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专题05 投影与视图
考点类型
考点一遍过
考点1：平行投影
典例1：（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）将一个梯形木板放在阳光下做投影实验，木板在地面上形成的影子不可能是（ ）
①梯形；②线段；③三角形；④平行四边形．
A．②③ B．②④ C．①④ D．③④
【答案】D
【详解】解：将梯形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段；
将梯形木框与地面平行放置时，形成的影子为梯形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且梯形两底不相等，得到投影不可能是三角形和平行四边形．故选D．
点睛：本题考查投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运用平行投影的性质是解题的关键．
【变式2】（2022·福建厦门·统考二模）在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影子长的变化规律为（ ）
A．逐渐变长 B．逐渐变短
C．影子长度不变 D．影子长短变化无规律
【答案】B
【分析】上午九点到十一点太阳升高,影子变短.
【详解】解：在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影子长的变化规律为逐渐变短，
故选B．
【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念和认真观察生活现象是解题关键.、
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【分析】根据中心投影和平行投影的特点即可进行作答．
【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，
∴小明的身高比小强高，
在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，
两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，
∴无法判断谁的影子长，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的知识．熟知离路灯的距离不同，影子的长度就不同是解本题的关键．
考点2：平行投影与相似
典例2：（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（ ）
A． B．8m C． D．7m
【答案】A
【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．
【详解】解∶设旗杆高度为xm，有
解得．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了平行投影以及一元一次方程的应用，解题关键是理解在同一时刻物体的高与其影子长比值是相同的．
【变式1】（2022·陕西·九年级专题练习）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为（ ）
A．9．5米 B．10．75米 C．11．8米 D．9．8米
【答案】A
【详解】试题分析：如图，设树高为xm，则第一级台阶上的树高为（x-0．3）m，根据同一时刻物高与物影成正比可得，解得x=9．5m，故答案选A．
考点：相似三角形的应用．
【变式2】（2023春·吉林松原·九年级校联考阶段练习）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
【答案】B
【分析】由太阳光为平行光可知，进而证明，利用相似三角形对应边成比例，即可列式求解．
【详解】解：由题意知，
，
又 ，
，
，即，
，
即旗杆的高度为12米．
故选B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行投影、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【变式3】（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上，如图所示．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知、、、在同一直线上，、、，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行投影得，可得，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，，
∴，
，
，，
，
∴，
，即，
解得，
旗杆的高度为．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明是解题的关键．
考点3：中心投影
典例3：（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子
【答案】D
【分析】根据中心投影的性质，找到灯光的灯源即可．
【详解】解：中心投影的灯源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的性质，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
【变式1】（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据中心投影的特点及小亮和小美的身高差判断即可.
【详解】解：小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示：
故选D.
【点睛】本题考查了中心投影的特点．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
【变式2】（2022春·九年级单元测试）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的性质，灯光下影子与物体离灯源距离有关，从而得出答案．
【详解】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，
你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是变短．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
【变式3】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
考点4：中心投影与相似
典例4：（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，证明，然后利用相似比即可求解．
【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明是解题的关键．
【变式1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，
∵，
∴，则，
∵米，米，则米，
∴，
设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即，，米，
∴，
则，
∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
【变式2】（2023春·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵， ， ，
设直线的解析式为：，直线的解析式为：，
∴
解得：，
∴，
中，当时，，则,
中，当时，，则
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用中心投影，延长 分别交x轴于 ，作 轴于E，交于D，如图，证明 ，然后利用相似比可求出 的长．
【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于E，交于D，如图
∵ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
考点5：几何体的三视图
典例5：（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图所示的几何体，其主视图是三角形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】正对着我们的叫做正面，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，根据定义判断即可；
【详解】A．主视图为长方形，不符合题意；
B．主视图为三角形，符合题意；
C．主视图为圆，不符合题意；
D．主视图为正方形，不符合题意；
故选： B．
【点睛】本题考查了主视图的定义，牢记主视图的观察方向是解题关键．
【变式1】（2023·山东淄博·统考中考真题）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别确定各几何体的三视图，从而得解．
【详解】A. ，主视图、左视图和俯视图分别为长方形，长方形，长方形，三长方形大小不一定相同，故本选项不合题意；
B. ，主视图、左视图和俯视图分别是长方形，长方形，圆，故本选项不合题意；
C. ，主视图、左视图和俯视图分别是三角形，三角形，圆，故本选项不合题意；
D. ，主视图、左视图和俯视图分别是圆，圆，圆，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查常见几何体的三视图；掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
【变式2】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从几何体的左边看，是一个矩形，矩形的内部有两条纵向的虚线，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
【变式3】（2023秋·七年级课时练习）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答．
【详解】解：该几何体的主视图如下：
故选：B．
【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图，要具有一定的空间想象能力．
【变式4】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）画出如图所示的几何体的三视图．
【答案】见解析
【分析】根据三视图的定义，画出几何体的三视图即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查根据几何体画三视图，掌握三视图的定义，是解题的关键．
【变式5】（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，这是一个由13个小立方块所搭几何体从上面看到的图形，正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出它从正面和从左面看到的图形．
【答案】见解析
【分析】根据已知图形得出实际摆放情况，进而利用从正面和左面观察得出图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了画三视图，根据已知正确得出图形的三视图是解题关键．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
【变式6】（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）如图，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)图中有__________块小正方体；
(2)请在方格中画出该几何体从正面、上面和左面看到的图形．
【答案】(1)10
(2)见解析
【分析】（1）最前面1排1个小正方体，中间1排有3个正方体，最后面一排共6个小正方体，再计算总和即可．
（2）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形．
【详解】（1）解：图中有小正方体块数为，
故答案为：10．
（2）解：如图所示：
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的特征，以及三视图的画法是关键．
【变式7】（2022秋·福建三明·七年级校考期中）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；
(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；
(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据图形进行分析即可得到答案；
（2）主视图有3列，每列小正方形数目分别是2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别是1，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别是3，1，1；据此可画出图形；
（3）保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个，相加求出即可．
【详解】（1）解：由图可得：这个几何体由6个小正方体组成，
故答案为：6；
（2）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示：
；
（3）解：根据题意得：
保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个，
（个），
最多还可以添加4个小正方体，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了画三视图，三视图相关的计算，考查了学生空间想象能力．
【变式8】（2023秋·七年级课时练习）如图，这是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）为______________．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）左视图即从几何体左侧看到的图形，俯视图即从几何体的上方往下看到的图形；
（2）观察图中几何体可得，几何体的主视图，左视图，俯视图所得的图形面积再乘以2即可得到几何体的表面积．
【详解】（1）解：左视图和俯视图如图所示．
（2）解：小正方体的棱长为1cm，
表面积，
答案为：26．
【点睛】本题考查了画三视图及几何体表面积的求法，掌握三视图概念及观察出几何体表面积与三视图的关系是解题关键．
【变式9】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）画出如图所示几何体的三种视图．
【答案】见解析
【分析】根据三视图的定义，画出图形即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查作图-三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
考点6：组合图形的三视图
典例6：（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如下图所示的立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出其俯视图即可．
【详解】∵这个组合体是由圆柱和三棱柱组成，它们的俯视图分别为圆和三角形，
∴这个组合体的俯视图为：
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的前提．
【变式1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱和圆台的几何特征，结合俯视图的性质进行判断即可．
【详解】该几何图形是由圆柱和圆台构成，从上往下看，圆柱和圆台的底面都是圆，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆柱和圆台的俯视图的判断，属于容易题．
【变式2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．
【变式3】（2023春·山西晋城·九年级统考期中）水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答案．
【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线．
【变式4】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用左视图以及俯视图观察的角度不同分别得出答案；
（2）直接利用几何体的形状得出其表面即可．
【详解】（1）如图所示：
；
（2）该几何体的表面积（含下底面）为：；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了作三视图以及几何体的表面积求法，正确把握三视图的画法是解题关键．
【变式5】（2023秋·七年级课时练习）按要求回答下列问题（其中小正方体的棱长均为1）．
(1)如图1，它是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，请你借助虚线网格画出该几何体的三视图；
(2)如图2，它是由10个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变的视图为__________；
(3)如图2，若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加_____个相同的小正方体．
【答案】(1)作图见解析
(2)俯视图
(3)3
【分析】（1）根据三视图的定义作图即可；
（2）利用几何体的形状和俯视图即可求解；
（3）利用小正方体的个数结合俯视图得出主视图即可．
【详解】（1）解：几何体的三视图如图所示，
（2）解：由题意可得，将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变的视图为俯视图，
故答案为：俯视图；
（3）解：若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加个相同的小正方体，
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图 三视图，根据立体图形得出其三视图是解题的关键．
考点7：由三视图求几何体的表面积与体积
典例7：（2023秋·七年级课时练习）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．
【答案】(1)正六棱柱
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；
（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；
（3）根据其侧面积是六长方形的面积，从而得出答案．
【详解】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状是正六棱柱，
故答案为：正六棱柱；
（2）解：六棱柱的表面展开图如图所示．（答案不唯一）
（3）解：由图中数据可知，六棱柱的高为，底面边长为，
所以六棱柱的侧面积为．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及求立体图形侧面积的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图，这是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积．（结果保留）
【答案】圆柱，
【分析】从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以圆柱的半径，长和高，易求体积．
【详解】解：由图可知：该立体图形为圆柱．
因为圆柱的底面半径，高，
所以圆柱的体积．
【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查；圆柱体积公式=底面积×高．
【变式2】（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图 ① 是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；根据两种视图中尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．
【答案】表面积为，体积为
【分析】根据三视图定义，可知两个视图分别为主视图、俯视图，再由视图上的数据，根据面积公式及体积公式即可得到答案．
【详解】解：两个视图分别为主视图、俯视图，
体积为：，
表面积为：，
答：这个几何体的表面积为，体积为．
【点睛】本题考查三视图的判断及根据三视图求立体图形的表面积与体积，熟记常见几何体的三视图，从三视图中得到几何体的相关数据是解决问题的关键．
【变式3】（2023秋·山东烟台·六年级统考期末）一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体个数．
(1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
(2)若小正方体的棱长为2，求该几何体的体积和表面积．
【答案】(1)见解析
(2)该几何体的体积为96，几何体的表面积为176
【分析】（1）根据从正面看，从左面看的定义，仔细画出即可；
（2）体积等于立方体的个数×单个的体积；表面积等于上下面的个数即从上面看的图形正方形个数的2倍；左右看的正方形面数，前后看的正方形面数，其和乘以一个正方形的面积即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵小正方体的棱长为2，
∴每个小正方体的体积为，
∴该几何体的体积为；
∵，
∴每个小正方形的面积为，
∴几何体的上下面的个数为个，前后面的个数为个，左右面的个数为个，
∴几何体的表面积为：．
【点睛】本题考查了从不同方向看，几何体体积和表面积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键．
【变式4】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）某工件的三视图如图所示，求此工件的全面积．
【答案】工件的全面积为．
【分析】由三视图可知，该工件为底面半径为10cm，高为30cm的圆锥体，然后由勾股定理得到该圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积和圆锥的底面积相加为圆锥的全面积．
【详解】解：由三视图可知，该工件为底面半径为，高为的圆锥体，
这圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，
圆锥的底面积为，
此工件的全面积为．
【点睛】本题主要考查几何物体三视图及圆锥的侧面积求法．三视图判断几何体的形状是难点，这就要求掌握几种常见几何体的三视图，并建立三视图与实物的对应关系．
【变式5】（2023秋·全国·七年级课堂例题）将棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体．
(1)①画出这个几何体的三视图，并求出三视图的面积；
(2)求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析，主视图面积为，左视图面积为，俯视图面积为
(2)
【分析】（1）读图可得，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2， 1，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2， 1，依此画出图形，进而求出面积即可；
（2）从上面看到6个正方形，从正面和右面可看到6个正方形，从两个侧后面可看到6个正方形，从底面可到到6个正方形，面积相加即为所求．
【详解】（1）
主视图面积为，左视图面积为，俯视图面积为．
（2）从上面看到的面积为，从正面和右面看到的面积为，
从两个侧后面看到的面积为，从底面看到的面积为，
那么这个几何体的表面积为．
【点睛】本题考查了几何体的三视图和表面积，解决问题的关键是分别从各个视角求出面积，然后相加即可．
考点8：由三视图判断几何体
典例8：（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图是某组合体的三视图，则该组合体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图分别判断出两部分的几何体．
【详解】解：根据正视图和俯视图可知，组合体上部分为一个圆柱体，根据俯视图和左视图可知，组合体下部分为一个长方体，故该组合体是有一个圆柱和长方体组合而成，选项A满足，
故选：A．
【点睛】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是掌握常见的几何体的三视图的特征，比如圆柱，圆锥之类．
【变式1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
【变式2】（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）用小方块搭几何体，从左面、正面看到的形状如下图，这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据左视图和主视图即可判断．
【详解】解：从左面看，说明前面一排有2层，后面一排有1层，排除A、C、D；
从正面看，说明左侧一排有2层，中间一排有1层，左侧一排有2层，故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查组合体的三视图，培养空间想象力是关键．
【变式3】（2023·广东广州·统考中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．
【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，
由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合，
故选：D．
【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．
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专题05 投影与视图
考点类型
考点一遍过
考点1：平行投影
典例1：（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）将一个梯形木板放在阳光下做投影实验，木板在地面上形成的影子不可能是（ ）
①梯形；②线段；③三角形；④平行四边形．
A．②③ B．②④ C．①④ D．③④
【变式2】（2022·福建厦门·统考二模）在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影子长的变化规律为（ ）
A．逐渐变长 B．逐渐变短
C．影子长度不变 D．影子长短变化无规律
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长
考点2：平行投影与相似
典例2：（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（ ）
A． B．8m C． D．7m
【变式1】（2022·陕西·九年级专题练习）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为（ ）
A．9．5米 B．10．75米 C．11．8米 D．9．8米
【变式2】（2023春·吉林松原·九年级校联考阶段练习）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
【变式3】（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上，如图所示．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知、、、在同一直线上，、、，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
考点3：中心投影
典例3：（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子
【变式1】（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022春·九年级单元测试）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
【变式3】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
考点4：中心投影与相似
典例4：（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
【变式2】（2023春·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
考点5：几何体的三视图
典例5：（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图所示的几何体，其主视图是三角形的是（ ）
B．
C． D．
【变式1】（2023·山东淄博·统考中考真题）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·七年级课时练习）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）画出如图所示的几何体的三视图．
【变式5】（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，这是一个由13个小立方块所搭几何体从上面看到的图形，正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出它从正面和从左面看到的图形．
【变式6】（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）如图，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)图中有__________块小正方体；
(2)请在方格中画出该几何体从正面、上面和左面看到的图形．
【变式7】（2022秋·福建三明·七年级校考期中）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；
(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；
(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体．
【变式8】（2023秋·七年级课时练习）如图，这是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）为______________．
【变式9】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）画出如图所示几何体的三种视图．
考点6：组合图形的三视图
典例6：（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如下图所示的立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023春·山西晋城·九年级统考期中）水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）为 ．
【变式5】（2023秋·七年级课时练习）按要求回答下列问题（其中小正方体的棱长均为1）．
(1)如图1，它是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，请你借助虚线网格画出该几何体的三视图；
(2)如图2，它是由10个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变的视图为__________；
(3)如图2，若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加_____个相同的小正方体．
考点7：由三视图求几何体的表面积与体积
典例7：（2023秋·七年级课时练习）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．
【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图，这是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积．（结果保留）
【变式2】（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图 ① 是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；根据两种视图中尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．
【变式3】（2023秋·山东烟台·六年级统考期末）一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体个数．
(1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
(2)若小正方体的棱长为2，求该几何体的体积和表面积．
【变式4】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）某工件的三视图如图所示，求此工件的全面积．
【变式5】（2023秋·全国·七年级课堂例题）将棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体．
(1)①画出这个几何体的三视图，并求出三视图的面积；
(2)求该几何体的表面积．
考点8：由三视图判断几何体
典例8：（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图是某组合体的三视图，则该组合体是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C．
D．
【变式2】（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）用小方块搭几何体，从左面、正面看到的形状如下图，这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·广东广州·统考中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
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