；当1为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【详解】(1)证明：△=k2 4×1×(k 1)=k2 4k+4=(k 2)2
∵无论k取什么实数值,(k 2)2 0，
∴△ 0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
(2)∵x=，
∴x1=k 1,x2=1，
∵两边恰好是这个方程的两个实数根，
当2为腰，则k 1=2，解得k=3，此时三角形的周长=2+2+1=5；
当1为腰时，k 1=1，k=2，此时1+1=2，故此种情况不存在.
综上所述，△ABC的周长为5.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，根的判别式，解题关键在于掌握判别式的计算公式.
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点7：根与系数的关系——求代数式
典例7：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，即是一元二次方程的两个实数根，则．
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）若，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，是方程的两个实数根，得，，将所求式子变形后整体代入即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得、，将整理为，最后代入计算即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，
∴，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建·九年级统考期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
考点8：根与系数的关系——构造方程
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）已知，且，则（ ）
A．9 B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】把方程两边除以得到，则x、可看作方程的两根，然后利用根与系数的关系解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴x、可看作方程的两根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b b a a＝b（1 b） a（1 a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2 x＋m＝0（m＜0）的两根，
∴a＋b＝1，
∴b b a a＝b（1 b） a（1 a）＝b（a＋b b） a（a＋b a）＝ab ab＝0，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
【变式2】（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则a，b可看着方程x2-8x+5=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=8，ab=5，然后把通分后变形得到
，再利用整体代入的方法计算．
【详解】∵a，b满足
∴a，b可看着方程 的两根，
∴a+b=8，ab=5，
故选:A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟记两根之和与两根之积是解题的关键.
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程
①若方程的两个根为和1，则；
②若，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论或，方程都有两个不相等的实数根；
④若方程的一个根，则式子一定成立．
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①由一元二次方程根与系数的关系，可求出，，再对式子进行判断即可；
②利用判别式对方程的根的情况进行判断即可；
③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可；
④将所求式子作差，判断差的情况即可．
【详解】解：①∵方程的两个根为和1，
∴ ， ，∴，，
∴，故说法①不正确；
②∵，∴
∴该方程根的判别式，所以该方程必有两个不相等的实数根，故说法②正确；
③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根，
当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根，
故说法③正确；
④∵是方程的一个根，∴ ，
∵
∴，故说法④正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键．
考点9：方程的应用——传播问题
典例9：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．2轮后有个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1331人感染
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
2轮后共有个人患流感，故B错误，符合题意；
依题意，得，即，
故C正确，不符合题意；
解方程，得（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
【变式2】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．
【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，
则两轮感染后的总人数为：
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）某日，遵源教育研究院下发了一个通知．1名研究员看到了该通知后，将该通知转发给了几名研究员，这几名研究员又将该通知转发给了其余不知道该情况的研究员，至此研究院21名研究员都收到了该通知．若设平均每名研究员将该通知转发给了x名研究员，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，1名教研员转发给了x名研究员， x名研究员转发给了，列式计算其和即可．
【详解】设平均每名研究员将该通知转发给了x名研究员，
则1名教研员转发给了x名研究员， x名研究员转发给了，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．
考点10：方程的应用——单双循环问题
典例10：（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【变式1】（2022·湖北恩施·九年级校考期中）在一次春节联谊会中，假设每一位参加宴会的人跟其他与会人士均有一样的礼节，在宴会结束时，总共握了28次手．与会人士共有（ ）
A．14人 B．56人 C．8人 D．28人
【答案】C
【分析】设一共有x人参加宴会,因为每一个人都会和除自己外的人握手,所以每人会握手（x-1）次,这其中握手是双方的,因此要除以2,由此列出方程即可.
【详解】解：设一共有x人参加宴会,由题可知,
x(x-1)=28
解得：x=8
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,明确握手是双向的要除以2是解题关键.
【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2
C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560
【答案】C
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x﹣1)份小礼品，那么总共送的份数应该是x(x﹣1)份，即可列出方程．
【详解】解：设全班有x名同学，根据题意得：
x(x﹣1)＝1560，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片面向全班其他同学各送一张，全班共送了张相片，如果全班有名学生．根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x-1)=1640 B．x(x+1)=1640 C．2x(x+1)=1640 D． =1640
【答案】A
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张；那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
【详解】解：∵全班有名同学，
∴每名同学要送出张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是，
故选A．
【点睛】考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程．
考点11：方程的应用——增长率问题
典例11：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2022年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设这两年手机支付用户的年平均增长率为，根据“由原来4.69亿人增长到5.83亿人”，根据即可得出方程．
【详解】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为，
依题意，得．
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．正确找出等量关系是解题的关键.
【变式1】（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可．
【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用3月的销量=1月的销量×(1+平均增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，月平均增长率为，
∴可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键．
考点12：方程的应用——几何面积问题
典例12：（2023秋·福建宁德·九年级福建省宁德第一中学校考开学考试）如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为，
∵要使长方体盒子的底面积为，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设道路的宽x米，小路的面积一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽x米，
则
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【变式2】（2023·福建·模拟预测）如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和图形中的数据，用圆的面积减去正方形的面积等于圆内可种植的面积，列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程．
【变式3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）《增删算法统宗》中记载：今有一房门记为矩形，不知宽与高，长竿横着进门（如所示），门的宽度比竿小4尺；将竿竖着进门（如所示），竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角（如所示），恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为x尺，依题意可得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设宽为尺，长为尺，进而勾股定理进行列方程即可．
【详解】解：∵长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺，
∴宽为尺，
∵将竿竖着进门，竿比门长2尺，
∴长为尺，
在中，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
考点13：方程的应用——利润问题
典例13：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）设每次下降的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
根据题意得，，
解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商场要尽快减少库存，
∴符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量、每天利润各是多少？
(2)若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【答案】(1)平均每天销售数量为30件；每天利润为1050元
(2)若该商店每天销售利润为1200元，那么每件商品可降价10元
【分析】（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件商品应降价10元．
【详解】（1）根据题意得：
若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为（件），
每天利润为：（元）
答：平均每天销售数量为30件；每天利润为1050元；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
，
．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒，已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
【答案】(1)
(2)盒
【分析】（1）根据题意列y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列方程求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得，．
（2）根据题意得，，
解得：（舍去），
∴（盒），
∴该网店这星期销售该款口罩盒．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、一次函数解析式，正确列出方程是解题的关键．
【变式3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示．
(1)求关于的函数解析式；（不要写自变量取值范围）
(2)商店销售这种商品是否能获得1080元利润？如果可以，求出该商品销售单价；如果不行，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，32元或38元
【分析】（1）把图象上两点，代入即可求出函数的解析式；
（2）根据销售熟练单件销售利润总利润列出方程即可．
【详解】（1）设与之间的函数解析式为，
把图象上两点，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为；
（2）若商店销售这种商品能获得1080元利润，
则，
解得，，
商店销售这种商品能获得1080元利润，销售单价为32元或38元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，解题的关键在于根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
考点14：方程的应用——动点问题
典例14：（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积是面积的．
【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据即可得出答案；
（2）分两种情况：①当点在线段上，即时，②当点在线段的延长线上，即时，分别根据的面积是面积的列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵点P从点A开始沿射线向点以的速度移动，
∴，
∴当点在线段上运动时，、两点之间的距离为，
故答案为：；
（2）解：，
①当点在线段上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
∵，
∴该一元二次方程无实数根，
∴此情况不存在；
②当点在线段的延长线上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
综上所述，存在，当时，的面积是面积的．
【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)填空：_______，_______（用含的代数式表示）
(2)设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为．
(3)求当为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，；
（2）连接，过点作于点，根据，得，又根据，则，根据勾股定理得，推出是等腰直角三角形，得；是直角三角形，当在左侧时，根据三角形面积公式得：；当在右侧时，面积为：，分类讨论，即可求出时的值；
（3）当为直角三角形时，或或，根据是等腰直角三角形，则；根据勾股定理，即可求出的值．
【详解】（1）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动
∴；．
（2）连接，过点作于点
∵四边形是矩形，点，点
∴，
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵当在左侧时，即时，
∴
∴
∴当时
∴解得，（舍）
不满足；
在右侧时，时，
∴
∴
∴当时，解得，（舍）
∴当，．
（3）连接，，
由（2）得，
∵是直角三角形，
∴
∵
∴，
∴在，
∴
∵为直角三角形时
∴或或
∵是等腰直角三角形，则
∴或
时，
∴
整理得：
解得：（舍），
∴
时，
∴
解得：，
∴或
∴综上所述，当或或时，为直角三角形时．
【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法．
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．
【答案】（1）经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；（2）秒钟后，P、Q相距6厘米；（3）不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积；理由见解析．
【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；
（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5-，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=，此时△PBQ的面积是否为S△ABC，计算即可．
也可以直接计算平分面积的时间，平分周长的时间，看这两个时间是否一样，若两个时间一样则存在，若不一样则不存在．
【详解】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）=××6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．
（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2=，
答：秒钟后，P、Q相距6厘米．
（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
①当PQ平分△ABC面积时，
S△PBQ=S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）=××8×6，
解得：t1=5+，t2=5﹣，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4，
∴t1=5+不符合题意，舍去，
当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3，
另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1，
25﹣3≠3﹣1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t=，
当t=时，PB=6﹣=，
BQ=8﹣2×=，
∴S△PBQ=××=≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．
【点睛】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）在Rt△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上从B运动到C(不包括C)，速度为2cm/s；点Q在AC上从C运动到A(不包括A)，速度为5cm/s.若点P，Q分别从B，C同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动.设运动时间为t秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程.
(1)当t为何值时，P，Q两点的距离为cm？
(2)当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
【答案】(1)t＝1；(2)经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
【分析】(1)根据勾股定理PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5cm2
(2)根据三角形的面积公式S△PCQ＝×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
【详解】解：(1)∵在Rt△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，
∴AB＝25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据(7﹣2t)2+(5t)2＝(5)2；
解得t＝1或t＝﹣(不合题意舍去)；
(2)设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ＝×(7﹣2t)×5t＝15
解得t1＝2，t2＝1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
【点睛】本题考查了勾股定理的运用及三角形面积公式的运用，在解答时运用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一元二次方程
考点类型
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）若是关于的一元二次方程，则可以为（ ）
A． B． C．1 D．3
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：一元二次方程的一般式
典例2：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A． B．5，4 C． D．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
考点3：一元二次方程解的应用
典例3：（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）若实数是关于的一元二次方程的两个根，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．5 D．2
【变式2】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
考点4：解一元二次方程
典例4：（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【变式1】（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
【变式2】（2022秋·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）解方程：
(1)
(2)
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）用合适的方法解下列方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
考点5：根的判别式
典例5：（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
(2)若方程有一个根大于3，求a的取值范围．
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为最大正整数时，求方程的根．
考点6：根的判别式的应用
典例6：（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）阅读下面材料，并完成问题．
任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”．
探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？
小亮同学是这样探究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
由①，得，③
把③代入②，得，
整理，得．
，
的“兄弟矩形”B存在．
（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？
（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件．
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期中）定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．
（1）已知x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，求c的值；
（2）若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，求证：它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．
【变式2】（2022秋·福建莆田·九年级莆田第二十五中学校考阶段练习）已知关于x的方程
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边的长为这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点7：根与系数的关系——求代数式
典例7：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）若，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式3】（2022秋·福建·九年级统考期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
考点8：根与系数的关系——构造方程
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）已知，且，则（ ）
A．9 B．3 C．2 D．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【变式2】（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程
①若方程的两个根为和1，则；
②若，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论或，方程都有两个不相等的实数根；
④若方程的一个根，则式子一定成立．
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点9：方程的应用——传播问题
典例9：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．2轮后有个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1331人感染
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）某日，遵源教育研究院下发了一个通知．1名研究员看到了该通知后，将该通知转发给了几名研究员，这几名研究员又将该通知转发给了其余不知道该情况的研究员，至此研究院21名研究员都收到了该通知．若设平均每名研究员将该通知转发给了x名研究员，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点10：方程的应用——单双循环问题
典例10：（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【变式1】（2022·湖北恩施·九年级校考期中）在一次春节联谊会中，假设每一位参加宴会的人跟其他与会人士均有一样的礼节，在宴会结束时，总共握了28次手．与会人士共有（ ）
A．14人 B．56人 C．8人 D．28人
【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2
C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片面向全班其他同学各送一张，全班共送了张相片，如果全班有名学生．根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x-1)=1640 B．x(x+1)=1640 C．2x(x+1)=1640 D． =1640
考点11：方程的应用——增长率问题
典例11：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2022年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点12：方程的应用——几何面积问题
典例12：（2023秋·福建宁德·九年级福建省宁德第一中学校考开学考试）如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·福建·模拟预测）如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）《增删算法统宗》中记载：今有一房门记为矩形，不知宽与高，长竿横着进门（如所示），门的宽度比竿小4尺；将竿竖着进门（如所示），竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角（如所示），恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为x尺，依题意可得方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点13：方程的应用——利润问题
典例13：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量、每天利润各是多少？
(2)若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒，已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
【变式3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示．
(1)求关于的函数解析式；（不要写自变量取值范围）
(2)商店销售这种商品是否能获得1080元利润？如果可以，求出该商品销售单价；如果不行，请说明理由．
考点14：方程的应用——动点问题
典例14：（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)填空：_______，_______（用含的代数式表示）
(2)设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为．
(3)求当为何值时，为直角三角形．
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）在Rt△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上从B运动到C(不包括C)，速度为2cm/s；点Q在AC上从C运动到A(不包括A)，速度为5cm/s.若点P，Q分别从B，C同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动.设运动时间为t秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程.
(1)当t为何值时，P，Q两点的距离为cm？
(2)当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
