通用版高考数学一轮复习课时突破练17　导数的概念及其意义、导数的运算（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练17　导数的概念及其意义、导数的运算
基础达标练
1.一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1 s时,该质点的瞬时速度为(　　)
A.2 m/s B.3 m/s
C.-3 m/s D.-2 m/s
2.(2024·广东深圳外国语学校模拟)已知函数f(x)=x3-2x+2f'(2),其中f'(x)是f(x)的导函数,则f(2)=(　　)
A.12 B.20 C.10 D.24
3.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,那么f(1)+f'(1)等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024·北京西城阶段练习)已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线,则切点坐标为(　　)
A. B.(e,1)
C. D.(0,1)
5.(2024·辽宁大连模拟)若直线y=2x是曲线y=x(ex-a)的切线,则a=(　　)
A.-e B.-1 C.1 D.e
6.已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若函数f(x)=x2+的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=mx+m,则实数a=　　　　　.
8.(13分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.
(1)求切点P0的坐标;
(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.
能力提升练
9.已知函数f(x)=ln x+x的零点为x0,过原点作曲线y=f(x)的切线l,切点为P(m,n),则mx0等于(　　)
A. B.e C. D.e2
10.(多选)已知直线l与函数f(x)=ln x+x2的图象相切,则下列直线中可能与l垂直的是(　　)
A.l1:x+4y=0 B.l2:x+5y=0
C.l3:x+3y=0 D.l4:x-y=0
11.(多选)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0),那么下列结论正确的是(　　)
A.f'(1)=-5
B.在x=2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D.f'(4)=12
12.(2024·河北保定模拟)已知函数f(x)=(x2+2x-1)ex的图象在x=0处的切线与g(x)=aln x-1的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x2=2x1,则a=　　　　　.
13.(2024·辽宁本溪模拟)请写出与曲线y=sin x在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数:　　　　　.
14.(15分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
素养拔高练
15.(15分)已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.
答案：
1.C　因为s=3t3-(2t+1)2+1,所以s'=9t2-4(2t+1),当t=1时,s'=-3.故当t=1 s时,该质点的瞬时速度为-3 m/s.故选C.
2.D　由题意得f'(x)=3x2-2,故f'(2)=3×4-2=10,则f(x)=x3-2x+20,故f(2)=8-4+20=24.故选D.
3.C　由题意得f(1)=1+2=,f'(1)=,所以f(1)+f'(1)==3.
4.A　设切点坐标为(t,ln t),因为(ln x)'=,所以在点(t,ln t)处切线的斜率为,所以曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线方程为y-ln t=(x-t),即y-ln t=x-1,所以解得t=,所以切点为故选A.
5.B　设切点坐标为(x0,x0(-a)),因为y=x(ex-a),所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,所以在切点处的切线的斜率为(1+x0)-a,切线方程为y-x0(-a)=[(1+x0)-a](x-x0),
即y=[(1+x0)-a]x-,
由题意知解得
6.B　因为f(1)=13-1=0,所以点P(1,-1)没有在函数f(x)的图象上.设切点坐标为(x0,y0),则y0=-x0,f'(x0)=3-1.由导数的几何意义可知,切线的斜率为k=3-1,又k=,所以化简可得(2x0-3)=0,解得x0=0或x0=,
所以切点有两个,因而有两条切线.
7.1　由函数f(x)=x2+求导得f'(x)=2x-,依题意,m=f'(1)=2-a.又因为点P(1,f(1))在直线y=mx+m上,所以f(1)=1+a=2m,因此1+a=2(2-a),解得a=1.
8.解 (1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+1,
由已知令3x2+1=4,解得x=±1.
当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(-1,-4).
(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),∴直线l的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.
9.B　f'(x)=+1,切点为P(m,ln m+m),则切线方程为y=(x-m)+ln m+m,因为l过原点,所以0=(-m)+ln m+m,解得m=e,则P(e,e+1),由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0=ex0=e.
10.AB　f(x)的定义域为(0,+∞),可得f'(x)=+2x≥2当且仅当=2x,即x=时,等号成立,则直线l的斜率k≥2设与l垂直的直线的斜率为m(m≠0),则k=-,所以-2,所以-m<0.故选AB.
11.AB　由题意可得f'(x)=(x-2)(x+4),对于A,f'(1)=-5,A正确;对于B,当x=2时,f'(2)=0,故在x=2处的切线平行或重合于x轴,B正确;对于C,f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,最小值为-9,故C错误;对于D,f'(4)=(4-2)×(4+4)=16,D错误.故选AB.
12　因为f'(x)=(x2+4x+1)ex,所以f'(0)=1,又因为f(0)=-1,所以切线方程为y=x-1.由题意可知,aln x1-1=x1-1,aln(2x1)-1=2x1-1,两式相减,解得x1=aln 2,所以aln x1=aln 2,即x1=2,所以a=
13.y=x3+x(答案不唯一)　∵y=sin x的导函数为y'=cos x,又y=sin x过原点,∴y=sin x在原点(0,0)处的切线斜率k=cos 0=1,∴y=sin x在原点(0,0)处的切线方程为y=x.所求曲线只需满足过点(0,0)且在x=0处的导数值y'=1即可,如y=x3+x,∵y'=3x2+1,∴y=x3+x在原点处的切线斜率为1,又y=x3+x过原点,∴y=x3+x在原点(0,0)处的切线方程为y=x.
14.解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,又f'(x)=a+,解得f(x)=x-
(2)设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-(x-x0).令x=0,得y=-,
∴切线与直线x=0的交点坐标为
令y=x,得y=x=2x0,∴切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
∴曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形的面积S=|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.
15.解 (1)因为f'(x)=6x2-3,所以f'(0)=-3,又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x.
(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),将y0=2-3x0代入,整理可得y=3(2-1)x-4,
又因为点P(-1,t)在切线上,
所以t=-3(2-1)-4=-4-6+3.(*)
要使过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则方程(*)有3个解,令g(x0)=-4-6+3,则g'(x0)=-12-12x0=-12x0(x0+1).令g'(x0)>0,可得-1令g'(x0)<0,可得x0<-1或x0>0,所以g(x0)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减.所以g(x0)在x0=-1处取得极小值,在x0=0处取得极大值,又因为g(-1)=1,g(0)=3,所以121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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