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题组突破03 期末选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）的值是（ ）．
A． B． C． D．1
2．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
5．（2022春·福建南平·九年级统考阶段练习）定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）
A．m B．2﹣2m C．2m﹣2 D．﹣2m﹣2
6．（2022·福建龙岩·校考一模）下列各点中，在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（2，3）
7．（2022秋·七年级单元测试）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是( )
A． B． C． D．
8．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
9．（2022·福建龙岩·校联考二模）下列四个几何体中，三视图都是相同图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．2
11．（2022秋·福建福州·九年级校考开学考试）抛物线 与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）掷一枚质地均匀的硬币一次，则掷到正面朝上的概率等于（ ）
A．1 B． C． D．0
13．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·福建漳州·校考一模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1
16．（2022秋·福建泉州·九年级泉州第十六中学校考期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
17．（2022春·福建福州·八年级校考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接、，取、的中点、，连接，若，，则（ ）
A．8 B．6 C．5 D．
18．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=6，则BC的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
20．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接 并延长交的延长线于点F．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022春·福建福州·八年级校考期中）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为（ ）
A．4 B．9 C．3 D．
23．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．当时，有最大值为0
24．（2023秋·九年级课前预习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
26．（2022秋·福建龙岩·八年级统考阶段练习）如图所示，在中，，点在上，，交于点，的周长为12，的周长为6，则长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
27．（2022秋·福建南平·九年级统考期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，那么全组有（ ）名同学．
A．12 B．13 C．14 D．15
28．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
29．（2022秋·福建宁德·九年级校联考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
30．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
31．（2022秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法中正确的是 （ ）
A．它的开口方向是向下 B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3） D．当x＝0时，y有最大值是3
32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n
击中靶心的次数m
击中靶心的频率
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，添加下列一个条件仍不能说明四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
35．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在直角坐标系中，点P在直线x+y－4=0上，O为原点，则OP的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
36．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）抛物线 =2（ 3）2 4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（-3，4） C．（3，-4） D．（-3，-4）
37．（2023春·福建泉州·九年级泉州七中校考期末）已知二次函数的图像如下图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②abc<0；③m>2其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
38．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x-2）2的是（ ）
A．y=-x2 B．y=x2-2 C．y=（x-2）2+1 D．y=（2-x）2
39．（2022春·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG．若AB＝6，则FG的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
40．（2022·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考自主招生）已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
41．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）用求根公式计算方程的根，公式中b的值为( )
A．3 B．-3 C．2 D．
42．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若，那么p、q的值分别是（ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=－2 C．p=－4，q=2 D．p=－4，q=－2
43．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
44．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）已知锐角A，且sinA=，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
45．（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②（的实数）；③；④在中存在一个实数、使得其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
46．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，．则方程（ ）.
A．必有一根为1 B．必有两相等实根
C．必有一根为－1 D．没有实数根．
47．（2022秋·福建莆田·九年级莆田二中校考阶段练习）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象的顶点为点D，其图象与轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中，其中正确的结论是（ ）
A．2a﹣b＝0 B．a＋b＋c＞0
C．c＜﹣3a D．当ax2＋bx＋c＋2＝0有实数解时，则a≥0.5
48．（2022春·九年级课时练习）如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
49．（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP＋BP的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
50．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
51．（2022秋·福建漳州·九年级龙海二中校考阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A． B．3 C． D．2
52．（2022春·福建福州·八年级校联考期末）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
53．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图点M在四边形的边上，连接，，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形边上的直角点，且，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
54．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
55．（2023·福建厦门·统考模拟预测）图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，车轮直径20cm，，，，，且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，完全折叠后车把（点B）降低的高度为（ ）
A． B． C． D．
56．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）下列各图中，每个小正方形网格的边长为1，其中阴影部分的面积是的是（ ）
A． B． C． D．
57．（2022秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考阶段练习）若垂直于x轴的一条直线与无公共点的两个函数图象相交，两个交点间的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则抛物线与直线的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
58．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
59．（2022春·福建龙岩·九年级龙岩二中校考阶段练习）如图，矩形中，与相交于点，，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）
A． B． C． D．
60．（2022春·福建福州·九年级福州三牧中学校考开学考试）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
61．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）用配方法解方程时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
62．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）在压力不变的情况下，压强是受力面积的反比例函数，当物体的压力F为100牛时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是 ．
63．（2022秋·九年级单元测试）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000
成活的棵数m 187 446 730 1790 4510 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 （精确到0.1）
64．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是 ．
65．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）点在反比例函数的图象上，则m的值为 ．
66．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为 ．
67．（2022·福建泉州·泉州五中校考三模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为3，则k的值为 ．
68．（2022秋·福建·九年级厦门市第九中学校考阶段练习）将抛物线向右平移1个单位后，再向上平移2个单位长度，所得新抛物线的函数表达式是 ．
69．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形鸡场，则所围鸡场最大面积为 平方米．
70．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF=x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是： ．
71．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十中学校考阶段练习）如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为 ．（化简为二次项系数为1的一般式）
72．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为： ．
73．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）往往高端的食材，只需要采用朴素的烹饪方式．当某房间里累积了足够多的丸子时，令人期待的午餐，也就飘香四溢了．在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．小伙伴们将100粒丸子随机投入四个宫格中，将其都装出后拿出房间，外面的小伙伴数了数有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是 ．
74．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣3的顶点为 ，开口向 ，对称轴为 ．
75．（2022秋·九年级课时练习）关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
76．（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知点，在反比例函数（）的图象上，则k的值为 ．
77．（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）方程的根是 ．
78．（2022春·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，直线AB与反比例函数的图象交于点A(u，p)和点B(v，q)，与x轴交于点C，已知∠ACO=45°，若＜u＜2，则v的取值范围是 ．
79．（2022·福建厦门·统考一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则 ．
80．（2022秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
81．（2023春·福建厦门·八年级统考期中）如图，菱形的边长为4，，M为的中点，点N在上．若N是上动点，则的最小值为 ．
82．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ．
83．（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，设平均每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程 ．
84．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
85．（2023·福建福州·校考模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 cm．
86．（2022·福建泉州·统考一模）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
87．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形中，，点E在边上，以为边在菱形的内部作等边三角形，若，，则α与β之间的数量关系可用等式表示为 ．
88．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知反比例函数(x＞0)与正比例函数y＝(0)的图象，点A(1，5)，点A′(5，1)与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y＝上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为 ．
89．（2022秋·福建南平·九年级福建省南平第一中学校考期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 ．
90．（2022春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠A=∠ABC，AC=6，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．则DE= ．
91．（2023秋·福建福州·九年级福建省长乐第一中学校考开学考试）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
92．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点， PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2．若S=2，则S1+S2= ．
93．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）如图，的顶点坐标分别为，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是 ．
94．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ．
95．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，点E为矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点F，若DE＝3，CE＝5，∠2＝2∠1，则线段BE的长为 ．
96．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且，过点E作DE的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
97．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图正方形ABCD中,E为AB中点,P为对角线AC上一点，且PB+PE=,则正方形ABCD边长的最大值是 ．
98．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市华侨中学阶段练习）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片 ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB， AC于点E，G，若AB=2，则AG的长为 ．
99．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是 ．
100．（2022春·福建泉州·八年级统考期中）如图，P为反比例函数(x＜0)在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=－x+4的图像于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，则k的值为 ．
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题组突破03 期末选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）的值是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】试题分析：.
故选A.
考点:特殊角的三角函数值.
2．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【详解】∵AD∥BE∥CF，
∴，，
故A、D、C错误，B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
3．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】
二次函数的图像的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式的表达式中解出顶点坐标是解题的关键．
4．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】利用因式分解法求解可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴，
解得：，，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
5．（2022春·福建南平·九年级统考阶段练习）定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）
A．m B．2﹣2m C．2m﹣2 D．﹣2m﹣2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝﹣1，ab＝﹣m，变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1，ab＝﹣m，
∴（a+1）*b+2a
＝2（a+1）b+2a
＝2ab+2b+2a
＝2ab+2（a+b）
＝2×（﹣m）+2×（﹣1）
＝﹣2m﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查定义新运算.根据题干中所定义的新运算，能准确地化（a+1）*b为整式运算是解题的关键.
6．（2022·福建龙岩·校考一模）下列各点中，在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（2，3）
【答案】C
【分析】把4个点的坐标分别代入函数关系式，满足关系式的则在此函数图象上．
【详解】A，把（﹣1，0）点代入函数关系式：﹣1﹣1＝﹣2≠0，故此点不在函数图象上；
B，把（1， 0）点代入函数关系式：﹣1﹣1＝﹣2≠0，故此点不在函数图象上；
C，把（0，﹣1）点代入函数关系式：﹣1＝﹣1，故此点在函数图象上；
D，把（2，3）点代入函数关系式：﹣4﹣1＝-5≠3，故此点不在函数图象上；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是把点的坐标代入函数关系式，满足关系式的则在此函数图象上，反之，则不在．
7．（2022秋·七年级单元测试）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：几何体的左视图是从左面看几何体所得到的图形，选项A、B、C的左视图均为从左往右正方形个数为2，1，
选项D的左视图从左往右正方形个数为2，1，1，
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的三视图．
8．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】首先求出已知方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可判定根的情况．
【详解】解：∵，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
9．（2022·福建龙岩·校联考二模）下列四个几何体中，三视图都是相同图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据简单几何体的三视图进行分析即可
【详解】解：A、长方体的三视图分别为长方形，长方形，正方形，不符合题意；
B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；
C、球的三视图均为圆，正确；
D、正三棱柱的主视图为两个长方形的组合体，左视图为长方形，俯视图为三角形，错误，
故选C．
【点睛】简单几何体的三视图．
10．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，，
∴，
，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出BA与BC的关系，再利用正弦函数的定义．
11．（2022秋·福建福州·九年级校考开学考试）抛物线 与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线 与x轴的交点个数是0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）掷一枚质地均匀的硬币一次，则掷到正面朝上的概率等于（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）．
故选B．
【点睛】本题考查了概率公式，概率＝发生的情况数÷所有等可能情况数．
13．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得，＝，再结合相似三角形的性质进行判定即可．
【详解】解：∵，
∴，＝，故C不符合题意；
∴，，故A，D不符合题意；
而是错误的表述，故B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
14．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故A不符合题意；
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故B不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故C符合题意；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
15．（2022·福建漳州·校考一模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1
【答案】A
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为y＝（x+3）2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
16．（2022秋·福建泉州·九年级泉州第十六中学校考期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
【详解】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，明确DE是直角三角形的斜边上的中线是解题关键．
17．（2022春·福建福州·八年级校考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接、，取、的中点、，连接，若，，则（ ）
A．8 B．6 C．5 D．
【答案】D
【分析】连接，由矩形的性质可得点、分别为、的中点，，由三角形中位线定理可得，由旋转的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形和四边形都是矩形，且点、分别为、的中点，
∴点、分别为、的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵tanα=1：=，
∴坡角α=60°．
故选B．
【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握，关键是坡度=坡角的正切值解答．
19．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=6，则BC的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】由相似三角形的判定与性质即可完成．
【详解】∵AD=5，BD=10，
∴AB=AD+BD=15；
又∵在△ABC中，DE∥BC，
∴，
∴ =；
而DE=6，
∴BC=18；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握这一判定与性质是关键．
20．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接 并延长交的延长线于点F．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
∵，
，
，
，
即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相似三角形的判定与性质是解题关键．
21．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断反比例函数图象的位置，逐一判断即可．
【详解】解：A、对于y＝kx+1经过第一、三象限，则k＞0，﹣k＜0，所以反比例函数图象应该分布在第二、四象限，所以A选项错误；
B、一次函数y＝kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；
C、对于y＝kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以C选项错误；
D、对于y＝kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握一次函数的图象及性质和反比例函数的图象及性质是解决此题的关键．
22．（2022春·福建福州·八年级校考期中）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为（ ）
A．4 B．9 C．3 D．
【答案】D
【分析】从图1可知当P在CD运动时，△ABP的面积不变对应图②可确的长，当P在BC运动时，△ABP的面积逐渐变大，对应图②可确定长，在利用勾股定理即可求解．
【详解】解：从图2可以看出：，，
故矩形的对角线长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
23．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．当时，有最大值为0
【答案】C
【分析】由二次函数的解析式为，把代入即可判断是否在抛物线上，对称轴x=-=0，图像开口向上，即可判断CD两个选项.
【详解】A. 它的图象经过点，A错误；
B. 它的图象的对称轴是直线，B错误；
C. 当时，随的增大而减小，正确；
D. 当时，有最小值为0,D错误.
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质.
24．（2023秋·九年级课前预习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接（图先详解），构造直角三角形，利用直接求出的值．
【详解】解：如图，连接，
由网格可得出，
则，，
故．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义并能构造直角三角形是解决本题的关键．
25．（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵，
∴=4
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
26．（2022秋·福建龙岩·八年级统考阶段练习）如图所示，在中，，点在上，，交于点，的周长为12，的周长为6，则长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】设BC=BD=x，AD=y，△ADE和△ACB相似，根据相似三角形的性质相似三角形周长的比等于对应边的比得出AC的长度，然后利用勾股定理结合周长的计算公式算出BC的值．
【详解】解：设BC=BD=x，AD=y，
因为∠C=∠ADE=90°，∠A=∠A，
所以△ADE∽△ACB；
因为两三角形的周长之比为6：12=1：2，
所以AD：AC=1：2，则AC=2y；
根据三角形ABC的周长为12得：x+（x+y）+2y=12；即：2x+3y=12①
根据勾股定理得：（2y）2+x2=（x+y）2，即：2x=3y②
联合①②得：x=3，y=2；
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质和勾股定理的应用．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
27．（2022秋·福建南平·九年级统考期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，那么全组有（ ）名同学．
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程，求解即可．
【详解】解：设全组有x名同学， 则每名同学所赠的标本为：件， 那么x名同学共赠：件， 则，
整理得：，
解得（不合题意舍去），．
故全组共有14名同学．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
28．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式x，可得，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
29．（2022秋·福建宁德·九年级校联考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，
∴OA＝OB＝8，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
30．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【答案】D
【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，
△，
解得a=﹣1．
故选D．
31．（2022秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法中正确的是 （ ）
A．它的开口方向是向下 B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3） D．当x＝0时，y有最大值是3
【答案】B
【详解】试题分析：分别利用二次函数的性质分析得出即可．
解：A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误；
B、在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确；
C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误；
D、当x=0时，y有最小值是3，故此选项错误；
故选B．
考点：二次函数的性质．
32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n
击中靶心的次数m
击中靶心的频率
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
【详解】解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在，估计这名运动员射击一次时“击中靶心”的概率是
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
33．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用该药品经过两次降价后的价格=原价×（1一降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
100（1﹣x）2=81．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，添加下列一个条件仍不能说明四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判定即可．
【详解】解：A、∵在 ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵在 ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵在 ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=CB，
∴四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.
35．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在直角坐标系中，点P在直线x+y－4=0上，O为原点，则OP的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】当OP垂直于直线x+y-4=0时，|OP|取最小值．根据直线方程得到该直线与坐标轴的交点坐标，则易得△AOB为等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段OP的长度．
【详解】解：由直线x+y-4=0得到该直线与坐标轴的两交点坐标是A（0，4）、B（4，0），
则△AOB是等腰直角三角形，如图，
∴AB=．
当OP⊥AB时，线段OP最短．
此时OP=AB=．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短．解题时，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OP的长度．
36．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）抛物线 =2（ 3）2 4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（-3，4） C．（3，-4） D．（-3，-4）
【答案】C
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：y=2（x-3）2-4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，-4）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
37．（2023春·福建泉州·九年级泉州七中校考期末）已知二次函数的图像如下图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②abc<0；③m>2其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点
∴，故①正确；
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∵抛物线与y轴交点在x轴上方
∴c＞0
∵对称轴
∴b＞0
∴abc＜0，故②正确；
∵没有实数根
∴直线与抛物线没有交点
∴m＞2，故③正确
故选：D
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
38．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x-2）2的是（ ）
A．y=-x2 B．y=x2-2 C．y=（x-2）2+1 D．y=（2-x）2
【答案】A
【分析】根据平移前后抛物线的形状不变即可得到结论．
【详解】根据平移的性质可得y=-x2通过向右平移2个单位得到抛物线y=-（x-2）2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的规律．
39．（2022春·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG．若AB＝6，则FG的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理可知FG＝BC，由此即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，
∵F、G分别为BE，CE的中点，
∴FG＝BC＝3，
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形的中位线定理等知识，几天倒计时灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
40．（2022·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考自主招生）已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用二次函数图象与函数系数的联系逐一判断即可．
【详解】①抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，
∴，故①正确；
②由题意可知：=﹣1，
∴2a=b，
当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∴+b+c>0，
∴3b+2c>0，故②错误；
③由于对称轴为x=﹣1，
∴（0，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2，0），
∵当x=0时，y<0
∴当x=﹣2时，y<0，
∴4a﹣2b+c<0，
∴
∴故③正确；
④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a﹣b+c是最小值，
∴am2+bm+c>a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）>a﹣b（m≠﹣1），故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系．
41．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）用求根公式计算方程的根，公式中b的值为( )
A．3 B．-3 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．
【详解】解：由方程根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点．
42．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若，那么p、q的值分别是（ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=－2 C．p=－4，q=2 D．p=－4，q=－2
【答案】B
【详解】∵原式可化为：，
∴ ，解得：，
故选B.
43．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】A
【分析】令，再根据一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴无交点，
∴方程无实根，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化成方程问题是解题的关键．
44．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）已知锐角A，且sinA=，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出即可．
【详解】解：∵sinA=
∴∠A=60°．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
45．（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②（的实数）；③；④在中存在一个实数、使得其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．
【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：
由抛物线的图象可知：a＞0，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0，故①正确；
②当x=1时，y=a+b+c=0，
当y=ax2+bx+c=0，
∴x=1或x=m，
∴当m≠1时，a+b=am2+bm，故②错误；
③由图象可知：x=-1，y=2，
即a-b+c=2，
∵a+b+c=0，
∴b=-1，
∴c=1-a
∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；
④由于a+b=-c=a-1，
∵c＜0，
∴a-1＞0，
∴a＞1，
∴0＜
∵x0=
∴-1＜-1+＜0
∴-1＜x0＜0，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．
46．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，．则方程（ ）.
A．必有一根为1 B．必有两相等实根
C．必有一根为－1 D．没有实数根．
【答案】C
【详解】试题解析：由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a-b+c=0，
∴当x=-1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×（-1）2+b×（-1）+c=0；
∴a-b+c=0，
∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；
综上可知，方程必有一根为-1．
故选C．
47．（2022秋·福建莆田·九年级莆田二中校考阶段练习）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象的顶点为点D，其图象与轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中，其中正确的结论是（ ）
A．2a﹣b＝0 B．a＋b＋c＞0
C．c＜﹣3a D．当ax2＋bx＋c＋2＝0有实数解时，则a≥0.5
【答案】D
【分析】根据二次函数图象以及性质即可求出答案．
【详解】解：∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，
∴对称轴，
∴b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a≠0，故A错误；
由图象可知：x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故B错误；
∵x＝﹣1，y＝0，
∴y＝a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴c+3a＝﹣3a+3a＝0，
即c＝﹣3a，故C错误；
当x＝1时，y＝a+b+c，
若ax2+bx+c+2＝0有实数解时，
∴此时y＝a+b+c≤﹣2，
即a﹣2a﹣3a≤﹣2
∴a≥0.5，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
48．（2022春·九年级课时练习）如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可知，故；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
，
．
又，
，
在Rt中，，
．
故选A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识是解题的关键．
49．（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP＋BP的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【分析】连接DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可．
【详解】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，
∵AB＝4，
∴，
连接DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴BE=2
∴，
∴
∴DM＝BD-BM＝BO＝3，
∴DE＝，
故选C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据题意确定P点位置从而确定PE+PB的最小值的情形．
50．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据，DE=6，即可得出，进而得到BC长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵，DE=6，
∴，
∴BC=10，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
51．（2022秋·福建漳州·九年级龙海二中校考阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．
【详解】解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．
52．（2022春·福建福州·八年级校联考期末）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】先计算根的判别式的值，得到 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵
，
∴方程无实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系，即当> 0时，方程有两个不相等的实数根，当= 0时，方程有两个相等的实数根，当 < 0时， 方程无实数根．
53．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图点M在四边形的边上，连接，，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形边上的直角点，且，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】作于点H，利用已知得出，进而得出，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．
【详解】解：作于点H，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴或3，
∵点F，E分别为矩形边上的直角点，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
当时，此时点E与点H重合，即，
综上，或．
故选C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理，得出是解题关键．
54．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即可得到的最小值．
【详解】设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，
在中，，
，
即的最小值为．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
55．（2023·福建厦门·统考模拟预测）图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，车轮直径20cm，，，，，且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，完全折叠后车把（点B）降低的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作于点，交的延长线于点，通过解直角三角形求出，可进一步求出结论．
【详解】解：过点D作于点，交的延长线于点，如图，
在中，，
∴设则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
又车轮的半径为：，
∴折叠后点B离地面的高度，
∴完全折叠后车把（点B）降低的高度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
56．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）下列各图中，每个小正方形网格的边长为1，其中阴影部分的面积是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件和三角形和正方形的面积公式，即可求得其面积．
【详解】解：A、阴影部分的面积是2，错误；
B、阴影部分的面积是2，错误；
C、阴影部分的面积是2，错误；
D、阴影部分的面积是2.5，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了对图形的观察能力，阴影部分可以分为三角形和正方形形来求面积．
57．（2022秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考阶段练习）若垂直于x轴的一条直线与无公共点的两个函数图象相交，两个交点间的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则抛物线与直线的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】通过进行计算，并通过配方法求出最值．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵，
∴该函数最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求“和谐值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
58．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】连接OD，过点C作CE⊥x轴，
∵OC=CA，
∴OE:OB=1:2；
设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，
∵△COE∽△AOB，
∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1:4，
∵△ACD的面积为3，
∴△OCD的面积为3，
∴三角形BOA面积为6+x，
即三角形BOA的面积为6+x=4x，
解得x=2，
∴|k|=2，
∵k>0，
∴k=4，
故选：C.
59．（2022春·福建龙岩·九年级龙岩二中校考阶段练习）如图，矩形中，与相交于点，，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2，再证明CF=CD=2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，-2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出=．
【详解】如图，设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD=，
∴BD=AC==2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM=BG=1，BM=GM=，
∴DM=BD-BM=2a-，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴，即，
∴a=2，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2，
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，
则A（3，0），B（3，2），B′（3，-2），E（0，），
易求直线B′E的解析式为y=-x+，
∴H（1，0），
∴BH==4，
∴=．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．
60．（2022春·福建福州·九年级福州三牧中学校考开学考试）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题
61．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）用配方法解方程时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】9
【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
即方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程——配方法，此类题型解题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
62．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）在压力不变的情况下，压强是受力面积的反比例函数，当物体的压力F为100牛时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】根据题意得：，
∴当物体的压力F为100牛时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，
故答案是：．
【点睛】本题 主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键．
63．（2022秋·九年级单元测试）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000
成活的棵数m 187 446 730 1790 4510 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 （精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种苹果树苗移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即概率．
64．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据顶点式：的顶点坐标为即可求出顶点坐标．
【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：．
故填：．
【点睛】此题考查的是求抛物线顶点坐标，掌握顶点式：的顶点坐标为是解决此题的关键．
65．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）点在反比例函数的图象上，则m的值为 ．
【答案】
【分析】将点代入函数解析式，求解即可.
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键.
66．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为 ．
【答案】20m
【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．
【详解】解：根据题意可得：设旗杆高为x．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：= ，
故x=20m．
故答案为20m．
67．（2022·福建泉州·泉州五中校考三模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为3，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得S△CDB=S△AOB=S△BCO=3，进而得出S△COD=6，由系数k的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∵点B是AC的中点，
∴AB=CB，
在△ABO和△BCD中，，
∴△CDB≌△AOB（AAS），
∴BD=OB，
∴S△CDB=S△AOB=S△BCO=3，
∴S△COD=6，
∴|k|=S△COD=6，
∴|k|=12，
∵k＞0，
∴k=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
68．（2022秋·福建·九年级厦门市第九中学校考阶段练习）将抛物线向右平移1个单位后，再向上平移2个单位长度，所得新抛物线的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线的表达式为．
故答案为：．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
69．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形鸡场，则所围鸡场最大面积为 平方米．
【答案】
【分析】设矩形的宽为米，则长为米，则所围鸡场面积，依据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：设矩形的宽为米，则长为米，
则所围鸡场面积
∵
∴抛物线开口向下，
∴
∴时，最大，为平方米
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，掌握二次函数的性质．
70．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF=x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是： ．
【答案】S=﹣x2﹣4x+192
【分析】根据题意可求出花园的长为，宽为，再利用矩形的面积公式即可列出函数关系式．
【详解】由题意可得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数的函数关系式，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解答本题的关键．
71．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十中学校考阶段练习）如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为 ．（化简为二次项系数为1的一般式）
【答案】
【分析】根据题意：镶嵌后的面积=原来面积的2倍，直接可以列方程，再整理即可．
【详解】解：由题意得：；
整理得：；
化简得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确的找出题目中的等量关系．
72．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为： ．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
73．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）往往高端的食材，只需要采用朴素的烹饪方式．当某房间里累积了足够多的丸子时，令人期待的午餐，也就飘香四溢了．在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．小伙伴们将100粒丸子随机投入四个宫格中，将其都装出后拿出房间，外面的小伙伴数了数有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是 ．
【答案】1
【分析】先求出清汤味的概率进而求出清汤味的宫格数为2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一共有100粒丸子，其中有49粒是清汤味的，
∴清汤味的概率为，
又∵一共有4个宫格，
∴清汤味的宫格数为2，
又∵在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，
∴红汤锅底的宫格数为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，用概率求数量，正确求出清汤味的宫格数为2是解题的关键．
74．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣3的顶点为 ，开口向 ，对称轴为 ．
【答案】 （﹣2，﹣3） 上 x＝﹣2
【分析】根据抛物线顶点式解析式的性质求解即可．
【详解】解：∵在y＝2（x+2）2﹣3中，a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣2，﹣3），对称轴为x＝﹣2，
故答案为：（﹣2，﹣3）；上；x＝﹣2．
【点睛】本题考查了抛物线的性质问题，掌握抛物线顶点式解析式的性质是解题的关键．
75．（2022秋·九年级课时练习）关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
76．（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知点，在反比例函数（）的图象上，则k的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据反比例函数系数k=xy得到k=3a=-6（a+1），解方程即可求得．
【详解】解：∵点A（a，3），B（a+1，-6）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k=3a=-6（a+1），
解得a=，
∴k=3a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
77．（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）方程的根是 ．
【答案】x1=0，x2=﹣．
【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解．
【详解】解：∵
∴x=0或2x+3=0，
解得：x1=0，x2=﹣．
故答案为x1=0，x2=﹣．
【点睛】在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
78．（2022春·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，直线AB与反比例函数的图象交于点A(u，p)和点B(v，q)，与x轴交于点C，已知∠ACO=45°，若＜u＜2，则v的取值范围是 ．
【答案】2＜v＜12
【分析】由∠ACO=45°可设直线AB的解析式为y=-x+b，由点A、B在反比例函数图象上可得出p=，q=，代入点A、B坐标中，再利用点A、B在直线AB上可得=﹣u+b①，=﹣v+b②，两式做差即可得出u关于v的关系式，结合u的取值范围即可得答案．
【详解】∵∠ACO=45°，直线AB经过二、四象限，
∴设直线AB的解析式为y=﹣x+b．
∵点A（u，p）和点B（v，q）为反比例函数的图象上的点，
∴p=，q=，
∴点A（u，），点B（v，）．
∵点A、B为直线AB上的点，
∴=﹣u+b①，=﹣v+b②，
①﹣②得：，
即．
∵＜u＜2，
∴2＜v＜12，
故答案为：2＜v＜12．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据∠ACO=45°设出直线AB解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
79．（2022·福建厦门·统考一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：相似三角形中对应线段的比等于相似比，根据题意可得：AG:AH=3:5，则根据相似三角形的性质可得：DE:BC=3:5.
考点：三角形相似的应用
80．（2022秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
【答案】/
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
81．（2023春·福建厦门·八年级统考期中）如图，菱形的边长为4，，M为的中点，点N在上．若N是上动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先根据菱形的性质得出是等边三角形以及连接后与的交点即为点，进而利用勾股定理求出的长即可得出答案．
【详解】解：菱形的边长为4，，
，，
是等边三角形，
点关于的对称点为点，连接交于点，如图，
∴此时最小，
∵为的中点，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用菱形性质是解题关键．
82．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】8
【详解】如图：
设正方形的边长为a,
则2a =(2) ，
解得a=2，
翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG，
阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
83．（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，设平均每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程 ．
【答案】100（1+x）2=121
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，第二次提价的价钱为100（1+x）2元，列出关于x的方程．
【详解】解：设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程100（1+x）2=121，
故答案为：100（1+x）2=121．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意列出相应方程．
84．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【答案】①④/④①
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．
【详解】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．
85．（2023·福建福州·校考模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 cm．
【答案】4.5
【分析】根据AB=6cm，BE=8cm，CE=6cm，通过证明△OAB∽△OCD，根据相似三角形的相似比即可求得．
【详解】解：∵，
∴△OAB∽△OCD，
∵△OAB边AB上的高等于BE，△OCD边CD上的高等于CE，
∴，
∵AB=6cm，BE=8cm，CE=6cm，
∴，
∴CD=4.5cm
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
86．（2022·福建泉州·统考一模）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
黄 红 红
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
87．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形中，，点E在边上，以为边在菱形的内部作等边三角形，若，，则α与β之间的数量关系可用等式表示为 ．
【答案】
【分析】先根据，证明是等边三角形，再证明即可求解．
【详解】解：在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为边在菱形的内部作等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质，解题关键是得出．
88．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知反比例函数(x＞0)与正比例函数y＝(0)的图象，点A(1，5)，点A′(5，1)与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y＝上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为 ．
【答案】（，）
【分析】利用平行四边形的性质设出B点坐标，根据平移规律进而表示出B′点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．
【详解】解：∵反比例函数（x＞0），点A（1，5），
∴k=1×5=5，
∴反比例函数解析式为：，
∵点B在直线y=x上，
∴设B点坐标为：（a，a），
∵点A（1，5），A′（5，1），
∴A点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到A′点，
∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴B点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到B′点（a+4，a-4），
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴（a+4）（a-4）=5，
解得：a=±（负数不合题意），
故B点坐标为：（，），
故答案为：（，）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数性质以及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B′点坐标是解题关键．
89．（2022秋·福建南平·九年级福建省南平第一中学校考期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 ．
【答案】或
【分析】先求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，将一次函数解析式代入抛物线解析式中，利用根的判别式Δ=0，即可求出b值．综上即可得出结论
【详解】解：将抛物线=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分解析式为y=-x2+2x+3．
∵直线y=x+b平行于y=x，
∴当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点．
①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，0=-1+b，
∴b=1；
②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，
只有一组公共解，
即方程x2-x+b-3=0中判别式等于0，
∴△=（-1）2-4（b-3）=0，
∴b=．
综上，b=1或b=．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．
90．（2022春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠A=∠ABC，AC=6，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．则DE= ．
【答案】3
【详解】因为∠A=∠ABC，所以CA=CB，因为BD⊥AC，所以∠BDC=90°.
因为E为CB的中点，所以BC=2DE，所以6=2DE，则DE=3.
故本题应填3.
91．（2023秋·福建福州·九年级福建省长乐第一中学校考开学考试）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
92．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点， PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2．若S=2，则S1+S2= ．
【答案】8
【详解】∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EFBC．
∴ΔPEF∽ΔPBC．
∴SΔPBC=4SΔPEF=8．
又SΔPBC=S平行四边形ABCD，
∴S1+S2=SΔPDC＋SΔPAB=S平行四边形ABCD=8．
93．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）如图，的顶点坐标分别为，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】b≥-4
【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y轴的左侧时，b＞0，对称轴在y轴右侧时，b＜0，对称轴x=-≤2时，二次函数y=x2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点．
【详解】抛物线y=x2+bx+2与y轴的交点为（0，2），
∵C（4，2），
当对称轴在y轴的右侧时
当C与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，
∴对称轴0＜-≤2时，二次函数y=x2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，
∴-4≤b＜0．
当对称轴在y轴或y轴的右侧时，都满足条件
则有 解得：b≥0，
故有b≥-4
故答案为b≥-4．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b的取值范围，并利用数形结合的思想．
94．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ．
【答案】5．
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长．
【详解】过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°，OP=12，
∴OD=6．
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=NDMN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故答案为：5．
【点晴】本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
95．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，点E为矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点F，若DE＝3，CE＝5，∠2＝2∠1，则线段BE的长为 ．
【答案】/
【分析】作BE的垂直平分线MN，交CD于N点，得到∠BNC=∠2，再根据∠BCN=∠D得到△BCN∽△CDA，设CN=y，BC=x，则BN=EN=5-y，得到x2=8y①，再根据Rt△BCN中得到（5-y）2=x2+y2②，联立①②求出x，y，再利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，作BE的垂直平分线MN，交CD于N点，连接BN，
∴EN=BN
∴∠1=∠NBE
∴∠BNC=∠1+∠NBE=2∠1=∠2
又∠BCN=∠D
∴△BCN∽△CDA
∴
设CN=y，BC=x，则BN=EN=5-y
∵AD=BC=x，CD=DE+CE=8
故，故x2=8y①
在Rt△BCN中，BN2=BC2+CN2
故（5-y）2=x2+y2②
联立①②得x=（负值舍去），y=
∴BC=
∴BE=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形与矩形综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，得到相似三角形进行求解．
96．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且，过点E作DE的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据，即可求得MN的长．
【详解】解：作交于点H，作于点K，
∵BF平分，，
∴四边形BHFK是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，，
∴，
设，则，
∴，解得，即；
∵，
∴。
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，解得，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
97．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图正方形ABCD中,E为AB中点,P为对角线AC上一点，且PB+PE=,则正方形ABCD边长的最大值是 ．
【答案】2
【分析】如下图，作点E关于AC的对称点F，连接FB，直线FB与AC的交点为点G，当点P与点G重合时，正方形ABCD的边长最长，根据勾股定理可求得．
【详解】如下图，作点E关于AC的对称点F，连接FB，直线FB与AC的交点为点G，连接FP
∵四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点
∴根据正方形的性质，点F为AD的中点
∵点F是点E关于AC的对称点
∴EP=FP
∵EP+PB是定值
∴FP+PB是定值
在△FPB中，FP+PB≥FB
∴当点P与点G重合时，FB最大，FB=FP+PB=
则此刻，正方形ABCD的边长最大，设边长为2a
则AB=2a，AF=a
在Rt△ABF中，
解得：a=1
∴正方形的边长为2
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用对称性求最值，注意求最值常用方法有3种，一种是利用对称性，第二种是利用三角形三边长关系，第三种是利用二次函数的性质．
98．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市华侨中学阶段练习）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片 ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB， AC于点E，G，若AB=2，则AG的长为 ．
【答案】
【详解】【分析】由正方形的性质、折叠的性质推导得出EF=AE=AG，∠BFE =90°，BF=EF，利用勾股定理可得BE2=BF2+EF2=2EF2，再根据AE+BE=AB=2， 即可求得AG的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠EDF=∠ADO=22.5°，EF=AE，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°，∠AEG=90°-∠ADG=67.5°，∠DEF=67.5°，
∴∠AGE=∠AEG，∠BEF=180°-∠AEG-∠DEF=45°，
∴AE=AG，∠BEF=∠ABD=45°，
在△BEF中，∠BEF=∠ABD=45°，∴∠BFE=180°-∠BEF-∠ABD=90°，BF=EF，
∴BE2=BF2+EF2=2EF2，
∵AE+BE=AB=2，∴BE=2-AE=2-AG，
∴（2-AG）2=2AG2，
∴AG=，
故答案为.
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等，综合性较强，掌握折叠前后图形的对应关系、注意数形结合思想的应用是解题的关键.
99．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是 ．
【答案】2.4≤x＜4
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=EF=AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）
当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
故答案为：2.4≤x＜4．
【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，关键是求出AP的范围和得出AM=AP．
100．（2022春·福建泉州·八年级统考期中）如图，P为反比例函数(x＜0)在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=－x+4的图像于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．
【详解】解: 作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，），
∵直线AB函数式为y=-x+4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（-n，-），
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=-x+4=4，
∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=2；
同理可证：BG=BF=PD=，
∴BE=BG+EG=+2；
∵∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°.
∵AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
在△BOE和△AOD中，
∵∠DAO=∠OBE,
∠BEO=∠ADO=90°，
∴△BOE∽△AOD；
∴ ,
∴；
整理得：nk+2n2=8n+2n2，
化简得：k=8；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查了一次函数图形与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
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