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重难突破08 反比例函数与几何综合
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，菱形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，B（0，-5）、D在轴上，点E（-4，0）是与x轴的交点，若菱形ABCD面积，则k值为（ ）
A．-36 B．-16 C． D．-24
2．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，点A是双曲线第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北十堰·统考模拟预测）如图，y＝x与y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于B，若OA＝3BC，S四边形OABC＝（ ）
A．6 B． C．4 D．8
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．20
5．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）如图，点，都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·九年级课时练习）如图所示，点B、D在双曲线上，点A在双曲线上，且AD//y轴，AB//x轴， 以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2022秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，过点作轴交函数 的图象于点，连结．若的面积为3，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．7
8．（2022春·重庆·九年级阶段练习）如图 ，反比例函数和上分别有两点B、C，且BC∥轴，点P是轴上一动点，则△BCP的面积是（ ）
A．5 B．5.5 C．6.5 D．10
二、填空题
9．（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差 ．
10．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图第一象限内的矩形中，边轴，边轴，已知，点、点都在函数图像上，则点坐标为 ．
11．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图，点A在双曲线(x>0)上，点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60° ，则 k＝ ．
12．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移4个单位后与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点P，则k= ；△POA的面积为 ．
13．（2022·福建·九年级专题练习）已知点Ａ是双曲线ｙ＝－在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，点C在第一象限，且∠ACB＝120°，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲k线ｙ＝上，则k的值为 ．
14．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（k1≠0）在第二象限内的图象经过正方形ABCD的顶点D（m，2）和BC边上的点G（n，），直线y=k2x+b（k2≠0）经过点D，点G，则不等式≤k2x+b的解集为 ．
15．（2022秋·九年级课时练习）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ．
16．（2022·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，顶点的坐标为的坐标为，点是反比例函数图象上一点，将反比例函数图象向左平移个单位长度后恰好经过点，则的值是 .
三、解答题
17．（2022春·吉林白城·九年级阶段练习）已知：点（1,3）在函数的图象上，矩形ABCD的边BC在轴上，E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A，E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点C的横坐标（用m表示）
（3）当∠ABD=45 时，求m的值.
18．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作轴，垂足为C，其中的面积等于3．
(1)求出一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点P是一次函数图象上的动点，若CP把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标．
19．（2022·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．
（1）求n及k的值；
（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．
20．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA，点B的横坐标为a（a＞1）
（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．
21．（2022春·九年级单元测试）如图，将一矩形放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边交于点F．
(1)若、的面积分别为、．且，求k的值；
(2)若，．问当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大，其最大值为多少？
22．（2022·广东·九年级专题练习）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、．
（1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出m、n之间的数量关系式；
（3）若、为动点，与是否相似？为什么？
23．（2022·河南商丘·统考二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为，反比例函数的图象经过点B，D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为y轴上的点，连接AP，若为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．
24．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若y轴上存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
25．（2022秋·湖南张家界·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴上，B(18，6)，反比例函数的图像经过点A，与OB交于点E．
（1）求菱形OABC的边长；
（2）求出k的值；
（3）求OE：EB的值．
26．（2023春·山东济南·九年级专题练习）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当＝时，求直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，一次函数（）的图象经过点，与轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．连接，且的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，的解集；
（3）设点是反比例函数（）的图象上一点，点是直线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）已知点A(a，b)为双曲线（x＞0）图象上一点．
（1）如图1，过点A作AD⊥y轴于D点，点P是x轴任意一点，连接AP．求△APD的面积．
（2）以A(a，b)为直角顶点作等腰Rt△ABC，如图2所示，其中点B在点C的左侧，若B点的坐标为B(﹣1，0)，且a、b都为整数时，试求线段BC的长．
（3）在（2）中，当等腰Rt△ABC的直角顶点A(a，b)在双曲线上移动时，B、C两点也随着移动，用含a，b的式子表示C点坐标；并证明在移动过程中OC2﹣OB2的值恒为定值．
29．（2022·河南·九年级专题练习）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．双曲线的图象经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求的值及点的坐标；
（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式．
30．（2022春·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，已知一次函数y1 = k1x + 6与反比例函数（x>0）的图象交于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为2和4．
(1)k1= ，k2= ；
(2)求点A、B、O所构成的三角形的面积；
(3)对于x>0，试探索y1与y2的大小关系（直接写出结果）．
31．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，，点D在反比例函数的图象上，，垂足为点E，四边形是矩形．
(1)用m表示点A，B的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)已知点P在x轴上，且的面积等于40，求点P的坐标．
32．（2022春·浙江温州·九年级阶段练习）如图，点是函数图象上的任意一点，过点作⊥轴，交另一个函数的图象于点，在轴上取点，使四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：平行四边形的面积为定值；
（Ⅱ）设直线与函数的图象相交于另一点，若不论点在何处，都有，试求的关系式．
33．（2022春·全国·九年级专题练习）点的坐标为，轴于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到．
（1）求经过中点的反比例函数图象与线段的交点的坐标．
（2）点是轴上的一个动点，若为等腰三角形时，写出点的坐标．
34．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，矩形A中的点，在第一象限，点，在轴的正半轴上，，对角线的延长线交轴于点，在第一象限内，反比例函数的图象经过点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在轴上是否存在一点，使的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2022·福建福州·统考一模）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝6．连接OA，AB，且OA＝AB＝5．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求AD的长度．
36．（2022秋·云南昆明·九年级云大附中校考期中）如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线 上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．
（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；
（2）当时，求的面积．
（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
37．（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，已知一次函数为常数，)的图象与轴，轴分别交于点，且与反比例函数为常数，)的图象在第二象限内交于点作轴于，若．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式的解集；
（3）在双曲线上是否存在点使得？ 如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
38．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标．
39．（2023·湖南株洲·一模）如图，是双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交轴、轴于、两点，交双曲线于E、F两点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若，求的值和的长．
40．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点的坐标为，点的坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)若点是双曲线上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)若点在轴的负半轴上，是否存在以点，，为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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重难突破08 反比例函数与几何综合
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，菱形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，B（0，-5）、D在轴上，点E（-4，0）是与x轴的交点，若菱形ABCD面积，则k值为（ ）
A．-36 B．-16 C． D．-24
【答案】C
【分析】由题意设A（m，n），根据菱形的面积公式进行分析并作AF⊥x轴于F，进而利用相似三角形的性质以及根据系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：设A（m，n），
∵S菱形ABCD=160，B（0，-5），
∴（-2m） 2（n+5）=160，
整理得-m（n+5）=80①，
作AF⊥x轴于F，
∴AF∥BD，
∴△AEF∽△BEO，
∴,
∵E（-4，0），
∴,
∴,
把②代入①得，,
解得m=-8，
∴n=5，
∴A（-8，5），
∵顶点A在反比例函数的图象上,
∴k=-8×5=-40.
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义以及菱形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，点A是双曲线第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出；
【详解】如图，连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
由题可得AO=BO，AC=BC，且∠ACB=120°，
CO⊥AB，∠CAB=30°，
Rt△AOC中，OC:AO=，
∠AOD+∠COE=90°，∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
，
点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
，
，即，
，
又，
．
故选：A.
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE，运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．
3．（2022·湖北十堰·统考模拟预测）如图，y＝x与y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于B，若OA＝3BC，S四边形OABC＝（ ）
A．6 B． C．4 D．8
【答案】D
【分析】过点作轴的垂线，交直线于点，先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再设点坐标为，点坐标为，从而可得，然后根据得出，将点的坐标代入反比例函数的解析式可求出，最后根据即可得．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
则，
由直线平移的性质得：，且直线的解析式为，
四边形都是平行四边形，
，
，
，
设点坐标为，点坐标为，则，
由得：，解得，
，
将点代入得：，
解得或（舍去），
，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、平行四边形的性质与面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【详解】解：∵一次函数中，当x＝0时，y＝0＋3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝，
∴x＝ 2，
∴B（ 2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝2＋3＝5，
∴C点坐标为（-5，2），
∵点C在反比例函数（x＜0）图象上，
∴k＝ 5×2＝ 10．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
5．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）如图，点，都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中求出a，b的值，确定A，B的坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称性得到C点坐标为，D点坐标为，即可求解；
【详解】∵，点，都在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，，
作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，连接CD，此时交x轴，y轴于P，Q，此时四边形ABQP的周长最小，
∵QB=QC，PA=PD，
∴四边形ABQP的周长，
∴，，
∴四边形ABQP的周长的最小值为；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，结合轴对称最短路径的计算是解题的关键．
6．（2022春·九年级课时练习）如图所示，点B、D在双曲线上，点A在双曲线上，且AD//y轴，AB//x轴， 以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】设，求得、的坐标，进而得、的长度，再根据矩形的面积公式求矩形的面积．
【详解】解：轴，轴，
∴，
四边形为矩形，
设，
点，在双曲线上，
，，
，，
矩形的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是根据点的坐标，求出、点坐标．
7．（2022秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，过点作轴交函数 的图象于点，连结．若的面积为3，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．7
【答案】C
【分析】先设点A坐标，根据反比例函数的对称性表示B的坐标，由结合点C在上表示点C坐标，进而表示出的面积，进行计算即可．
【详解】∵点A在双曲线第三象限的分支上
∴设点A，则B
∵轴交反比例函数的图象与点C
∴C
∵的面积为3
∴
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合问题，能熟练的将点的坐标转化为线段长度，表示出三角形的面积是解题的关键．
8．（2022春·重庆·九年级阶段练习）如图 ，反比例函数和上分别有两点B、C，且BC∥轴，点P是轴上一动点，则△BCP的面积是（ ）
A．5 B．5.5 C．6.5 D．10
【答案】A
【详解】试题分析：连接BO、CO，由BC∥轴根据三角形的面积公式可得△BCP的面积等于△BOC的面积，再根据反比例函数中k的几何意义求解即可.
连接BO、CO
∵BC∥
∴△BCP的面积等于△BOC的面积
∵点B、C分别在反比例函数和上
∴△BCP的面积
故选A.
考点：反比例函数中k的几何意义
点评：反比例函数中k的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.
二、填空题
9．（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差 ．
【答案】3
【分析】妙解1：已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；
妙解2：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造矩形求解即可；
妙解3：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造直角三角形求解即可．
【详解】妙解1：
如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数y=的图象上，所以设点B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，
由AD=BD，得n =m n，化简整理得m2 2mn= 6．
∴SΔOAC SΔBAD=n2 (m n)2= m2+mn= (m2 2mn)，
即S△OAC SΔBAD=3．
妙解2：
如图，作轴于点F，延长交于点H，交y轴于点G，延长交x轴于点E．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积为6．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
妙解3：
如图，作轴于点F，延长交于点H，连接．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴的面积等于3．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，．
∵，
，
所以．
10．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图第一象限内的矩形中，边轴，边轴，已知，点、点都在函数图像上，则点坐标为 ．
【答案】（3，6）
【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数
（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），
∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），
∵点B与点D在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴y=6，x=3，
∴点C的坐标为（3，6）．
故答案为：（3，6）
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
11．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图，点A在双曲线(x>0)上，点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60° ，则 k＝ ．
【答案】3
【详解】过A作AD⊥x轴，
因为点A在双曲线（x＞0）上，设A点坐标为（a，），
∵∠AOC=60°，
∴∠OAD=30°，
所以OA=2a，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB=AO，
可得B点坐标为（3a，），
可得：k=3a×=3，
故答案为3.
12．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移4个单位后与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点P，则k= ；△POA的面积为 ．
【答案】 2 2
【详解】试题分析：将点A坐标代入一次函数解析式可得点A的坐标为(1，2)，则k=1×2=2；设平移后的一次函数交y轴与点B，则点B的坐标为(0，-4)，根据平行线之间距离相等可得：△AOP的面积等于△AOB的面积，则=2．
点睛：本题主要考查的就是反比例函数中k的几何意义以及平行线之间的距离问题，属于中等难度题型．反比例函数与其他知识的关联运用，依旧离不开反比例函数中K的几何意义，由此可见深刻理解反比例函数中K的几何意义对解相关题目的作用．K的几何意义有以下几种用法：①、K的几何意义的直接应用；②、K的几何意义与线段比，面积比的知识关联；③、K的几何意义与三角形相似知识的关联．
13．（2022·福建·九年级专题练习）已知点Ａ是双曲线ｙ＝－在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，点C在第一象限，且∠ACB＝120°，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲k线ｙ＝上，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】要求k的值，就是要求xy的值，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，则只要求出OE CE的值即可．
【详解】连接OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示，
∵等腰△ABC中，∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴60°=，
则，
∵点A是双曲线y=-在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=，
∴S△OCE=，
∴EC EO=1，
∴k=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是等角转换，并灵活运用三角函数求得各线段长度．
14．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（k1≠0）在第二象限内的图象经过正方形ABCD的顶点D（m，2）和BC边上的点G（n，），直线y=k2x+b（k2≠0）经过点D，点G，则不等式≤k2x+b的解集为 ．
【答案】-3≤x≤-1或x＞0．
【分析】利用正方形ABCD的顶点D的坐标得到正方形的边长为2，则G点坐标表示为（n-2，），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2m=（m-2），求出m得到G（-3，），D（-1，2），然后结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围（含两图象交点的横坐标）．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点D的坐标为（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴G（n-2，），
根据题意将D（m，2），G（m-2，）代入到反比例函数y＝（k1≠0）图象上，
∴2m=（m-2），
解得m=-1，
∴G（-3，），D（-1，2），
∵当-3≤x≤-1或x＞0时，≤k2x+b，
∴不等式≤k2x+b的解集为-3≤x≤-1或x＞0．
故答案为-3≤x≤-1或x＞0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质．
15．（2022秋·九年级课时练习）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ．
【答案】①③④．
【分析】设正方形的边长为，表示出，，，，的坐标，利用得到三角形与三角形全等，结论①正确；利用勾股定理表示出与，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形与三角形全等，根据三角形面积三角形面积四边形面积三角形面积，等量代换得到四边形与面积相等，结论③正确；过作垂直于，如图所示，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的值，确定出坐标，即可对于结论④做出判断．
【详解】解：设正方形的边长为，
得到，，，，，，
在和中，
，
，结论①正确；
根据勾股定理，，，
和不一定相等，结论②错误；
，
，结论③正确；
过点作于点，如图所示，
，
，，
，，
，，
，
，
，即，
由得，，
整理得：，
解得：（舍去负值），
点的坐标为，结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
16．（2022·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，顶点的坐标为的坐标为，点是反比例函数图象上一点，将反比例函数图象向左平移个单位长度后恰好经过点，则的值是 .
【答案】2
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据AAS证明，可得D的坐标是，C的坐标是，可得,设平移后函数解析式为，把C点代入即可求出a的值.
【详解】如解图，
过点作轴于点，过点作轴于点，
由题可知，，
又，
在和中，，，
同理可证得，
，
∴D的坐标是，C的坐标是，
∵点D在反比例函数图象上，，
则平移前函数的解析式是.平移后函数解析式为，
将点C代入解析式中，解得.
故答案为：2
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，以及函数平移，能够将反比例函数中几何图形问题转化成代数问题求解是解题的关键.
错因分析 稍难题.失分原因：1.对反比例函数的性质掌握不熟练；2.不能熟练地将反比例函数中几何图形问题转化成代数问题求解.
三、解答题
17．（2022春·吉林白城·九年级阶段练习）已知：点（1,3）在函数的图象上，矩形ABCD的边BC在轴上，E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A，E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点C的横坐标（用m表示）
（3）当∠ABD=45 时，求m的值.
【答案】（1）3，（2）E（，），（3）；
【详解】试题分析：（1）代入可得，K=
（2）由于点E的横坐标是m，代入得到E的纵坐标是
所以
（3）当∠ABD=45 时即，ABCD是正方形，所以AB=BC=2OB,即
考点：反比例函数的应用
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握待定系数法求函数关系式，即可完成.
18．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作轴，垂足为C，其中的面积等于3．
(1)求出一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点P是一次函数图象上的动点，若CP把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)y＝x 1
(2) 2＜x＜0或x＞3
(3)P（1，0）或（0， 1）．
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）由于CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，据此即可求得P点的坐标．
【详解】（1）解：∵Rt△AOC的面积等于3，
∴ k＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点A（3，m）、B（n， 3），
∴3×m＝6， 3n＝6，
解得m＝2，n＝ 2，
∴A（3，2），B（ 2， 3），
把A、B的坐标代入y＝ax＋b
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x 1．
（2）观察图象，不等式ax＋b＞的解集为： 2＜x＜0或x＞3．
（3）作BM⊥x于M，BN⊥y轴于N，AF⊥y轴于F，则AC∥BM，设AB与y轴交于点E，
∴，
∵A（3，2），B（ 2， 3），
∴AC＝2，BM＝3，
∴，
∴CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
同理 ，
∴CE把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
∵直线y＝x 1交坐标轴于D、E，
∴D（1，0），E（0， 1），
∵CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
∴P（1，0）或（0， 1）．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想的应用．
19．（2022·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．
（1）求n及k的值；
（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．
【答案】（1）n=4，k=2；（2）点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．
【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；
（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况考虑：①当AB＝AO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；②当OA＝OB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标．综上，此题得解．
【详解】（1）∵点A（2，n）在双曲线y＝上，
∴n＝＝4，
∴点A的坐标为（2，4）．
将A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，
解得：k＝2．
（2）分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如图所示．
①当AB＝AO时，CO＝CB1＝4，
∴点B1的坐标为（0，8）；
②当OA＝OB时，∵点A的坐标为（2，4），
∴OC＝4，AC＝2，
∴OA＝，
∴OB2＝2，
∴点B2的坐标为（0，2）；
③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，
在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，
解得：m＝，
∴点B3的坐标为（0，）．
综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况，利用等腰三角形的性质求出点B的坐标．
20．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA，点B的横坐标为a（a＞1）
（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）①（3，），②（3， ）；（3， ）；（3，- ）
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；
（2）①设AC，BD交于点M，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，结合AC⊥x轴，BD⊥y轴可得出BD，AM的长，利用三角形的面积公式结合△ABD的面积为4可求出a的值，进而可得出点B的坐标；
②设点E的坐标为（m，n），分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点E的坐标．
【详解】解：（1）∵函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，4），
∴k=1×4=4．
（2）①设AC，BD交于点M，如图1所示．
∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=的图象上，
∴点B的坐标为（a，）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BD=a，AM=AC-CM=4-．
∵△ABD的面积为4，
∴BD AM=4，即a（4-）=8，
∴a=3，
∴点B的坐标为（3，）
②存在，设点E的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑，如图2所示．
（i）当AB为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴点E1的坐标为（3， ）；
（ii）当AC为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴点E2的坐标为（3， ）；
（iii）当BC为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴点E2的坐标为（3，- ）.
综上所述：点E的坐标为（3， ）；（3， ）；（3，- ）.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）①利用三角形的面积公式结合△ABD的面积为4，求出a的值；②分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点E的坐标．
21．（2022春·九年级单元测试）如图，将一矩形放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边交于点F．
(1)若、的面积分别为、．且，求k的值；
(2)若，．问当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大，其最大值为多少？
【答案】(1)2
(2)当点E运动到的中点时，四边形的面积最大，最大值是5．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后根据求出k的值即可；
（2）设，，求出和，然后根据列式整理，再利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：∵点E、F在函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形为矩形，，，
设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴
，
，
∴当时，有最大值5，
∴，
即当点E运动到的中点时，四边形的面积最大，最大值是5．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，二次函数的应用，熟练掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．
22．（2022·广东·九年级专题练习）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、．
（1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出m、n之间的数量关系式；
（3）若、为动点，与是否相似？为什么？
【答案】（1）点坐标，点；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）先利用A、B两点求出反比例函数解析式，然后根据C点与A点纵坐标相同，D点与B点横坐标相同得到C、D两点坐标；
（2）分别把A、C两点坐标表示出来，再利用菱形性质和点P的坐标即可求出；
（3）设点P(a，b)，分别表示出点A、B、C、D的坐标，求出PA、PB、PC、PD，利用边成比例证相似
【详解】（1）点坐标反比例函数上的点，点坐标反比例函数上的点，
，，
轴，轴，点的纵坐标为2，点的横坐标为2，点坐标
点，点；
（2）点的坐标为(3，2)，点，点纵坐标为2，点，点的横坐标为3，
四边形是菱形，，，
设点，则点，，点，，点，
，，；
（3），
理由如下：设点的坐标为，
则点的坐标为、点的坐标为，
点的坐标为、点的坐标为，
，，，，
，，即，且，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键.
23．（2022·河南商丘·统考二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为，反比例函数的图象经过点B，D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为y轴上的点，连接AP，若为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为，，，
【分析】（1）先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再代入反比例函数求出k的值；
（2）先求出OA的长，再分三种情况进行讨论，分别求出点P的坐标
【详解】（1）∵轴，轴．
又∵点，且平行四边形ABCD对角线交于坐标原点O，
∴，，
∴．
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴，
∴，．
∴点．
将点代入，得，
∴．
∴反比例函数的解析式为；
（2）在中，根据勾股定理，得．
当是等腰三角形时，如图，分三种情况讨论：
①当时，
若点在y轴的负半轴上，则点，
若点在y轴的正半轴上，则点；
②当时，此时，点在OA的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
③当时，点A在的垂直平分线上，
∴点的坐标为．
综上可知，点P的坐标为，，，．
【点睛】此题是反比例函数与几何图形结合的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，理解和应用反比例函数的性质解决问题是解本题的关键．
24．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若y轴上存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：，一次函数的表达式为：；
(2)或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设点，根据勾股定理可得，，，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入一次函数和反比例函数表达式得：
，解得：，
所以反比例函数的表达式为：，一次函数的表达式为：；
（2）解：对于，
当时，，
∴，
设点，
∵点，点，
∴，，，
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为或；
当时，则，
解得：（舍去）或3，
即点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的与反比例函数的问题，等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
25．（2022秋·湖南张家界·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴上，B(18，6)，反比例函数的图像经过点A，与OB交于点E．
（1）求菱形OABC的边长；
（2）求出k的值；
（3）求OE：EB的值．
【答案】（1）10；（2）48；（3）2
【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，根据勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）从而求得A的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k；
（3）设，过E点作EG⊥x轴于G，则OG=a，EG=，证得△OGE∽△OFB，根据相似三角形的性质得到，解得a=12，进一步得到 ，从而求得．
【详解】解:（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
由题意可得BF=6，OF=18
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=BC
在Rt△BCF中，62+（18－BC）2=BC2
解得BC=10 ，
∴菱形OABC的边长是10；
（2）由（1）可求得点A的坐标是（8，6）
将点A（8，6）代入y＝，解得k=48，
（3）设E（a， ），过点E作EG⊥x轴于点G，
根据题意可知OG=，EG=
由作图可知EG∥BF，
∴△OGE∽△OBF
∴，解得a=12，
∴
∴
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，求得E点坐标则解题的关键．
26．（2023春·山东济南·九年级专题练习）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当＝时，求直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），n=2；（2）；（3）（1，），（，）
【分析】（1）将、代入反比例函数解析式，进而得出的值；
（2）根据题意进而得出，，的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用与 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【详解】解：（1）、在反比例函数的图象上，
，，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）如图1，过点作，垂足为．
在中，，
，，
，
．
．
设直线的解析式为，代入、，
得，解得：，
因此直线的函数解析式为：；
（3）存在，
如图2，作于，于，
当时，，
，
，
，
，可得，，
点的坐标为；
如图3，当时，，
，，由勾股定理，，
，
，
，，，
，可得，，
点的坐标为，，
点的坐标为；，．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，一次函数（）的图象经过点，与轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．连接，且的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，的解集；
（3）设点是反比例函数（）的图象上一点，点是直线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标．
【答案】（1）y=x+6，；（2）0＜x＜2；（3）（4，10）或（，）或（-4，2）
【分析】（1）由一次函数的图象经过点，得，解出，得一次函数解析式为；当时，，由的面积为6．得，求出，写出点坐标，即可求解；
（2）结合图象可知当时，的解集是；
（3）①当为边时，如图1，且，设点坐标为，则点的坐标为，得，当时，解得或舍去）此时点坐标为；当时，解得或（负值舍去），此时点坐标为，；②当为对角线时，如图2，则与互相平分，设点坐标为，点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，，此时点坐标为，即可求解．
【详解】解：（1）一次函数的图象经过点，
，得，
一次函数解析式为；
当时，，
，
的面积为6．
，
，
当时，，
点坐标，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）结合图象可知当时，的解集是；
（3）①当为边时，如图1，且，
设点坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，
解得或舍去）此时点坐标为；
当时，
解得或（负值舍去），此时点坐标为，；
②当为对角线时，如图2，则与互相平分，
设点坐标为，点的坐标为，
由中点坐标公式得，
解得，，此时点坐标为，
综上．点坐标为或，或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数关系式求法，反比例函数一次函数与平行四边形的综合运用，关键是分类讨论，①当CO为边时；②当CO为对角线时．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）已知点A(a，b)为双曲线（x＞0）图象上一点．
（1）如图1，过点A作AD⊥y轴于D点，点P是x轴任意一点，连接AP．求△APD的面积．
（2）以A(a，b)为直角顶点作等腰Rt△ABC，如图2所示，其中点B在点C的左侧，若B点的坐标为B(﹣1，0)，且a、b都为整数时，试求线段BC的长．
（3）在（2）中，当等腰Rt△ABC的直角顶点A(a，b)在双曲线上移动时，B、C两点也随着移动，用含a，b的式子表示C点坐标；并证明在移动过程中OC2﹣OB2的值恒为定值．
【答案】（1）3；（2）6；（3）C(a+b，0)，见解析
【分析】（1）由点A（a，b）在反比例函数上可得到ab=6，AD=a，OD=b，进而根据三角形的面积公式求出△APD的面积；
（2）过A作AE垂直x轴于E点，可得：E（a，0），由∠ABE=45°可得△ABE为等腰直角三角形，根据AE=BE，求出a和b的值，进而求出BC的长；
（3）分类讨论B点在y轴的左侧还是在y轴的右侧，求出C点的坐标，可得OC的长，再用a和b表示出OB的长，两式相减，观察得到的结果是否为定值．
【详解】解：（1）由点A（a，b）在反比例函数上可得：
ab=6，AD=a，OD=b，
∴S△ABC=ADOD=ab=3；
（2）过A作AE垂直x轴于E点，可得E（a，0），则：
由∠ABE=45°可得△ABE为等腰直角三角形
∴AE=BE，E在B右侧且B坐标为（﹣1，0），
∴BE=a﹣（﹣1）=a+1，则a+1=b，又
∵ab=6且a、b都为整数．
∴a只能取2，b为3，
此时，BE=AE=CE=b=3，
∴BC=BE+CE=6；
（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管点A如何移动，
总有：OC=OE+EC=a+b，且C总在x轴正半轴，
∴C（a+b，0）；
当B在y轴左侧时，如图2所示，则a＜b，
∴OB=BE﹣OE=b﹣a．
∴（a+b）2﹣（b﹣a）2=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=4×6=24，
∴OC2﹣OB2=24；
当B在y轴右侧或与原点重合时，如图3所示，则a≥b，
∴OB=OE﹣BE=a﹣b，
∴OC2﹣OB2=（a+b）2﹣（a﹣b）2=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=4×6=24；
综上所述：移动过程中OC2﹣OB2的值恒为24．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及等腰三角形等知识，此题考查了分类讨论的解题思路，此题难度有点大．
29．（2022·河南·九年级专题练习）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．双曲线的图象经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求的值及点的坐标；
（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式．
【答案】（1）点坐标是；（2）．
【详解】解：（1）矩形的顶点、分别在轴和轴上，已知点坐标，轴，点是中点，，则点坐标为，双曲线经过点，则，
则双曲线解析式为，轴，点与点的横坐标相同，点在双曲线上，当时，，
因此点坐标是；
（2）∵点是边上一点，且，，
∴，，，，
则，
而，则，
∴点坐标是，
设经过、两点的直线解析式是，则得出方程组，
解得，
∴直线的解析式为．
30．（2022春·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，已知一次函数y1 = k1x + 6与反比例函数（x>0）的图象交于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为2和4．
(1)k1= ，k2= ；
(2)求点A、B、O所构成的三角形的面积；
(3)对于x>0，试探索y1与y2的大小关系（直接写出结果）．
【答案】（1）k1= 1，k2=8．
(2)可得A（2，4），B（4，2）．
直线与x轴交点为C（6，0）．
∴S△OAB= S△OAC S△OCB="6"
(3)当04时，y1当2y2，
当x=2或4时，y1=y2．
【详解】解：（1）k1= 1，k2=8．······ 1’+1’
(2)可得A（2，4），B（4，2）．····· 3’
直线与x轴交点为C（6，0）．···· 4’
∴S△OAB= S△OAC S△OCB="6········" 5’
(3)当04时，y1当2y2，········ 7’
当x=2或4时，y1=y2．
31．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，，点D在反比例函数的图象上，，垂足为点E，四边形是矩形．
(1)用m表示点A，B的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)已知点P在x轴上，且的面积等于40，求点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】（1）根据一次函数的性质可用m表示点A，B的坐标，证明．推出，．求得，据此求解即可；
（2）先求得，设x轴上点，则，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，则，
∴，则．
令，则，
∴，则．
∵四边形是矩形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴，．
∴，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）得，，
，
由矩形，得，
∴，
∴．
设x轴上点，则．
由的面积为40，
得，
∴，
∴，
解得或．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点，注意利用数形结合思想．
32．（2022春·浙江温州·九年级阶段练习）如图，点是函数图象上的任意一点，过点作⊥轴，交另一个函数的图象于点，在轴上取点，使四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：平行四边形的面积为定值；
（Ⅱ）设直线与函数的图象相交于另一点，若不论点在何处，都有，试求的关系式．
【答案】（1）证明见解析（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）设点，然后表示出点B的坐标以及线段AB的长，再利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积=，即可说明问题；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的做法表示出点B、C以及点D的坐标，然后把点D的坐标代入，然后化简即可.
试题解析：（Ⅰ）设点，则
，
又的边上的高为
的面积为定值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以点
代入得.
考点：1.平行四边形的性质2.反比例函数的性质.
33．（2022春·全国·九年级专题练习）点的坐标为，轴于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到．
（1）求经过中点的反比例函数图象与线段的交点的坐标．
（2）点是轴上的一个动点，若为等腰三角形时，写出点的坐标．
【答案】（1）F 的坐标为；（2）满足条件的点P的坐标为（4，0）或（5，0）或 或．
【分析】（1）先求出点C（1，2），进而求出反比例函数解析式为y=，再由旋转求出AD=OA=2，AE=AB=4继而求出OE=6，再判断出△FME∽△DAE，得出点F（6-2a，a），即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点C是OB的中点，B（2，4），
∴C（1，2），
设反比例函数解析式为y=，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵BA⊥x轴于点A，
∴OA=2，AB=4，
由旋转知，△ADE≌△AOB，
∴∠DAE=∠OAB=90°，AD=OA=2，AE=AB=4，
∴OE=OA+AE=6，
如图，过点F作FM⊥x轴于M，
∴FM∥AB，
∴△FME∽△DAE，
∴FM：AD＝EM：AE，
设FM=a（a＞2），
∴，
∴EM=2a，
∴OM=OE-EM=6-2a，
∴F（6-2a，a），
∵点F在反比例函数y=图象上，
∴a（6-2a）=2，
∴a=（舍）或a=，
∴F（3+，）；
（2）设点P（m，0），
∵O（0，0），B（2，4），
∴，
∵△OBP为等腰三角形，
∴当OB=OP时，，
∴20=，
∴m=±2，
∴P（，0）或（-，0）；
当OB=BP时，，
∴20=+16，
∴m=4或m=0（舍），
∴P（4，0），
当OP=BP时，，
∴，
∴m=5，
∴P（5，0），
即：满足条件的点P坐标为（，0）或（-2，0）或（4，0）或（5，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
34．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，矩形A中的点，在第一象限，点，在轴的正半轴上，，对角线的延长线交轴于点，在第一象限内，反比例函数的图象经过点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在轴上是否存在一点，使的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）证得，根据相似三角形的性质求得，然后根据三角形面积公式即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：，，
，，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 ．
（2） 轴，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，得，
或，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的性质与判定，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形的面积，求得点D的坐标是解题的关键．
35．（2022·福建福州·统考一模）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝6．连接OA，AB，且OA＝AB＝5．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求AD的长度．
【答案】（1）12；（2）3．
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出OH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出AD的长．
【详解】（1）过点A作AH⊥OB交x轴于点H，交OC于点M，
∵OA＝AB＝5，OB＝6，
∴OH＝3，
∴AH＝＝4，
∴A（3，4），
∴k＝3×4＝12；
（2）将x＝6代入y＝得C（6，2），
∴BC＝2，
∴MH＝BC＝1，
∴AM＝3，
∵AH⊥x轴，BC垂直x轴，
∴AH∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝，
＝，
∴AD＝3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与图形的综合应用，涉及求反比例函数解析式、相似三角形的性质与判定、勾股定理，求出解析式，找到相似三角形是解题关键．
36．（2022秋·云南昆明·九年级云大附中校考期中）如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线 上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．
（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；
（2）当时，求的面积．
（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
【答案】（1）点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）；（2）△OEF的面积为；（3）BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形，理由见详解．
【分析】（1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标．
（2）当时，可求出线段OM、ON、FM、EN、PE、PF的长，然后用割补法就可求出△EOF的面积．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，由P（a，b）为双曲线（x＞0）上的一动点可得2ab=1．①运用勾股定理将BE2、EF2、FA2用a、b的代数式表示，即可证到BE2+FA2=EF2，从而解决问题；
【详解】解：（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴xF=xM=xP=a．
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴yE=yN=yP=b．
∵点E、F在直线AB上，
∴yE=xE+1=b．yF=xF+1=a+1．
∴xE=1b，yF=1a．
∴点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）．
（2）当时，
∵P（a，b）在双曲线（x＞0）上，
∴．
∴点P的坐标为（，），点E的坐标为（，），点F的坐标为（，）．
∴ON=，NE=，OM=，FM=．
∵直线y=x+1与x，y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；
当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四边形OMPN是矩形．
∴PM=ON=，NP=OM=．
∴BN=1，PE=，PF=．
∴S△OEF=S矩形OMPN-S△ONE-S△OMF-S△PEF
=OM ON ON NE OM FM PE PF
=
=
=．
∴△OEF的面积为．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，
BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
证明：如图1，
∵PM⊥x轴，FM=1-a，AM=1-a，
∴FA2=FM2+MA2=（1-a）2+（1-a）2=2（1-a）2．
同理可得：BE2=2（1-b）2，
EF2=[a-（1-b）]2+[b-（1-a）]2=2（a+b-1）2．
∵P（a，b）在双曲线y=（x＞0）上，
∴2ab=1，a＞0，b＞0．
∴EF2=2（a2+b2+1+2ab-2a-2b）
=2（a2+b2+1+1-2a-2b）
=2[（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]
=2（1-a）2+2（1-b）2
=FA2+BE2．
∴BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、完全平方公式等知识，综合性比较强．解题的关键熟练掌握所学的知识，掌握数形结合的思想进行计算．
37．（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，已知一次函数为常数，)的图象与轴，轴分别交于点，且与反比例函数为常数，)的图象在第二象限内交于点作轴于，若．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式的解集；
（3）在双曲线上是否存在点使得？ 如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，P或
【分析】（1）由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；
（3）设P点坐标为（x，），然后结合三角形面积公式列方程求解．
【详解】解：（1）
，
把两点的坐标分别代入可得，
解得，
一次函数解析式为
反比例函数的图象经过点
反比例函数的解析式为；
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段AC（包含C点，不包含A点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-3，8），
∴的解集为-3≤x＜0；
（3）存在；设P点坐标为（）
∵，
∴AD=6
∴
解得：x=±6
∴P点坐标为或
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、数形结合及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（2）中注意利用数形结合思想，在（3）中利用三角形面积公式列方程求解是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
38．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标．
【答案】
【分析】由△OAP是等腰直角三角形得到PA=OA，可以设P点的坐标是（a，a），然后把（a，a）代入解析式求出a=2，从而求出P的坐标，接着求出OA的长，再根据△ABC是等腰直角三角形得到BC=AB，可以设C的纵坐标是b，因而横坐标是b+2，把C的坐标代入解析式即可求出B的坐标．
【详解】解：如图，
∵△OAP是等腰直角三角形
∴PA=OA
∴设P点的坐标是（a，a）
∵点在函数的图象上，
∴．∴（，舍去）．
∴P的坐标是（2，2）
则OA=2
∵△ABC是等腰直角三角形
∴BC=AB
∴设C的纵坐标是b，
∴横坐标是b+2，
把C的坐标代入解析式，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（，0）．
∴点C的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
39．（2023·湖南株洲·一模）如图，是双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交轴、轴于、两点，交双曲线于E、F两点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若，求的值和的长．
【答案】(1)；
(2)，
【分析】（1）由题意可知，P点在反比例函数图象上，将P点代入反比例函数解析式，可求出m的值，A、B的坐标也可以求出来，再用待定系数法求出一次函数解析式．
（2）先将E、F点坐标表示出来，再根据比例关系，可证，k的值就算出来了，接下来把AB的长求出来，EF的长也出来了．
【详解】（1）∵是双曲线上一点，
∴，解得，（舍去），
∴，
∴点、点.
设直线的解析式为.
∴，解得.
∴直线的解析式为.
（2）由①可得，，
∴，，，，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数综合问题．学会将点坐标代入反比例函数解析式，找出相似关系列出等式是解决本题的关键．
40．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点的坐标为，点的坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)若点是双曲线上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)若点在轴的负半轴上，是否存在以点，，为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）由得，则点为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数得出、，得出，设点的坐标为，根据的面积是的面积的倍，建立方程，解方程即可求解；
（3）根据题意得出是等腰直角三角形，因此，若存在，显然只能在的左边，勾股定理得出 ，设的坐标为 ，
根据相似三角形的性质得出或，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）由得
从而，
∴点为
由此得
解得
所以双曲线的解析式为，直线的解析式为
（2）如图，、是直线与坐标轴的交点，
∴、
则，
由于在双曲线上，
设点的坐标为，
则
据题意有，
得
所求P点的坐标为(或
（3）存在，点坐标为，或
如图，
，
，
是等腰直角三角形，且 ，
∴
因此，若存在，显然只能在的左边，
设的坐标为 ，
要与相似，
则要或
即或
解之得或
所以点坐标为，或，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
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