通用版高考数学一轮复习课时突破练23　任意角、弧度制及三角函数的概念（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练23　任意角、弧度制及三角函数的概念
基础达标练
1.给出下列四个说法:①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确说法的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.与-2 024°终边相同的最小正角是(　　)
A.136° B.134°
C.56° D.44°
3.(2024·江苏扬州模拟)已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形的面积为(　　)
A. cm2 B.π cm2
C.2π cm2 D.4π cm2
4.若sin θ·cos θ<0,>0,则角θ是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.(2024·江苏盐城质检)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-,则cos θ的值为(　　)
A. B.±
C.± D.
6.(多选)在平面直角坐标系中,角α以x正半轴为始边,终边与单位圆(原点为圆心)交于点,则符合条件的角α可以是(　　)
A.- B.
C. D.
7.在平面直角坐标系xOy中,点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标为　　　　　.
8.(13分)已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
能力提升练
9.我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1 738千米,则嫦娥五号绕月每旋转弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　)
A.1 069千米 B.1 119千米
C.2 138千米 D.2 238千米
10.如果角α与角x+45°具有相同的终边,角β与角x-45°具有相同的终边,那么α与β之间的关系是(选项中k∈Z)(　　)
A.α+β=0°
B.α-β=90°+k·180°
C.α+β=k·360°
D.α-β=k·360°+90°
11.半径为3的圆的边沿有一点A,半径为4的圆的边沿有一点B,A,B两点重合后,小圆沿着大圆的边沿滚动,A,B两点再次重合,小圆滚动的圈数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
12.(多选)(2024·河北唐山五校联考)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.sin>cos B.
C.sin<0 D.tan>0
13.(2024·安徽六安模拟)若角θ与2θ的终边关于x轴对称,且-π≤θ≤π,则θ所构成的集合为　　　　　.
14.角α的终边上的点P与A(a,b)(a≠0,b≠0)关于x轴对称,角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,则的值为　　　　　.
15.(15分)若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
素养拔高练
16.(15分)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中,用电焊切割成扇形,现有如图所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间最短,问哪一种方案最优
方案一
方案二
答案：
1.C　①中-是第三象限角,故①错误.②中=π+,从而是第三象限角,故②正确.③中-400°=-360°-40°,故③正确.④中-315°=-360°+45°,故④正确.
2.A　因为-2 024°=-360°×6+136°,所以与-2 024°终边相同的最小正角是136°.
3.C　∵弧长为π cm的弧所对的圆心角为,∴圆的半径r==4(cm),∴这条弧所在的扇形的面积S=π×4=2π(cm2).
4.D　由>0,得>0,所以cos θ>0.
又sin θ·cos θ<0,所以sin θ<0,
所以θ为第四象限角.
5.A　由点P(1,t)在角θ的终边上,知sin θ=-,得t=-,可得角θ为第四象限角,
∴cos θ=
6.BC　当α=-时,cos-,故A错误;
当α=时,cos=-,故B正确;
当α=时,cos=-cos=-,故C正确;
当α=时,cos=cos,故D错误.
7.(-1,)　设点P的坐标为(x,y),
由三角函数定义得
所以所以点P的坐标为(-1,).
8.解 (1)由=-,得sin α<0,
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,
解得m=±又α为第四象限角,故m<0,从而m=-,sin α==-
9.D　嫦娥五号绕月飞行半径为400+1 738=2 138(千米),所以嫦娥五号绕月每旋转弧度,飞过的路程约为l=αr=2 1382 138≈2 238(千米).
10.D　根据终边相同的角的关系得α=n·360°+x+45°(n∈Z),β=m·360°+x-45°(m∈Z),则α+β=(m+n)·360°+2x(n∈Z,m∈Z)与x有关,故A,C错误;又α-β=(n-m)360°+90°(n∈Z,m∈Z).因为m,n是整数,所以n-m也是整数,用k(k∈Z)表示,所以α-β=k·360°+90°(k∈Z).
11.D　设A,B两点再次重合小圆滚动的圈数为n,则n×2π×3=6nπ=k×2π×4=8kπ,其中k,n∈N*,所以n=,则当k=3时,n=4.故A,B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.
12.BD　由题意,得2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,故kπ+故sin的符号不确定,tan>0,当k为偶数时,为第一象限角,此时013.-,0,　角θ与2θ的终边关于x轴对称,所以得到θ=2kπ-2θ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.因为-π≤θ≤π,所以k=-1,0,1,所以θ=-,0,
14.0　由题意得P(a,-b),Q(b,a),所以sin α=,cos α=,tan α=-,sin β=,cos β=,tan β=,所以=-1-=0.
15.解 (1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ==-;
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=-
综上,sin θ+cos θ=±
(2)当a>0时,sin θ=,cos θ=-,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cossin<0;
当a<0时,sin θ=-,cos θ=,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cossin>0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.
16.解 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形,所以∠A=∠B=30°=,AM=BN=1,AD=2,所以方案一中扇形的弧长为2,方案二中扇形的弧长为1;方案一中扇形的面积为2×2,方案二中扇形的面积为1×1
由此可见,两种方案中可利用废料的面积相等,方案一中切割时间短.因此方案一最优.
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