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专题04 图形的相似
考点类型
考点一遍过
考点1：比例线段
典例1：（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；
B、，能成比例，故此选项不符合题意；
C、，不能成比例，故此选项不符合题意；
D、，能成比例，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）下列线段、、、是成比例线段的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】A
【分析】根据成比例线段的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，，，，则：，线段、、、成比例线段，符合题意；
B、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；
C、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；
D、，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义即可进行解答．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，即，解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，解题的关键是熟练掌握如果四条线段a、b、c、d满足，则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒）．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
考点2：黄金分割
典例2：（2023·福建莆田·校考三模）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据得出，根据，，得出．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，即，
∴，
∵，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据得出．
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如图，为339米，P为塔的黄金分割点，设，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．
【详解】解：因为满足，则称点P是的黄金分割点，．
所以．
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解新定义是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
【变式3】（2022·福建漳州·统考一模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割比可得头顶至肚脐的长度为，然后问题可进行求解．
【详解】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为，
∴，
∴小凡的身高约为；
故选C．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
考点3：比例的基本性质
典例3：（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据合比性质进行计算．
【详解】解： ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴，
故选
【点睛】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）已知两个非零实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C
【分析】由，可得，结合本题条件可得答案．
【详解】解：∵两个非零实数m，n满足，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟记比例的基本性质是解本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由可得：，故A不符合题意，
由可得：，故B符合题意；
由可得：故C不符合题意，
由可得：，故D不符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．9
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
考点5：相似三角形的判定
典例5：（2022秋·福建莆田·九年级莆田二中校考阶段练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．
【详解】证明：∵，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．
【变式1】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，点F为线段上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再证明，即可判定．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在和中，，且．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据得出，再根据得出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得出结论即可．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：______，______；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似．
【详解】（1）解：，
；
故答案为； ；
（2）解：．
证明：在的正方形方格中，
，，
．
，， ，
，．
∴
．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
考点6：相似三角形的性质——周长
典例6：（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形中，点，分别是边，的中点，若的周长为12，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用中位线定理，得到三角形相似，运用周长之比等于相似比计算选择．
【详解】设三角形的周长用C表示，
∵点，分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知，它们的周长分别为20和10，且，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得到答案．
【详解】解：∵，它们的周长分别为20和10，
∴，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可证明，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
∴，
与的相似比为，
∵，
∴，
∴，
根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解决问题的关键．
【变式3】（2023·福建厦门·校联考二模）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
【答案】C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
考点7：相似三角形的性质——面积
典例7：（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，得到，，结合面积比等于相似比平方即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
【变式1】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ）
A．12 B．16
C．18 D．27
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，由可得出，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求的的面积．
【详解】四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
，
．
∵，的面积为9，
．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵在中，E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
考点8：相似的经典模型——A字型
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，得，得，根据，，即可求出；
（2）由（1）得，根据，得，得，即可求出．
【详解】（1）∵
∴，
∴
∴，即
又∵且
∴
∴．
（2）∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
故．
【点睛】本题考查相似三角形的知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）证明：∽
（2）求证：；
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽；
（2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：∥
∽
（2）证明：∵∽
∵AD∥BC，
∴
又∵CM＝BM，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知，，，，．
(1)求和的大小；
(2)求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据相似三角形对应角相等，即可求出和的大小；
（2）根据相似三角形对应边成比例，即可求出的长．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【变式3】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
(1)若，求线段的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)平行四边形的面积为6．
【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是16，同理可得的面积是9，根据面积差可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
的面积为1，
的面积是16，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积是9，
平行四边形的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
考点9：相似的经典模型——8字型
典例9：（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF∽△ECF；
(2)若AB＝8，，求CE的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据，可得∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA，即可证明；
（2）根据，CF+FB=CB，可得，再根据△ABF∽△ECF，可得，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA，
∴△ABF∽△ECF，
结论得证；
（2）∵，CF+FB=CB，
∴，
∵在（1）中已得△ABF∽△ECF，
∴，即，
∵AB=8，
∴，
即CE长度为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：4，DE交AC于点F
（1）求与的周长之比；
（2）如果的面积为14cm2，求的面积．
【答案】（1）；（2）cm2．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可证明与是相似三角形，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解；
（2）根据，由结合平行四边形的性质，得到从而可得从而可得答案．
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴．
∵AE：EB＝3：4，
∴AE：AB＝3：7，
∴
(2)
即＝，
解得：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在 ABCD中，AE：EB＝1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．
【答案】（1）1：3；（2）S△CDF＝54 cm2，S△ADF＝18cm2．
【分析】（1）由题易证△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可求出△AEF与△CDF的周长的比；
（2）由（1）可知△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出S△CDF，再根据三角形面积关系求出S△ADF即可．
【详解】解：（1）∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF
∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，
即△AEF与△CDF的周长比为1：3；
（2）∵△AEF∽△CDF，
∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2，
即6：S△CDF＝（1：3）2
∴S△CDF＝6×9＝54（cm2），
，
∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）．
【点睛】本题主要考查了学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握，此题主要利用了相似三角形的周长比等于相似比和相似三角形面积比是相似比的平方．
【变式3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证；
(2)若AB=3，BC=5，CE=2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）利用（1）的结论和平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD＝3，
∵EF∥CD，
∴，
∴，
∴EF＝．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正确使用平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
考点10：相似的经典模型——子母型
典例10：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．
【详解】（1）证明：在与中
，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
解得：，
∴，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定条件证明即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴，
∴，
∴AC＝或AC＝（舍去），
∴AC的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相关三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知中，，点D是AC上一点，．
(1)求证：．
(2)若点D为AC中点，且，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等边对等角可知，，则，，进而可证；
（2）由点D为AC中点，，可得，由得即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
（2）解：∵点D为AC中点，
∴
∵
∴即
解得（负值舍去）
∴的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于证明三角形相似．
【变式3】（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，于点，设，，，.
求证：（1）.
（2）.
（3）以，，为边的三角形是直角三角形.
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）要证明，只需证=1即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证．
（2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得证；
（3）先分别求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB，
,即，
∵====1，
∴；
(2)∵CD⊥AB,∠ACB=90 ，
∴S△ABC=ab=ch，
∴ab=ch，
∵∠ACB=90°，
∴a2+b2=c2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2，
∵a、b、c、h都是正数，
∴(a+b)2<(c+h)2，
∴a+b(3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2；
h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)，
∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，
∴(c+h)2=h2+(a+b)2，
∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质.
考点11：相似的经典模型——手拉手型
典例11：（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，与有公共顶点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据证明，再由，和证明，可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
【答案】见解析
【分析】(1) 先利用相似三角形的性质得∠BAD=∠CAE, 则∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE, 从而得到结论;
(2)先利用ΔABD∽ΔACE得到,再利用比例性质得,
加上∠DAE=∠BAC, 然后根据相似三角形的判定方法可得到结论.
【详解】（1）解：∵△ABD∽△ACE．
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴ = ，
∴ = ，
而∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质.
【变式2】（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）如图，，．求证：．
【答案】见详解
【分析】可证，，即可求证．
【详解】证明：，
，
即：，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，掌握判定方法是解题的关键．
【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.
【分析】(1)由∠1=∠2,证出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出结论;
(2)由AAS证明△ABC≌△ADE即可.
【详解】(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠C=∠E，
∴△ABC∽△ADE．
(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：
由(1)得：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE；
故答案为AB=AD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.
考点12：相似的经典模型——一线三等角型
典例12：（2023·全国·九年级专题练习）如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得角度之间的相等关系，再根据有两个角相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）由 得出，计算即可得出
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴；
又；
∴；
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．
(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．
(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．
(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝；
(3)①当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，；②△ABP∽△CDP，；③当点P在BD的延长线上时，或和
【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．
（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．
（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；
【详解】（1）解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°①，
∴∠A+∠APB＝90°，
又∵∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠A＝∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．
（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），
①△ABP∽△PDC时，，
即，
解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x＝1或x＝6，
②△ABP∽△CDP．，
即，
解得x＝．
综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝．
（3）当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，，
即，
整理得，y＝x+；
②△ABP∽△CDP．，
即
整理得，y＝x．
当点P在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，
，
∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，
，
y＝x﹣．
当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，＝，
∴，
∴y＝﹣x．
⑤△PAB∽△PCD时，，
∴＝，
∴y＝x．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江杭州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【详解】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE=3，AD=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为_______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；
（2）如下图，连接PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CEQ；
（3）根据相似三角形的性质可得，把BP=2，CQ=代入上式可求得BE=CE，进而求得BC的长．
【详解】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）如下图，连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ；
（3）∵△BPE∽△CEQ
∴
∵BP=2，CQ=9，BE=CE
∴
∴BE=CE=
∴BC=．
【点睛】本题考查证全等和相似，第（3）问解题关键是根据相似比的关系，得出CE的长度．
考点13：相似三角形中的动点问题
典例13：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？
【答案】经过或秒时，与相似
【分析】设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)10；
(2)当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
(3)当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
【分析】（1）根据三角函数解得即可；
（2）分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①当时，
∴，
即，
解得：；
②当时，
∴，
即，
解得：，
综上所述，当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
（3）解：①如图3，当时，，
解得：，
②如图4，当时，过点M作于D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
③如图5，当时，过点N作于D，
则，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，，点 从点 开始沿 边向 点以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，如果 分别从 同时出发，问经过几秒钟， ．
【答案】或
【分析】根据两个三角形相似，则对应边的比等于相似比，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，设经过 秒，，
∴ ， ， ，
当，则 ， ，，
∴，解方程得， （ ）；
当，则，
∴，解方程得， （ ），
∴经过或时，，
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
【答案】(1)
(2)不变，证明见解析；
(3)或
【分析】（1）通过P为中点，，可以得到：，进而得到是的中位线，利用中位线定理即可得解；
（2）过点作，得到是的中位线，得到，证明，得到，即可得证；
（3）当，利用，得到点C、D、P、E共圆，得到，证明，利用相似比即可得解，当时，可以得到点是的中点，即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵P为中点，
∴，
∴；
（2）不变，理由如下：
过点作，
则，
∵P为中点，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的值不变；
（3）如图2，连接 ，
∵，
∴ ，
当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．
考点14：相似三角形中的折叠问题
典例14：（2023·全国·九年级专题练习）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】先证明，得到，求出的长，然后求出线段长即可．
【详解】解：正三角形
∴
∵
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′，由折叠的性质得到BFBB′，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′HAB′，
∵AB′AC，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BFBB′，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF，
故答案为：．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2023·河北廊坊·统考二模）如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9．
【详解】解：三角形是正三角形，
，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
；
故选：．
【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度．
【变式3】（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，
GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正确；
∴，
∴OC=2OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
考点15：相似三角形的应用——测量问题
典例15：（2022秋·九年级课时练习）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
【答案】教学楼AB的高度为16米
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB．
【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴Rt△AEB∽Rt△CED，
∴，即
解得：AB＝16（米）．
答：教学楼AB的高度为16米．
【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键．
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
【答案】窗口底边离地面的高为．
【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即窗口底边离地面的高为．
【点睛】本题考查了相似的三角形在实际生活中的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
【变式2】（2022秋·九年级课时练习）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
【答案】塔高AB为24m.
【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．
【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.
由题意得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：塔高AB为24m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______．
【答案】一（答案不唯一），善导塔的高度为．
【分析】若选择方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
若选择方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】若选择方案一：
如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴善导塔的高度为；
若选择方案二：
如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，
∵，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得：，
∴善导塔的高度为；
故答案为：一（答案不唯一）．
【点睛】考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形．
考点16：相似三角形的应用——物理问题
典例16：（2023秋·全国·九年级专题练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长．
【详解】（1）解：（1）由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
【变式1】（2022·九年级统考课时练习）小孔成像问题：根据图中尺寸可以知道物像的长是物的长的．你明白其中的道理吗？
【答案】见解析
【分析】可利用相似三角形的性质，对应边的比相等，即可得出y与x的关系.
【详解】解：∵，
∴∽，
∴．
∴.
∴物像的长是物的长的．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边的比相等是解决本题的关键．
【变式2】（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】证明：，
故，即，
，
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又 ，
，
，
，
解得：，
灯泡到地面的高度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度．
【答案】灯泡到地面的高度为．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
【详解】解：由题意可得：，
则，
∴，
即，
解得：，
∵
∴，
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形，列出比例式是解题关键．
考点17：位似变换——作图
典例17：（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，．
(1)画出把下平移5个单位长度后的；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的定义，分别确定三个顶点的对应点，顺次连接得所求；
（2）连接,基于网格图，分别延长1倍，得到对应点，顺次连接得，即为所求．
【详解】（1）解：
（2）解：连接,分别延长1倍，得到对应点，顺次连接得，即为所求．
【点睛】本题考查图形平移，位似，理解平移，位似的定义是解题的关键，注意以位似中心为基础，确定位似对应点．
【变式1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出向左平移6个单位长度后得到的；
(2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，4
【分析】（1）按要求作图即可求解；
（2）求出缩小为原来的后顶点的坐标，描点，即可画出图形，再由位似的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，
是所求作的图形；
（2）解：以点为位似中心，将缩小为原来的，
，，，
，
如图，描点即可作出，
为所求作的图形；
由（1）得：，
．
【点睛】本题考查了网格中平移作图，平移的性质，作位似图形，位似的性质，掌握作法及性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；
（2）画出一个以点O为位似中心的，使得与的相似比为2即可；
（3）根据相似比即可求得．
【详解】（1）如图所示，为所求三角形．
（2）如图所示，为所求角形．
（3）由题意可知，且相似比为，
∴当点的坐标为时，对应点的坐标为：．
【点睛】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键．
【变式3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）把绕坐标原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，相似比为2，把放大为原来的2倍，得到，画出，使它与在位似中心的同侧，并写出点的坐标；
（3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析；；（3）见解析；
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用相似的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）作关于轴的对称点，再与相连，与轴的交点即为所求．
【详解】（1）如图，为所求作的三角形；；
（2）如图，为所求作的三角形；；
（3）如图，作点关于轴的对称点；连接，交轴于点，则点即为所求．
．
【点睛】此题主要考查了旋转变换，位似变换，最短距离问题，正确得出对应点位置是解题关键．
考点18：位似的性质——求角、线段
典例18：（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（ ）
A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
【答案】A
【分析】由得出，由位似图形的性质可得，即可求出长．
【详解】解： ，
与位似，原点是位似中心，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出是解此题的关键．
【变式1】（2022秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为，
∴线段与线段的位似比为，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
【变式2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵这两个位似三角形的周长比为，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似和相似三角形的性质，牢记位似中心到对应点所连的线段比等于相似比是解题关键．
【变式3】（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵等边三角形的顶点，
∴，
过A作轴于C，
∵是等边三角形，
∴
∴
∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，
∴与位似为2比1，
∴点A的对应点的坐标是或，即或，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
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专题04 图形的相似
考点类型
考点一遍过
考点1：比例线段
典例1：（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）下列线段、、、是成比例线段的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
考点2：黄金分割
典例2：（2023·福建莆田·校考三模）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如图，为339米，P为塔的黄金分割点，设，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·福建漳州·统考一模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
考点3：比例的基本性质
典例3：（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）已知两个非零实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．9
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
考点5：相似三角形的判定
典例5：（2022秋·福建莆田·九年级莆田二中校考阶段练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．
【变式1】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，点F为线段上一点，且．求证：．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在和中，，且．
求证：．
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：______，______；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
考点6：相似三角形的性质——周长
典例6：（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形中，点，分别是边，的中点，若的周长为12，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知，它们的周长分别为20和10，且，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·福建厦门·校联考二模）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
考点7：相似三角形的性质——面积
典例7：（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ）
A．12 B．16
C．18 D．27
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
考点8：相似的经典模型——A字型
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式1】（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）证明：∽
（2）求证：；
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知，，，，．
(1)求和的大小；
(2)求的长．
【变式3】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
(1)若，求线段的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形的面积．
考点9：相似的经典模型——8字型
典例9：（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF∽△ECF；
(2)若AB＝8，，求CE的长．
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：4，DE交AC于点F
（1）求与的周长之比；
（2）如果的面积为14cm2，求的面积．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在 ABCD中，AE：EB＝1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．
【变式3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证；
(2)若AB=3，BC=5，CE=2，求的长．
考点10：相似的经典模型——子母型
典例10：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知中，，点D是AC上一点，．
(1)求证：．
(2)若点D为AC中点，且，求BC的长．
【变式3】（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，于点，设，，，.
求证：（1）.
（2）.
（3）以，，为边的三角形是直角三角形.
考点11：相似的经典模型——手拉手型
典例11：（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，与有公共顶点，．求证：．
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
【变式2】（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）如图，，．求证：．
【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ．
考点12：相似的经典模型——一线三等角型
典例12：（2023·全国·九年级专题练习）如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长
【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．
(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．
(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．
(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．
【变式2】（2023春·浙江杭州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
【变式3】（2022秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为_______．
考点13：相似三角形中的动点问题
典例13：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，，点 从点 开始沿 边向 点以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，如果 分别从 同时出发，问经过几秒钟， ．
【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
考点14：相似三角形中的折叠问题
典例14：（2023·全国·九年级专题练习）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河北廊坊·统考二模）如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3】（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
考点15：相似三角形的应用——测量问题
典例15：（2022秋·九年级课时练习）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
【变式2】（2022秋·九年级课时练习）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______．
考点16：相似三角形的应用——物理问题
典例16：（2023秋·全国·九年级专题练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
【变式1】（2022·九年级统考课时练习）小孔成像问题：根据图中尺寸可以知道物像的长是物的长的．你明白其中的道理吗？
【变式2】（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．
【变式3】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度．
考点17：位似变换——作图
典例17：（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，．
(1)画出把下平移5个单位长度后的；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2
【变式1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出向左平移6个单位长度后得到的；
(2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值．
【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【变式3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）把绕坐标原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，相似比为2，把放大为原来的2倍，得到，画出，使它与在位似中心的同侧，并写出点的坐标；
（3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点的坐标．
考点18：位似的性质——求角、线段
典例18：（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（ ）
A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
【变式1】（2022秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
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