通用版高考数学一轮复习课时突破练16　函数模型及其应用（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练16　函数模型及其应用
基础达标练
1.我国西北某地长期土地沙漠化严重,近几年通过各种方法防沙治沙效果显著,两年间沙地面积从500公顷下降为320公顷,则这两年的平均下降率为(　　)
A.9% B.10% C.18% D.20%
2.游泳池原有一定量的水,打开进水阀进水,过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,直到水排完.已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变.用h表示游泳池的水深,t表示时间,则下列函数图象中能反映所述情况的是(　　)
A.　　　　B.
C. D.
3.(2024·北京西城一模)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)以及火箭(除燃料外)的质量N(单位:kg)间的关系为v=2ln1+.若火箭的最大速度为12 km/s,则下列各数中与最接近的是(　　)(参考数据:e≈2.718)
A.200 B.400
C.600 D.800
4.(2024·浙江绍兴模拟)点声源在空间中传播时,衰减量ΔL与传播距离r(单位:米)的关系式为ΔL=10lg(单位:dB),取lg 5≈0.7,则r从10米变化到40米时,衰减量的增加值约为(　　)
A.9 dB B.12 dB
C.15 dB D.18 dB
5.(2024·安徽合肥联考)一般地,声音大小用声强级LI(单位:dB)表示,其计算公式为LI=10lg,其中I为声强(单位:W/m2),若某种物体发出的声强为5-10 W/m2,其声强级约为(　　)(参考数据:lg 2≈0.30)
A.50 dB B.55 dB
C.60 dB D.70 dB
6.(2024·广东广州质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇,开发生产一智能产品,该产品每年的固定成本是25万元,每生产x万件该产品,需另投入成本ω(x)万元,其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完,每件的售价为70元,则该企业每年利润的最大值为(　　)
A.720万元 B.800万元
C.875万元 D.900万元
7.某城市出租车按如下方法收费:起步价6元,可行3 km(含3 km),3 km到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价0.5元,10 km后每多走1 km加价0.8元,某人坐出租车走了12 km,他应付　　　　　元.
8.用指数模型y=e0.44t描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t(单位:天)的变化规律,则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为　　　　天.(ln 3≈1.10,结果精确到0.1)
能力提升练
9.在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N个人中有V个人接种过疫苗称为接种率,那么1个感染者传染的人数为(N-V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0=4,为了使1个感染者传染人数不超过1,则该地疫苗的接种率至少为(　　)
A.45% B.55% C.65% D.75%
10.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位:天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小菲的单词记忆保持量低于40%
D.26天后,小菲的单词记忆保持量不足20%
11.(2024·湖南永州模拟)某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:毫克/毫升)随时间x(单位:小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=规定驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升,此驾驶员至少要过　　　小时后才能开车.(精确到1小时)
12.(15分)我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为“声压”,用P表示(单位:Pa),声压级SPL(单位:dB)表示声压的相对大小,已知SPL=klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时,声压P会变为原来的1 000倍.
(1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式.
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,一般当声压级SPL<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习 请说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3)
13.(15分)(2024·湖南株洲模拟)研究表明:在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分;当x∈[16,40]时,曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间约有多长 (参考数据:0.8-12≈14.6,精确到1分钟)
素养拔高练
14.(多选)(2024·浙江绍兴模拟)预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1),其中Pn为预测期人口数,P0为初期人口数,k为预测期内人口年增长率,n为预测期间隔年数,则(　　)
A.若k∈(-1,0),则这期间人口数呈下降趋势
B.若k∈(-1,0),则这期间人口数呈摆动变化
C.当k=,Pn≥2P0时,n的最小值为3
D.当k=-,Pn≤P0时,n的最小值为3
答案：
1.D　设这两年的平均下降率为x,则500(1-x)2=320,解得x=20%.故选D.
2.D　游泳池原有一定量的水,故函数图象不过原点,排除A,C;再过一段时间打开排水阀排水,故函数值有一段时间不变,排除B.故选D.
3.B　当火箭的最大速度为12 km/s时,有12=2ln1+,可得=e6-1≈402,故选B.
4.B　当r=10时,ΔL1=10lg 25π,当r=40时,ΔL2=10lg 400π,则衰减量的增加值约为ΔL2-ΔL1=10lg 400π-10lg 25π=40lg 2=40(lg 10-lg 5)≈40×(1-0.7)=12,故选B.
5.A　由已知得LI=10lg=10×(12-10lg 5)=10×12-10lg=10×(2+10lg 2)≈10×(2+10×0.30)=50(dB).故选A.
6.C　该企业每年利润f(x)=
当040时,f(x)=920-x+≤920-2=720(当且仅当x=100时,等号成立),即当x=100时,f(x)取得最大值720.由于875>720,所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C.
7.11.1　结合已知条件可知,某人坐出租车走了12 km,应付6+(10-3)×0.5+(12-10)×0.8=11.1(元).
8.2.5　设从t1开始观察,当t2时,该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍,则=3,所以=3,则有0.44(t2-t1)=ln 3,所以t2-t1=2.5(天).故需要的时间约为2.5天.
9.D　为了使1个感染者传染人数不超过1,只需(N-V)≤1,即R0·1-≤1,因为R0=4,所以1-,解得=75%.
10.ABC　由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少,故A正确;由图象下降趋势可得B正确;当111.4　当0≤x≤1时,由f(x)≤0.02,得5x-2≤0.02,解得x≤2+log50.02=log50.5<0,不符合题意;当x>1时,由f(x)≤0.02,得x≤0.02,即31-x≤0.1,解得x≥1-log30.1=1+log310.因为3<1+log310<4,所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
12.解 (1)由题意可得klg+60=klg,则klg+60=k3+lg,所以3k=60,解得k=20,故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL=20lg
(2)不会干扰我们的学习,理由如下:
当SPL=40时,由20lg=40,即lg=2,可得P1=P2=2×10-3,所以P=P1=210-3,将其代入SPL=20lg可得SPL=20lg=20lg(102)=40+10lg 2≈43<45,故不会干扰我们的学习.
13.解 (1)当x∈[0,16]时,设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0),因为f(16)=b(16-12)2+84=80,所以b=-,所以f(x)=-(x-12)2+84;当x∈[16,40]时,f(x)=log0.8(x+a)+80,由f(16)=log0.8(16+a)+80=80,解得a=-15,所以f(x)=log0.8(x-15)+80.
综上,f(x)=
(2)当x∈[0,16]时,令f(x)=-(x-12)2+84≤68,即(x-12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去),所以x∈[0,4];
当x∈[16,40]时,令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68,得x≥15+0.8-12≈29.6,所以x∈[30,40],
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长约为4-0+40-30=14(分钟).
14.AC　当k∈(-1,0)时,P0>0,0<1+k<1,由指数函数的性质可知,Pn=P0(1+k)n是减函数,即人口数呈下降趋势,故A正确,B不正确;当k=,Pn=P0n≥2P0,所以n≥2,所以n≥lo2(n∈N),lo2∈(2,3),所以n的最小值为3,故C正确;当k=-时,Pn=P0nP0,所以n,所以n≥lo(n∈N),lo=lo2∈(1,2),所以n的最小值为2,故D不正确.故选AC.
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