通用版高考数学一轮复习课时突破练19　利用导数研究函数的极值、最值（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练19　利用导数研究函数的极值、最值
基础达标练
1.(2024·北京海淀二模)函数f(x)=是(　　)
A.偶函数,且没有极值点
B.偶函数,且有一个极值点
C.奇函数,且没有极值点
D.奇函数,且有一个极值点
2.(2024·福建泉州一模)已知x1,x2是函数f(x)=(x-1)3-x的两个极值点,则(　　)
A.x1+x2=-2
B.x1+x2=1
C.f(x1)+f(x2)=-2
D.f(x1)+f(x2)=2
3.某冷饮店的日销售额y(单位:元)与当天的最高气温x(单位:℃,20≤x≤40)的关系式为y=x2-x3,则该冷饮店的日销售额的最大值约为(　　)
A.907元 B.910元
C.915元 D.920元
4.(2024·河北承德二模)设a为实数,若函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,则a=(　　)
A.1 B. C.0 D.-1
5.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则等于(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)已知函数f(x)=x3-3x2+4,则(　　)
A.f(x)的极小值为2
B.f(x)有两个零点
C.点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=-3x+5是曲线y=f(x)的切线
7.(2024·山东潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)=　　　　　.
8.从长和宽分别为16 cm,10 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为　　　　　 cm3.
9.(13分)(2024·湖北名校联考)已知函数f(x)=ex(2x2+ax-1),其中a∈R.若f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为2x+by+1=0.求:
(1)函数f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在区间[-3,1]上的最值.
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10.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=(k-x)ex在区间[0,1]上的最大值为k,则函数f(x)在(0,+∞)上(　　)
A.有极大值,无最小值
B.无极大值,有最小值
C.有极大值,有最大值
D.无极大值,无最大值
11.(2024·广东广州模拟预测)已知直线y=kx+b恒在曲线y=ln(x+2)的上方,则的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.
C.(0,+∞) D.
12.(多选)(2024·陕西安康期末)对于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)有最小值但没有最大值
B.对于任意的x∈(-∞,0),恒有f(x)<0
C.f(x)仅有一个零点
D.f(x)有两个极值点
13.某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底),一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍,若不考虑饮料罐的厚度,欲使这种饮料罐的造价最低,则这种饮料罐的底面半径是　　　　　.
14.(15分)(2025·八省联考,17)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
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15.(15分)(2024·河北保定模拟)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.
答案：
1.B　当x≤0时,-x>0,则f(-x)==3x=f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=3-x==f(x),
所以函数f(x)是偶函数,画出f(x)的图象,由图可知函数f(x)有一个极大值点.故选B.
2.C　f'(x)=3(x-1)2-1,令f'(x)=0,解得x1,2=1±,所以x1+x2=2,故A,B错误;f(x1)+f(x2)=-1--1+=-2,故C正确,D错误.故选C.
3.C　y=f(x)=x2-x3(20≤x≤40),f'(x)=x-=x,令f'(x)=0,解得x=38.当20≤x<38时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;
当384.B　由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0,解得x=0或x=2a.因为函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,所以2a=1,即a=,当a=时,f'(x)=x(x-1),令f'(x)>0,得x<0或x>1,令f'(x)<0,得05.C　由图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,∴1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f'(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,
∴x1+x2=2,x1x2=,
=(x1+x2)2-2x1x2=4-2
6.BCD　∵f(x)=x3-3x2+4,∴f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,则f(x)的极大值为f(0)=4,极小值为f(2)=0,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)有两个零点,故A错误,B正确.f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2,
∵f(1+x)+f(1-x)=(2+x)(x-1)2+(2-x)(x+1)2=4,∴点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确.由f'(x)=3x2-6x=-3,得x=1,把x=1代入f(x)=x3-3x2+4,得f(1)=2,点(1,2)在直线y=-3x+5上,则直线y=-3x+5是曲线y=f(x)的切线,故D正确.故选BCD.
7.sin x(答案不唯一)　正弦函数f(x)=sin x为奇函数,且存在极值.
8.144　设小正方形的边长为x cm,00,当29.解 (1)依题意,f(0)=-1,切点(0,-1)在切线2x+by+1=0上,则b=1,f'(x)=ex(2x2+ax-1)+ex(4x+a)=ex[2x2+(a+4)x+a-1],而f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为-2,则f'(0)=a-1=-2,解得a=-1,所以f(x)=ex(2x2-x-1).
(2)由(1)知,f'(x)=ex(2x2+3x-2)=ex(x+2)(2x-1),由f'(x)=0得x=-2或x=,
当-30;当-2又因为f(-3)=,f(-2)=,f=-,f(1)=0,所以f(x)在[-3,1]上的最大值为,最小值为-
10.D　由f'(x)=(k-x-1)ex,则x0,x>k-1时f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,k-1)上单调递增,在(k-1,+∞)上单调递减,而f(0)=k,f(x)在[0,1]上的最大值为k,所以k-1≤0,即k≤1,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减,且无极大值和最大值,故选D.
11.A　设直线y=kx+t与曲线切于点(x0,ln(x0+2)),则y'=,所以切线方程为y=x+ln(x0+2)-,所以k=>0,t=ln(x0+2)-,所以=(x0+2)ln(x0+2)-(x0+2)+2,设g(x)=xln x-x+2,g'(x)=ln x,当01时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=1,所以>1.故选A.
12.BC　对于A,D选项,f'(x)=,当x∈(-∞,3)时,f'(x)≥0,当x∈(3,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在x∈(-∞,3)上单调递增,在x∈(3,+∞)上单调递减,故f(x)有最大值但没有最小值且f(x)只有一个极值点,故A,D错误;对于B,C选项,由于ex>0恒成立,故当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,令f(x)=0,得x=0,所以函数f(x)仅有一个零点,故B,C正确.故选BC.
13　由V=πr2h,得h=设f(r)=3×2×πr2+2πrh=6πr2+,所以可得f'(r)=12πr-,所以f(r)在上单调递减,在上单调递增,所以当r=时,造价最低.
14.解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,其中x>0,则f'(x)=-1=,令f'(x)=2,即=2,化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1x=-舍去.
显然x=1是方程f'(x)=2的解.
又f(1)=-3,则切线过点(1,-3),结合切线的斜率为2,则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)由题意可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=因为x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0,即a=b+1,则f'(x)==-若b≤0,令f'(x)>0,则x∈(0,1),令f'(x)<0,则x∈(1,+∞),则f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若00,则x∈(b,1),令f'(x)<0,则x∈(0,b)∪(1,+∞),则f(x)在(b,1)内单调递增,在(0,b)和(1,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;若b=1,则f'(x)=-<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值,不满足题意;若b>1,令f'(x)>0,则x∈(1,b),令f'(x)<0,则x∈(0,1)∪(b,+∞),
则f(x)在(1,b)内单调递增,在(0,1)和(b,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,当x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围是(1,+∞).
15.解 (1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=,令f'(x)=0得x=e,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的极大值点为x=e,无极小值点.
(2)g(x)=ln x-ax2+(a>0),g'(x)=-2ax=(x>0,a>0),令g'(x)=0,得x=,因为当x时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g=ln-a=-(ln a+1),
由g(x)max=-(ln a+1)>-1,得ln a+a-1<0,令h(a)=ln a+a-1(a>0),h'(a)=+1>0,h(a)单调递增,而h(1)=0,
所以当h(a)<0时,a∈(0,1).
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