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专题03 概率的进一步认识
考点类型
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：（2023·广东深圳·统考模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种，
则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是．
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式1】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日零时正式打响，本届世界杯吉祥物是“拉伊卜”．如图，现共有3张世界杯会徽和吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有会徽图案，一张正面印有“拉伊卜”的图案，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是拉伊卜的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把2张“会徽“卡片分别记为A、B，1张“拉伊卜“卡片记为C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的结果有4个，
则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是；
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2023秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次都摸到红球的有9种，
则第一次摸到红球，第二次摸到白球的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式3】（2023·北京·九年级专题练习）不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由图知，一共有9种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种结果，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．
【变式1】（2022秋·陕西渭南·九年级校考期中）将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图求概率即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2022·北京海淀·校考模拟预测）一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图即可求解．
【详解】由题意可得：
一共有12种可能的情况，摸出小球颜色相同的情况有6种，
∴概率是；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确计算是解题的关键．
【变式3】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）将分别标有“中”“考”“必”“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“必胜”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设““中”“考”“必”“胜”分别用、、、表示，
列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两次摸出的球上的汉字能组成“必胜”的结果数有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“必胜”的概率为，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（ ）
A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①
【答案】A
【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③，
故选A．
【变式1】（2023春·九年级课时练习）“十 一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（ ）
A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元
【答案】B
【分析】根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数.
【详解】解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数据分析中加权平均数的知识点和扇形统计图的知识点.
【变式2】（2022秋·九年级单元测试）如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝）得5分，否则小刚得3分，此规则对小明和小刚（ ）
A．公平 B．对小明有利 C．对小刚有利 D．不可预测
【答案】A
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，计算配成紫色和不是紫色的概率，比较概率就可以得出答案．
【详解】解：如图所示，
两个转盘各转一次，配成颜色所有的情况如下：
（，）（，）（，）（，）（，）（，）（绿，）（绿，）
共8种情况．
所以P（紫色）= ，P（其他颜色）=，
而5×=3×；
因此规则对小明和小刚公平．
故选A．
【点睛】判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】A
【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．
【详解】列表如下：
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王
田忌
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，然后利用概率公式求出事件发生的概率进行判断即可．
【详解】解：画树状图如图所示，
从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有种等可能的情况，其中田忌能赢有种情况，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．
【变式1】（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好在同一组的概率．
【详解】如下图所示：
小亮和小刚恰好分在同一组的情况有三种，共有9种等可能的结果,
所以, 小亮和小刚恰好分在同一组的概率是 ,
故选:B
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解：根据题意画出树状图：
∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，
∴小明获胜的概率
P==，
故选: B.
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
【变式3】（2022春·九年级单元测试）小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序．设每人每次出手心、手背的可能性相同．若有一人与另外两人不同，则此人最后出场，三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列举出所有情况，看小颖最后出场比赛的情况占总情况的多少即可．
【详解】设其他两位同学为a，b，小颖为c，列表得
a b c
手心 手心 手背
手心 手背 手背
手心 手心 手心
手心 手背 手心
手背 手心 手背
手背 手心 手心
手背 手背 手背
手背 手背 手心
共有8种情况，小颖最后出场的结果有2种情况，
∴概率是，
故选C．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：（2023·全国·九年级专题练习）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：
故相同的概率为．
故选B．
【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下，
由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键．
【变式2】（2023春·河南商丘·九年级专题练习）小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】用“A”代表《满江红》和《流浪地球2》，用“B”代表《龙马精神》，《想见你》，《回天有我》，列表如下：
即总的情况有20种，满足条件的有2种，
即：则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）游仙是三国故地，古绵治所，历史悠久，风景优美．富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆已是游仙响亮的代名词．某校课外兴趣小组设计了4张旅游宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】分别用A、B、C、D，代表富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆，
画出列表，如下：，
即总的情况有12种，满足要求的情况有2种，
故所求概率为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了采用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，正确画出树状图或者列表，是解答本题的关键．
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：（2023秋·全国·九年级专题练习）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲 78 79 81 82 x 88 93 95
乙 75 80 80 83 85 90 92 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【答案】（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析．
【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可；
（2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析．
解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析．
【详解】解：（1）依题意，可知
甲的中位数为，乙的众数为80，
∴，
解得x=84．
（2）解法一：派甲参赛比较合适．
理由如下：
，
，
，
，
因为，，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
解法二：派乙参赛比较合适．
理由如下：
从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，
乙获得85分以上（含85分）的概率，
因为P1＜P2，
所以派乙参赛比较合适．
【点睛】考查平均数、众数和中位数的意义，方差，概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩 频数 频率
2 0.04
0.16
20 0.40
16 0.32
4
合计 50 1
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出,的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．
【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3）．
【分析】（1）根据题中可得总人数为50人，则中人数所占频率即可求出a的值，则中出现的频数即可求得b的值；
（2）根据圆心角的度数为所占百分比乘以360°即可求解；
（3）根据概率初步中树状图的作图方法作图求解即可．
【详解】（1），．
补全频数分布直方图如下：
（2）．
故C组所在扇形的圆心角的度数为．
（3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为，,,，其中小欣和小怡分别用,表示，根据题意，画树状图如下．
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被选上的概率是．
【点睛】本题以实际生活为背景考查统计与概率，解题的关键是掌握圆心角度数的求法以及概率中树状图的作法．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．
(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
【答案】(1)
(2)不公平，公平的游戏规则见详解
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．
【详解】（1）解：根据题意，画树状图如下所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种，
∴小颖获胜的概率为；
（2）该游戏规则不公平．
由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，
∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，
故该游戏规则不公平．
游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．图中的三个汉字可以看成轴对称图形．
(1)请在方框中再写出两个类似轴对称图形的汉字；
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张．若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏公平吗 为什么
【答案】(1)本题答案不唯一，如：田、日等
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质写出汉字即可；
（2）根据游戏规则求出两人获胜的概率，然后比较即可．
【详解】（1）本题答案不唯一，如：田、日等．
（2）解：这个游戏不公平．理由：可能出现的结果共有（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）种，每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有种：（土，土）“圭”，（口，口）“吕"，（木，口）“杏”，（口，木）“呆”，所以，，所以游戏不公平．
【点睛】本题考查了轴对称图形和求概率，解题关键是准确理解轴对称图形的意义，熟练求出概率．
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：（2023·广东东莞·模拟预测）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．
(2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
【答案】(1)这个游戏不公平，说明见解析
(2)，，
【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；
（2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下：
在区域的（个）方块中随机埋藏着（颗）地雷，
区域中有（个）方块中没有地雷，
小南胜的概率为，小语胜的概率为，
，
这个游戏不公平；
（2）解：围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，
区域中有：（颗），
选择区域踩到雷的概率为；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式1】（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
声乐 30
体锻 a
科创 36
书法 b
(1)表中a＝ ，b＝ ；
(2)扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为 ；
(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小明和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】(1)42，12
(2)
(3)小华的概率，小亮的概率，这个规则对双方不公平
【分析】（1）先利用“声乐”所对的圆心角是，条形统计图中参加“声乐”人数为30人求出所抽查的总人数，再根据“体锻”所占的百分比来求出a，用总人数减去其它三个课程的人数就可以求出b；
（2）用 乘“书法”所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：从扇形统计图中可知，“声乐”所对的圆心角是，条形统计图中参加“声乐”人数为30人，
所以总人数为：（人），
在扇形统计图中“体锻”所占的百分比为，
所以人数（人），
所以（人）．
故答案为：42，12；
（2）解：由（1）可知，参加“书法”是12人，被抽查人数为120人，
所以扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为．
故答案为：．
（3）解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，
则名额给小华的概率是，名额给小亮的概率是，
∵，
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5％
B．比较了解 15％
C．基本了解 45％
D．不了解
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
【详解】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：
（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：
小刚去的概率为：．
由＞．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400人，；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析
【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400（人），
m=400×45%=180，
∵400﹣20﹣60﹣180=140，
∴n=140÷400×100%=35%；
（2）5600×=1120（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）==，
P（小亮参加）=1﹣=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键．
【变式4】（2023春·陕西西安·九年级专题练习）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【答案】(1)
(2)
(3)应安排A电影两个场次B电影一个场次
【分析】（1）根据图标直接求值即可；
（2）先求出总数和获得好评的第四类电影数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）求得A，B电影上座率和排一场A，B电影的收入，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，；
（2）∵总的电影部数是：（部），
第四类电影中获得好评的有（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）
（3）A电影上座率，
B电影上座率，
排一场A电影收入（元），
排一场B电影收入（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键．
【变式5】（2023秋·九年级课时练习）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
【变式6】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：
次数 1 2 3 4 5 6
数字 3 2 3 4 1 4
（1）求转动转盘6次后记录的数据的众数；
（2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；
（3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由．
【答案】（1）3和4；（2）；（3）可能，．
【分析】（1）根据众数的概念求解即可；
（2）根据概率的计算公式求解即可；
（3）根据连续转动转盘两次，设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x，8次转动的平均数不小于3，得到，然后列表，得到第7，8次转动转盘后记录的数字之，判断和的结果的个数，从而求出概率．
【详解】解：（1）∵转动转盘6次记录的数据，3和4各出现两次，次数最多
∴6次记录的数据的众数是3和4
（2）第7次转动转盘后记录的数字共有4种等可能结果，其中是4的结果有1种，
∴P（是4）＝
（3）可能．
设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x
∵八次记录的数字的平均数不小于3.
∴
得
列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
共有16种等可能结果，其中两个数字之和的结果有3种
P（8次平均数不小于3）．
【点睛】本题考查了众数的概念，算术平均数，概率的基本概念，列表法求概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式7】（2023秋·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求；
(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
【答案】(1)
(2)张亮的想法是错的，见解析
(3)
【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
（2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；
（3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可．
【详解】（1）由题得，列表为：
第1个 第2个 1 3
3 1 1
3 0 2
1 1 0 4
3 1 2 4
所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；
（2）由（1）得：，，，，，
∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，
∵，所以张亮的想法是错的．
（3）∵，
∴（答案不唯一）
【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．
考点8：利用频率估计概率
典例8：（2023秋·全国·九年级专题练习）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：
试验次数
出现方块的次数
出现方块的频率
(1)上表中 ， ；
(2)从上表中可以估计出现方块的概率是 ．（精确到）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据频率的计算公式即可求解；
（2）根据频率与概率的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，解得，，，
故答案为：，．
（2）解：根据题意，当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附件，
∴出现方块的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查频率的计算方法，频率与概率的关系，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000
优等品的频数m 9 96 962 1920 2880
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b
(1)________；________．
(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01）
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
【答案】(1)0.962；0.96
(2)0.96
(3)9600只
【分析】（1）用频数除以总数即可；
（2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96．
（3）用总数量乘以优等品的概率即可
【详解】（1）解：，
，
故答案为：0.962，0.96；
（2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．
（3）这批公仔中优等品大约有只
【点睛】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共30只，搅匀后，学习小组做摸球试验，再把球放回盒子中，不断重复上述过程
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.1）；
(2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为 （精确到0.1）；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【答案】(1)0.6
(2)0.4
(3)白球的个数为18只，黑球的个数为12只
【分析】（1）由表可知，随着摸球次数的增加，摸到白球的概率趋近于0.6，由此可解答；
（2）摸到黑球与摸到白球的概率之和为1，据此可求摸到黑球的概率；
（3）摸到摸到白球的概率分别乘以30个球，可得白球的数量，将全部30个球减去白球数量可得黑球的数量．
【详解】（1）∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
∴摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的概率为0.6，
∴摸到黑球的概率为；
故答案为：0.4
（3）∵共有30只球，摸到白球的概率为0.6，
∴则白球的个数为（只），
黑球的个数为（只）．
答：白球的个数为18只，黑球的个数为12只．
【点睛】本题考查对概率的理解，正确理解概率的概念是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）某批足球的质量检测结果如下：
抽取足球数 100 200 400 600 800 1000
合格的数量 93 192 384 564 759 950
合格的频率 0.93 0.96 0.96 0.94
(1)填写表中的空格（结果保留0.01）．
(2)画出合格的频率的折线统计图．
(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．
(4)若某工厂计划生产10000个足球，试估计生产出的足球中合格的数量有________个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)0.95；理由见解析
(4)9500
【分析】（1）根据频率频数总数计算可得；
（2）由表格中数据在坐标系内用点描出来，再用线段依次相连即可得；
（3）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是0.95；
（4）根据概率进行估算即可．
【详解】（1）解：，
，
完成表格如下：
抽取足球数n 100 200 400 600 800 1000
合格的频数m 93 192 384 564 759 950
合格的频率 0.93 0.96 0.96 0.94 0.95 0.95
（2）解：如图所示：
（3）解：从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95，
因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近，
所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95．
（4）解：（个），
答：估计生产出的足球中合格的数量有9500个．
故答案为：9500．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．
考点9：统计概率综合
典例9：（2023秋·全国·九年级专题练习）某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．
组别 成绩（分） 频数
6
14
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)如表中的 ；扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(2)为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
【答案】(1)8，
(2)
【分析】（1）由组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，再利用；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人，
，
由题意得：，
，
组所在扇形的圆心角的是，
故答案为：8，；
（2）解：将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，
恰好抽到小经和小武的概率为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
频数 4 a 14 b 4
（Ⅱ）成绩在这一组的是（单位：分）：70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ， ．在这次试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)在之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
【答案】(1)10，18，，；
(2)不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
(3)
【分析】（1）根据频数=频率总数， 即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数，根据频率=频数总数，求出成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比；
（2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
（3）用树状图表示从2男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解： ，，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是．
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为．
（2）不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
（3）从2男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中1男1女的有8种，
所以从2男2女中随机选取2人是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、平均数以及列表法或树状图法，掌握频率= 频数总数 ，中位数、平均数的计算方法以及列举出所有等可能出现的结果是解决问题的前提．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次接受抽样调查的总人数是 人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)390
(4)
【分析】（1）用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
（2）先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
（3）将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
（4）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：（人），
故答案为：120；
（2）C组人数为：（人），
A组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：
（3）∵（人），
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
（4）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果，
∴P（两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”）．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格：
训前 成绩分
划记 正正 正 正
人数人
培训后 成绩分
划记 一 正 正正正
人数人
若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则
(1) ______ ；填“”、“”或“”
(2)这名学生在培训后仍有四名学生的测试成绩为“分”，其中两人是小林和小王，现要从这四名学生的试卷里任选两份出来点评，求恰好同时选到小林和小王的概率是多少？
(3)请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生能增加多少人？
【答案】(1)
(2)
(3)测试成绩为“分”的学生增加了人
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）画树状图，共有种等可能的结果，其中同时选到小林和小王的概率的结果有种，再由概率公式求解即可．
（3）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：培训前测试成绩的中位数，培训后测试成绩的中位数，
；
故答案为：；
（2）解：设小林和小王分别为，，其他两同学为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好同时选到小林和小王的结果有种，
恰好同时选到小林和小王的概率为．
（3）解：培训前：，培训后：，
，
答：测试成绩为“分”的学生增加了人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，中位数，求概率，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
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专题03 概率的进一步认识
考点类型
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：（2023·广东深圳·统考模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日零时正式打响，本届世界杯吉祥物是“拉伊卜”．如图，现共有3张世界杯会徽和吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有会徽图案，一张正面印有“拉伊卜”的图案，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·北京·九年级专题练习）不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·陕西渭南·九年级校考期中）将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·北京海淀·校考模拟预测）一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）将分别标有“中”“考”“必”“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是( )．
A． B． C． D．
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（ ）
A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①
【变式1】（2023春·九年级课时练习）“十 一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（ ）
A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元
【变式2】（2022秋·九年级单元测试）如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝）得5分，否则小刚得3分，此规则对小明和小刚（ ）
A．公平 B．对小明有利 C．对小刚有利 D．不可预测
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王
田忌
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022春·九年级单元测试）小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序．设每人每次出手心、手背的可能性相同．若有一人与另外两人不同，则此人最后出场，三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：（2023·全国·九年级专题练习）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·河南商丘·九年级专题练习）小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）游仙是三国故地，古绵治所，历史悠久，风景优美．富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆已是游仙响亮的代名词．某校课外兴趣小组设计了4张旅游宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：（2023秋·全国·九年级专题练习）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲 78 79 81 82 x 88 93 95
乙 75 80 80 83 85 90 92 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩 频数 频率
2 0.04
0.16
20 0.40
16 0.32
4
合计 50 1
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出,的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．
(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．图中的三个汉字可以看成轴对称图形．
(1)请在方框中再写出两个类似轴对称图形的汉字；
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张．若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏公平吗 为什么
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：（2023·广东东莞·模拟预测）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．
(2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
【变式1】（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
声乐 30
体锻 a
科创 36
书法 b
(1)表中a＝ ，b＝ ；
(2)扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为 ；
(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小明和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5％
B．比较了解 15％
C．基本了解 45％
D．不了解
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【变式4】（2023春·陕西西安·九年级专题练习）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【变式5】（2023秋·九年级课时练习）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【变式6】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：
次数 1 2 3 4 5 6
数字 3 2 3 4 1 4
（1）求转动转盘6次后记录的数据的众数；
（2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；
（3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由．
【变式7】（2023秋·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求；
(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
考点8：利用频率估计概率
典例8：（2023秋·全国·九年级专题练习）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：
试验次数
出现方块的次数
出现方块的频率
(1)上表中 ， ；
(2)从上表中可以估计出现方块的概率是 ．（精确到）．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000
优等品的频数m 9 96 962 1920 2880
优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b
(1)________；________．
(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01）
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共30只，搅匀后，学习小组做摸球试验，再把球放回盒子中，不断重复上述过程
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.1）；
(2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为 （精确到0.1）；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）某批足球的质量检测结果如下：
抽取足球数 100 200 400 600 800 1000
合格的数量 93 192 384 564 759 950
合格的频率 0.93 0.96 0.96 0.94
(1)填写表中的空格（结果保留0.01）．
(2)画出合格的频率的折线统计图．
(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．
(4)若某工厂计划生产10000个足球，试估计生产出的足球中合格的数量有________个．
考点9：统计概率综合
典例9：（2023秋·全国·九年级专题练习）某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．
组别 成绩（分） 频数
6
14
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)如表中的 ；扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(2)为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
频数 4 a 14 b 4
（Ⅱ）成绩在这一组的是（单位：分）：70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ， ．在这次试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)在之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次接受抽样调查的总人数是 人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
(4)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格：
训前 成绩分
划记 正正 正 正
人数人
培训后 成绩分
划记 一 正 正正正
人数人
若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则
(1) ______ ；填“”、“”或“”
(2)这名学生在培训后仍有四名学生的测试成绩为“分”，其中两人是小林和小王，现要从这四名学生的试卷里任选两份出来点评，求恰好同时选到小林和小王的概率是多少？
(3)请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生能增加多少人？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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