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重难突破09 反比例函数与一次函数综合
重难突破
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·校考一模）将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线（）相交于两点，其中一个点的横坐标为，另一个点的纵坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2022春·八年级单元测试）如图，点A反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC =BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（，﹣1） D．（﹣1，）
4．（2022秋·山东东营·九年级统考期末）已知反比例函数（，x>0）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
5．（2022秋·山西·九年级校联考期末）如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东东莞·统考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·九年级单元测试）关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河南·九年级统考期末）如图，点B（﹣2，m），A（n，1）在双曲线上，连接OA，OB，则S△ABO＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是 ．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ．
11．（2022·江苏镇江·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，B，过点A作AC⊥x轴于C，已知△BOC的面积为3，则的值为 ．
12．（2022春·九年级单元测试）点P既在反比例函数y＝－ (x＞0)的图象上，又在一次函数y＝－x－2的图象上，则P点的坐标是 .
13．（2022春·江苏·八年级阶段练习）设反比例函数y=的图象与一次函数y=-x+3的图象交于点（a，b），则= ．
14．（2022·安徽·合肥市第四十五中学校考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是
15．（2022·安徽·统考一模）如图，在第二象限的双曲线上有一点，过点作轴交第二象限的另一条双曲线于点，连接，交双曲线于点．若平分，且点的纵坐标为4，则 ．
16．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图.已知点和点,点在反比例函数的图象上.作射线,再将射线绕点按逆时针方向旋转，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在
第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．
18．（2022秋·陕西汉中·九年级阶段练习）已知关于x的一次函数y1=kx+1与反比例函数y2=的图象交于A（2，m）、B两点．
（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，当x在什么范围内时，y1＞y2．
19．（2022春·九年级单元测试）直线y=x+b与双曲线y=都经过点A(2,3),直线y=x+b与x轴、y轴分别交于B、C两点.
(1)求直线和双曲线的函数关系式;
(2)求△AOB的面积.
20．（2022·四川成都·统考一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A(﹣2，3)，B(1，m)．
(1)分别求出反比例函数和一次函数y＝ax+b的表达式；
(2)将直线AB向上平移6个单位长度后与y轴交于点C，与反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，连接CB，BD，求点D的坐标及△BCD的面积；
(3)在（2）的条件下，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
21．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）已知：如图,一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点P.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D,且S△DBP=27,
(1)求点D的坐标；
(2)求一次函数与反比例函数的解析式
22．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于A（1，a）和B（b，1）两点，与x轴交于点C．
(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；
(2)直接写出当x＞0时，不等式的解集；
(3)若点P在y轴上，且△APB的面积为3，求点P的坐标．
23．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，一次函数y=-2x+8与函数y=（x＞0）的图像交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
(1)求k的值；
(2)根据图像直接写出﹣2x+80的x的取值范围；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
24．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，连接OA，OB．
(1)求一次函数的表达式及点B的坐标；
(2)求△ABO的面积；
(3)点P在反比例函数y的图象上，连接AP，BP，若△ABP的面积是△ABO的面积的2倍．求满足条件的点P的坐标．
25．（2022秋·天津·九年级天津经济技术开发区第一中学校考阶段练习）已知双曲线与直线交于两点，点的坐标为．
(1)由题意可得m的值为___________，k的值为___________，点B的坐标为___________；
(2)根据图象，正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围___________；
(3)若点在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标．
26．（2022·湖北孝感·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限交于点C．点P为直线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与双曲线交于点E，，连接，且轴．
（1）求k的值；
（2）求的面积．
27．（2023春·海南儋州·八年级儋州市第一中学校考期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A（）、B（）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）根据图像直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围
28．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
29．（2022秋·山东东营·九年级校考期中）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求点C的坐标和的面积．
(3)直接写出不等式的解集．
30．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过．
(1)求点的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴的距离小于2，请根据图象直接写出m的取值范围．
31．（2023春·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
32．（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上．
(1)求b和k的值；
(2)当最小时，求点P的坐标；
(3)当时，请直接写出x的取值范围．
33．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期中）如图，已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（4，m），B两点．
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)将点B向下平移4个单位得到点C，连接OC、AC，求△AOC的面积．
34．（2022秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为时，求△MPN的面积．
35．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)已知x轴负半轴上有一点M，能使，求M的坐标．
36．（2022·河南·校考三模）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2n+1，1），B（﹣1，n﹣4）两点，与y轴相交于点C
（1）反比例函数的解析式为_____，一次函数的解析式为_____；
（2）请直接写出不等式kx+b≥的解集；
（3）过点B作BP⊥AB，交反比例函数（x＜0）的图象于点P，连接OP，求四边形OPBC的面积．
37．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（1，n）；
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥的解集．
38．（2022秋·北京昌平·九年级校考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．
（1）反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
39．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．
(1)若，求自变量x的取值范围；
(2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值．
40．（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（2，n），在第三象限交于点B，过点B作BC⊥x轴于C，连接AC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
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重难突破09 反比例函数与一次函数综合
重难突破
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·校考一模）将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线（）相交于两点，其中一个点的横坐标为，另一个点的纵坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由于一次函数y=kx-2-k过定点P（1，-2），P（1，-2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx-2-k（k＞0）相交于两点，则在没平移前这两个点是关于原点对称的，表示出坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
【详解】解：∵一次函数y=kx-2-k（k＞0），
∴当x=1时，y=-2，
∴一次函数的图象过定点P（1，-2），
∴P（1，-2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
∵将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx-2-k（k＞0）相交于两点，
∴在没平移前这两个点是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为（a-1，），（，b+2），
∴，
∴（a-1）（b+2）=-2，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
2．（2022春·八年级单元测试）如图，点A反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC =BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【详解】分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC=CB，∴OD=OE，
设A（-a，），则B（a，），
故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE=（+）×2a-a×-a×=3，
故选B.
3．（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（，﹣1） D．（﹣1，）
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出点A的坐标，再连立方程组求出点B的坐标即可判断．
【详解】解：当x=﹣2时，y==1，即A（﹣2，1），
将A点坐标代入，
得k=﹣2×1=﹣2，
反比例函数的解析式为，
联立双曲线、直线，得，
解得：，，
故B（2，﹣1）．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2022秋·山东东营·九年级统考期末）已知反比例函数（，x>0）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【详解】因为反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质，
k＜0，再根据一次函数的性质，一次函数y=kx-k的图象大致是C,故选C
5．（2022秋·山西·九年级校联考期末）如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与反比例函数图象的交点关于原点对称，即可求出结果．
【详解】解：∵点A和点B关于原点中线对称，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的交点，解题的关键掌握反比例函数和正比例函数的交点关于原点对称的特点．
6．（2023·广东东莞·统考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
7．（2022秋·九年级单元测试）关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.
考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.
8．（2022秋·河南·九年级统考期末）如图，点B（﹣2，m），A（n，1）在双曲线上，连接OA，OB，则S△ABO＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先根据反比例函数的解析式求得A、B的坐标，然后求得直线AB的解析式，求得与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】解：∵点B（﹣2，m），A（n，1）在双曲线y＝上，
∴﹣2m＝4，n＝4，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），A（4，1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，﹣1），
∴S△AOB＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比列函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
二、填空题
9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式>的解集.
【详解】根据题意，将代入中得，故，将代入中得n=2，所以
由图象可知，当 x＞2或-6＜x＜0时，y1>y2，
当x＜-6或0＜x＜2时，y2>y1，
故答案为：-6＜x＜0或x＞2.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、灵活运用数形结合思想，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集，是解题的关键．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ．
【答案】(，3)/（4.5,3）
【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式，再用OA和算面积，将OA用表示出来，用表示出来，B点坐标用表示出来，最后将B点代入直线OD表达式，解出，算出B点坐标，即可
【详解】∵D(3，2)在反比例函数上
∴
解得：
反比例函数解析式为：
设直线OD表达式为：
将D点坐标带入得：
解得：
故直线OD：
设C(，)
∵B点在直线OD上
∴
解得：yC=3
故B(，3)
故答案为：(，3)
【点睛】本题考查反比例函数，平行四边形，正比例函数；难点在于将B点坐标用一个未知数表示出来
11．（2022·江苏镇江·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，B，过点A作AC⊥x轴于C，已知△BOC的面积为3，则的值为 ．
【答案】6
【分析】由直线y=ax与双曲线y=（k＞0）交于点A，B可知点A，B关于原点对称，由AC⊥x轴于C，可设C点的坐标为（a，），则B点的坐标为（-a，-），再由△BOC的面积为3即可解得k的值，
【详解】由题意可知A，B两点关于原点对称，设A（a，）
∴B点坐标为（-a，-）
∴B点到x轴的距离为,
又∵AC⊥x轴于C
∴OC的长度就为a
又∵△BOC的面积为3
∴S△BOC=a××=3
解得k=6
故答案为6
【点睛】本题是典型的一次函数与反比例函数相结合的问题，借助它们的性质及△BOC的面积即可解决问题．
12．（2022春·九年级单元测试）点P既在反比例函数y＝－ (x＞0)的图象上，又在一次函数y＝－x－2的图象上，则P点的坐标是 .
【答案】P(1，－3)
【详解】根据题意可得：= x 2,则x2+2x 3=0，
即(x 1)(x+3)=0，
解得：x=1或x= 3，
因为x>0，所以x=1，此时y= 3，
所以P点的坐标是(1, 3).
点睛：点P既在反比例函数（x>0）的图象上，又在一次函数y=-x-2的图象上，则点P的坐标是这两个函数组成方程组的解．将两个函数组成方程组，解这个方程组即可．
13．（2022春·江苏·八年级阶段练习）设反比例函数y=的图象与一次函数y=-x+3的图象交于点（a，b），则= ．
【答案】
【详解】分析：将点分别代入和，得到，，再整体代入，得到式子的值即可．
详解：将点分别代入和，
得到，，
，
故答案为．
点睛：分析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合函数解析式是解题的关键.
14．（2022·安徽·合肥市第四十五中学校考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是
【答案】
【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．
【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象有一个交点A（m，4），
∴4m=12，
解得：m=3，
故A（3，4），
则4=3k，
解得：k=，
故正比例函数解析式为：y=x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，
∴B（0，4），
∴设平移后的解析式为：y=x+b，
则b=4，
故直线l对应的函数表达式是：y=x+4．
故答案为y=x+4．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B点坐标是解题关键．
15．（2022·安徽·统考一模）如图，在第二象限的双曲线上有一点，过点作轴交第二象限的另一条双曲线于点，连接，交双曲线于点．若平分，且点的纵坐标为4，则 ．
【答案】
【分析】先求出点A坐标和点B纵坐标，设B（a，4），证明AB=BO，由勾股定理求出a=-3，求出过B点的反比例函数解析式和直线OA的解析式，并联立方程组，求出点D坐标，分别计算出OA，OD的长，即可得到结论．
【详解】解：∵点A在上，
∴把y=4代入得：x=8
∴
∵轴
∴B点纵坐标为4
设，过点A，D作轴，轴，垂足分别为E，F，延长AB交y轴于H
∵轴
∴∠
∵OA平分∠COB
∴∠
∴∠
∴
在中，，，
∴
∵
∴
∴
经检验，是原方程的根，
∴
∴
设直线AO的解析式为：
把代入得，m=
∴
联立方程组得 ，
解得，，
经检验，，是原方程组的解，但不合题意，舍去，
∴
∴
又
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的性质、勾股定理、待定系数法等知识，解题的关键是正确的识别图形，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图.已知点和点,点在反比例函数的图象上.作射线,再将射线绕点按逆时针方向旋转，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 ．
【答案】（-1，-6）.
【详解】试题分析：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，已知A（2，3），B（0，2），即可得AE=2，BE=1，由勾股定理可得AB=，又因∠BAC=45°，可得BF=AF=，因△DEA∽△DFB，令AD=x，根据相似三角形的性质可得 ，即 ，解得∴DE=，又因 ，解得 (舍去），所以AD=2 ，设D（0，y），即可得，解得：（舍去），设AC直线方程为y=kx+b,将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得求得直线AC的解析式为y=3x-3，因A（2，3）在y=上，所以k=2×3=6，把直线AC的解析式和反比例函数的解析式联立得方程组 ，解得 ，即可得C（-1，-6）.
三、解答题
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在
第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．
【答案】双曲线的解析式为．
【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC=2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可．
【详解】解：∵直线与x轴交于点A，
∴．解得．∴AO=1．
∵OC=2AO，∴OC=2． (2分)
∵BC⊥x轴于点C，∴点B的横坐标为2．
∵点B在直线上，∴．
∴点B的坐标为．
∵双曲线过点B ，∴．解得．
∴双曲线的解析式为．
18．（2022秋·陕西汉中·九年级阶段练习）已知关于x的一次函数y1=kx+1与反比例函数y2=的图象交于A（2，m）、B两点．
（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，当x在什么范围内时，y1＞y2．
【答案】（1）y=x+1，（﹣3，﹣2）；（2）见解析；（3）3；（4）x＞2，或x＜﹣3时，y1＞y2．
【详解】试题分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数的解析式，进一步两个函数联立组成方程组求出答案即可；
（2）根据函数的性质画出函数图象即可；
（3）根据A、B的横坐标，结合图象求得三角形的面积即可；
（4）结合图象求得答案即可．
解：（1）把点A（2，m）代入反比例函数y2=，得m=3，
点A为（2，3），代入一次函数y1=kx+1解得：k=1，
一次函数的表达式为y=x+1，
由，
解得：，，
所以点B坐标为（﹣3，﹣2）；
（2）图象如下：
（3）△AOB的面积=×1×3×2=3；
（4）由图象可知：
当x＞2，或x＜﹣3时，y1＞y2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
19．（2022春·九年级单元测试）直线y=x+b与双曲线y=都经过点A(2,3),直线y=x+b与x轴、y轴分别交于B、C两点.
(1)求直线和双曲线的函数关系式;
(2)求△AOB的面积.
【答案】(1) 直线的函数关系式为y=x+1,双曲线的函数关系式为y=;(2).
【分析】（1）将点A的坐标分别代入直线y=x+b与双曲线y=的解析式求出b和m的值即可；
（2）当y=0时，求出x的值，求出B的坐标，就可以求出OB的值，作AE⊥x轴于点E，由A的坐标就可以求出AE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论
【详解】（1）∵线y=x+b与双曲线y=都经过点A（2，3），
∴3=2+b，3=，
∴b=1，m=6，
∴y=x+1，y=，
∴直线的解析式为y=x+1，双曲线的函数关系式为y=；
（2）当y=0时， 0=x+1， x=﹣1，
∴B（﹣1，0）， ∴OB=1．
作AE⊥x轴于点E，
∵A（2，3）， ∴AE=3． ∴S△AOB= ．
答：△AOB的面积为．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
20．（2022·四川成都·统考一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A(﹣2，3)，B(1，m)．
(1)分别求出反比例函数和一次函数y＝ax+b的表达式；
(2)将直线AB向上平移6个单位长度后与y轴交于点C，与反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，连接CB，BD，求点D的坐标及△BCD的面积；
(3)在（2）的条件下，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为y＝﹣3x﹣3
(2)D(2，﹣3)，
(3)﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】（1）将点A(﹣2，3)代入反比例函数表达式，即可求出k的值；再将B(1，m)代入反比例函数，即可求出m的值；再将点A、点B的坐标代入一次函数解析式，求解即可；
（2）由题意得平移后的直线解析式，即可求出点C的坐标，再联立反比例函数，可得点D的坐标，设直线AB与y轴的交点为E，可将的面积转化为的面积，求解即可；
（3）在（2）的条件下，求出反比例函数与直线CD的另一个交点坐标，根据图象可知，反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：将点A(﹣2，3)代入反比例函数，得，
解得k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为，
将点B(1，m)代入反比例函数，得
解得m＝﹣6，
∴B(1，﹣6)，
将A，B点坐标代入一次函数y＝ax+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x﹣3．
（2）解：如图所示：
直线AB向上平移6个单位长度得到直线CD，
直线CD的解析式为y＝﹣3x﹣3+6＝﹣3x+3，
联立，得，
化简得，
解得，，
∵反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，
∴D(2，﹣3)，
设直线AB与y轴的交点为E，则E点坐标为(0，﹣3)，
∵平移距离是6，
∴CE＝6，
∵AB∥CD，
∴．
（3）解：在（2）的条件下，反比例函数与直线CD的另一个交点坐标是（﹣1，6），
根据图象可知，反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的几何综合问题、坐标与图形的性质、直线与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）已知：如图,一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点P.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D,且S△DBP=27,
(1)求点D的坐标；
(2)求一次函数与反比例函数的解析式
【答案】（1）（0，3）；（2）y= x+3，y=
【分析】（1）根据一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得
【详解】(1)∵一次函数y=kx+3与y轴相交，
∴令x=0,解得y=3,得D的坐标为(0,3)；
(2)∵OD⊥OA，AP⊥OA，
∠DCO=∠ACP，
∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP,则，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
在Rt△DBP中,∴ =27，
即 ，
∴BP=6,故P(6, 6)，
把P坐标代入y=kx+3,得到k= ，
则一次函数的解析式为：y= x+3；
把P坐标代入反比例函数解析式得m= 36，
则反比例解析式为：y= ；
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于根据一次函数与y轴的交点进行求解
22．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于A（1，a）和B（b，1）两点，与x轴交于点C．
(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；
(2)直接写出当x＞0时，不等式的解集；
(3)若点P在y轴上，且△APB的面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）利用点在上求，进而代入反比例函数求得，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把代入反比例函数，求得，观察图象即可求得当时，不等式的解集；
（3）由直线求得，设出点坐标表示三角形面积，求出点坐标．
【详解】（1）解：把点代入，得，
解得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入反比例函数得：，
，
由图象可知，当时，不等式的解集为：；
（3）解：当时，则，
点，
设点的坐标为，
，
，
，
点或．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是利用数形结合思想求解．
23．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，一次函数y=-2x+8与函数y=（x＞0）的图像交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
(1)求k的值；
(2)根据图像直接写出﹣2x+80的x的取值范围；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】(1)k=6；
(2)x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；
(3)点P的坐标为（2，4）．
【分析】（1）根据一次函数y=-2x+8的图像经过A（m，6），B（n，2）两点，得到关于m和n的一元一次方程，解之即可得到m和n的值，把点A或点B的坐标代入函数y=即可得到k的值；
（2）-2x+8-＜0，即-2x+8＜，根据图像结合点A和点B的坐标，即可得到答案；
（3）设直线y=-2x+8上点P的坐标为（x，-2x+8），由△PCA和△PDB面积相等，得到关于x的一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=-2x+8的图像经过A（m，6），B（n，2）两点，
∴-2m+8=6，-2n+8=2，
解得：m=1，n=3，
∵函数y=（x＞0）的图像经过A（1，6），B（3，2）两点，
∴k=6；
（2）解：-2x+8-＜0，即-2x+8＜，
由图像可知：x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；
（3）解：设直线y=-2x+8上点P的坐标为（x，-2x+8），
由△PCA和△PDB面积相等可得：，
∴×1×[6-（-2x+8）]=×2×（3-x），
解得：x=2，
则y=-2x+8=4，
∴点P的坐标为（2，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）正确掌握代入法，（2）正确掌握数形结合思想，（3）正确掌握三角形的面积公式．
24．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，连接OA，OB．
(1)求一次函数的表达式及点B的坐标；
(2)求△ABO的面积；
(3)点P在反比例函数y的图象上，连接AP，BP，若△ABP的面积是△ABO的面积的2倍．求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为y=x+2，B（－3，－1）；
(2)4；
(3)P点的坐标为（3，1）或（－1，－3）或或．
【分析】（1）首先把x=1代入反比例函数解析式中确定A的坐标，然后把A的坐标代入y=kx+2确定k，然后两解析式联立成方程组，解方程组即可求得B的坐标；
（2）求得一次函数与x轴的交点，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；
（3）分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）把x=1代入中得：y=3，
∴A（1，3），
代入y=kx+2得，3=k+2，解得k=1，
∴一次函数解析式为y=x+2，
由 得 或，
∴B（－3，－1）；
（2）如图，设一次函数y=x+2与x轴交于点C，
令y=0，得x=－2．
∴点C的坐标是（－2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=；
（3）如图， 确定，
则关于原点对称，则 记与轴的交点为Q，
作AB的平行线l，经过点D（2，0），与轴交于点K，则
所以点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
当点P在AB下方时，
设直线l的表达式为：y=x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b=－2，
故直线l的表达式为y=x-2①，
而反比例函数的表达式为： ②，
联立①②并解得：或 ；
当点P在AB上方时， 同理可得，直线l的函数表达式为：y=x+6③，
联立②③并解得：或，
∴P点的坐标为（3，1）或（－1，－3）或或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的全等，一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．
25．（2022秋·天津·九年级天津经济技术开发区第一中学校考阶段练习）已知双曲线与直线交于两点，点的坐标为．
(1)由题意可得m的值为___________，k的值为___________，点B的坐标为___________；
(2)根据图象，正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围___________；
(3)若点在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)，
【分析】（1）把坐标代入反比例解析式求出的值，确定出反比例解析式，把坐标代入直线解析式求出的值，利用对称性求出坐标即可；
（2）画出图象，观察图象即可得出结论；
（3）把坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标即可．
【详解】（1）把 代入反比例解析式得：；
把 代入直线解析式得： ，由对称性得：．
故答案为：，，；
（2）)画出函数图象，观察可知，正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围为或
（3）把代入中得：
，整理得：，即，
解得：或 (在第一象限，舍去)，
∴，则．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，坐标与图形性质，平移的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
26．（2022·湖北孝感·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限交于点C．点P为直线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与双曲线交于点E，，连接，且轴．
（1）求k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）．（2）1
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点B坐标，设，根据轴，，可求出m的值，即可求出点E坐标，代入即可求出k的值；
（2）根据（1）中数据可求得点P的坐标，然后根据一次函数和反比例函数解析式求出交点坐标C，根据三角形面积公式即可计算的面积．
【详解】解：（1）令，则，
，
设，
轴，，
．
轴，
，
，
．
，
；
（2）由（1）中可得点P坐标为，
联立，得，，
，
，PE边上的高为1，
．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图像综合问题，根据图像及解析式求出图中各点的坐标是解题关键．
27．（2023春·海南儋州·八年级儋州市第一中学校考期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A（）、B（）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）根据图像直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝ ，一次函数的解析式为y=-x-1；（2）C（-1，0），面积为；（3）当x＜-3或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据B在函数图象上，可得B点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据一次函数的纵坐标为0，可得点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC可得答案；
（3）根据观察图象，一次函数图象在上的区域对应x的范围即可．
【详解】（1）把A（-3，2）代入y＝得m=-6
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
又∵B（2，n）在反比例图象上，得n=-3，
∴B（2，-3）
把A（-3，2）和B（2，-3）代入y=kx+b中得：
解得 ，
∴一次函数的解析式为y=-x-1；
（2）当y=0时，y=-x-1得x=-1，
∴y=-x-1与x轴的交点坐标是 C（-1，0），
S△AOB=S△AOC+S△BOC
=×| 1|×2+×| 1|×| 3|
=;
（3）当x＜-3或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求反比例函数解析式、一次函数解析式的关键．
28．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）将、两点代入反比例函数解析式，，，可得，解得的值，即可求出、两点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）令，求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可．
【详解】（1）由题意，得，解得，
，，
把代入，得，
反比例函数表达式为，
把，代入，得，
，
一次函数表达式为；
（2）令，则得，，
点的坐标为，
，
，
设，则，得，
，
解得：或，
故或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键．
29．（2022秋·山东东营·九年级校考期中）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求点C的坐标和的面积．
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式：，一次函数解析式：
(2)，
(3)或
【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可；
（2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可；
（3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可．
【详解】（1）将代入，得到，
∴反比例函数解析式为；
将代入，得，
∴
将，代入
得，
解得，
∴；
（2）在，令，即，
解得，
∴点，
∴
；
（3）由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，
∴或；
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题．
30．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过．
(1)求点的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴的距离小于2，请根据图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）把点的坐标代入一次函数关系式可求出的值，再代入反比例函数关系式确定的值，进而得出答案；
（2）确定的取值范围，再根据反比例函数关系式得出的取值范围即可．
【详解】（1）把的坐标代入，即，
解得，
，
又点是反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，
或，
当时，，当时，，
由图象可知，
若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
31．（2023春·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：；
(2)点B的坐标为；
(3)不等式的解集为或．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出B点坐标；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数的解析式中，
可得：，
解得：，
所以一次函数的解析式为：；
把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，
可得：，
所以反比例函数的解析式为：；
（2）解：把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组：，
解得：，
所以点B的坐标为；
（3）解：∵，，
当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
32．（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上．
(1)求b和k的值；
(2)当最小时，求点P的坐标；
(3)当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点分别代入，中，进行计算即可得；
（2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求，联立一次函数解析式与反比例函数解析式，即可得点B的坐标为，根据点与点A关于y轴对称得点的坐标为，设直线的解析式为，将点，代入，进行计算即可得直线的解析式为，令，则，即可得；
（3）观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即可得．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
∴把代入两个解析式得：，，
解得：，；
（2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求，
联立一次函数解析式与反比例函数解析式：，
解得：或，
∴点A的坐标为、点B的坐标为，
∵点与点A关于y轴对称，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，代入，得
，
解得： ，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点P的坐标为．
（3）解：观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，
∴当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质．
33．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期中）如图，已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（4，m），B两点．
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)将点B向下平移4个单位得到点C，连接OC、AC，求△AOC的面积．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）先求得A(4， 3)，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线AC的解析式为y= x 2，与y轴交于点D(0， 2)，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A(4，m)在反比例函数y= 的图象上，
∴m= = 3，则A(4， 3)，
将A(4， 3)代入y=kx中，得 3=4k，
∴k= ，
∴正比例函数的表达式为y= x；
（2）解：由题意得A，B两点关于原点对称，
∴B( 4，3) ，
∴将B向下平移4个单位得到点C( 4， 1) ，
令直线AC解析式为y=ax+b，与y轴交于点D，
∴ ，解得：，
∴直线AC的解析式为：y= x 2，
令x=0，得y= 2，则D(0， 2)，
∴S△AOC=×OD×(xA xC)=×2×(4+4)=8．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，以及三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
34．（2022秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为时，求△MPN的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把M（-2，m）代入函数式y=-x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可．
【详解】（1）解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-x的图象上，
∴m=-×（-2）=1．
∴M（-2，1）．
∵反比例函数y=的图象经过点M（-2，1），
∴k=-2×1=-2．
∴反比例函数的表达式为y=-；
（2）解：∵反比例函数y=的图象与一次函数y=-x的图象分别交于M，N两点，M（-2，1），
∴N（2，-1），
∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，），
∴OP=，
∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=××2+××2=2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．
35．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)已知x轴负半轴上有一点M，能使，求M的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)M的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法解题，把代入反比例函数中，解得m的值，进而求出点B的坐标，再把，代入即可求解；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点C，求出点C的坐标，利用求出，进而求出，设M的坐标为，可得，利用列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得
解得，
∴，
把，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：设一次函数的图象与x轴交于点C，
令，得，
解得，即点C的坐标为，
∴，
∴，
∴，
设M的坐标为，
则，
∴，
解得，
∴ M的坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系内三角形面积的计算方法．
36．（2022·河南·校考三模）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2n+1，1），B（﹣1，n﹣4）两点，与y轴相交于点C
（1）反比例函数的解析式为_____，一次函数的解析式为_____；
（2）请直接写出不等式kx+b≥的解集；
（3）过点B作BP⊥AB，交反比例函数（x＜0）的图象于点P，连接OP，求四边形OPBC的面积．
【答案】（1），y＝x﹣2；（2）﹣1≤x＜0或x≥3；（3）S四边形OPBC＝5.
【分析】（1）把A（2n+1，1），B（﹣1，n﹣4）两点代入y＝，即可求得n、m，从而得到A、B的坐标以及反比例函数的解析式，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据函数的图象及A、B两点坐标即可求得；（3）延长BP交x轴于E，设直线AB与x轴的交点为D，求出直线BP的解析式，通过解方程组求出直线PB与双曲线的交点P的坐标，根据S四边形OPBC＝S△BDE﹣S△OPE﹣S△COD即可计算．
【详解】（1）∵反比例函数y＝的图象过A（2n+1，1），B（﹣1，n﹣4）两点，
∴m＝（2n+1）×1＝﹣1×（n﹣4），
解得，m＝3，n＝1，
∵A（3，1），B（﹣1，﹣3），
反比例函数的解析式为y＝；
将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
故答案为y＝，y＝x﹣2；
（2）由图象可知：不等式kx+b≥的解集为﹣1≤x＜0或x≥3；
（3）延长BP交x轴于E，设直线AB与x轴的交点为D，
设直线PB为y＝﹣x+b′，B（﹣1，﹣3）代入得b′＝﹣4，
∴直线PB为y＝﹣x-4，
∴E（﹣4，0），
由直线AB可知D（2，0），C（0，﹣2），
∴DE＝6，
解得或，
∴P（﹣3，﹣1），
∴S四边形OPBC＝S△BDE﹣S△OPE﹣S△COD＝×6×3﹣×4×1﹣×2×2＝5．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题、用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式以及坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时要灵活用．
37．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（1，n）；
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥的解集．
【答案】（1）y＝﹣x﹣1；（2）；（3）x≤﹣2或0＜x≤1．
【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得B点的坐标，然后把点A、B代入y=kx+b即可得到一次函数的表达式；
（2）先确定点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC+S△COB进行计算即可；
（3）根据A（-2.1），B（1，-2），结合图像可得不等式kx+b>的解集.
【详解】解：（1）把点A的坐标（﹣2，1）代入一反比例函数y＝，可得：m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
∵反比例函数y＝的图象经过B点，
∴n＝﹣＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b得
解得k＝﹣1，b＝﹣1
∴一次函数为y＝﹣x﹣1；
（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC×2+OC×1＝×1×（2+1）＝；
（3）不等式kx+b≥的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键在于运用待定系数法求函数解解析式.
38．（2022秋·北京昌平·九年级校考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．
（1）反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)y=，y=x-1；(2)-12．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B（-1，n）代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（2，1），
∴m=2×1=2，
∴反比例函数为y=，
∵B（-1，n）在反比例函数y=图象上，
∴n=，
∴B（-1，-2），
把A、B代入y=kx+b得
，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x-1．
（2）∵A（2，1），B（-1，n），
观察图象可知，当-1＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式kx+b＞0的解集是：-1＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
39．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．
(1)若，求自变量x的取值范围；
(2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值．
【答案】(1)
(2)当为时，的值最大，最大值为
【分析】（1）由点的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当时，自变量的取值范围；
（2）由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点与点重合时，的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值．
【详解】（1）解：当时，，
点的坐标为，
观察函数图象，可知：当时，直线在双曲线上方，
若，自变量的取值范围为．
（2）解：将代入中，
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
，
当时，，
点的坐标为．
当点与点重合时，的值最大，
此时，．
当为时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点的位置．
40．（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（2，n），在第三象限交于点B，过点B作BC⊥x轴于C，连接AC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）y＝；（2）6；（3）0＜x＜2或x＜﹣1
【分析】（1）根据点A（2，n）在直线y＝2x﹣2上求出n的值即可得出反比例函数的解析式；
（2）联立方程求得B的坐标，根据三角形面积公式解答即可；
（3）直接根据两函数的图象即可得出不等式2x-2<的解集．
【详解】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（2，n），
∴n＝4﹣2＝2，
∴k＝2n＝2×2＝4，
∴此反比例函数的解析式为：y＝；
（2）解得 或，
∴B（﹣1，﹣4），
∵BD⊥x轴于C，
∴BC＝4，C（﹣1，0）
∵A（2，2），
∴S△ABC＝×4×（2+1）＝6；
（3）∵A（2，2），B（﹣1，﹣4），
由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣1是直线在双曲线的下方，
∴不等式2x-2<的解集为0＜x＜2或x＜﹣1
【点睛】考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意分别求出点A、B的坐标是解答此题的关键．
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