通用版高考数学一轮复习课时突破练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础达标练
1.已知α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α等于(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知x∈,cos x=,则tan 2x等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.化简=(　　)
A.1 B.2
C. D.-1
4.(2024·安徽合肥模拟)已知sin α+cos α=,则sin等于(　　)
A.± B.
C.- D.-
5.(多选)(2024·吉林延边二模)下列化简正确的是(　　)
A.cos 82°sin 52°+sin 82°cos 128°=-
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos215°-sin215°=
D.
6.(2024·北京朝阳期中)已知角α的终边与单位圆交于点P,点P位于第二象限,且点P的横坐标为-,则sin 2α=　　　　　.
7.已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),则θ=　　　　　.
8.(13分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cos β的值.
能力提升练
9.(2024·广东广州模拟)若tan β=,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1 D.tan(α+β)=-1
10.已知sin α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则sin β等于(　　)
A.- B. C.- D.
11.已知3sin x-4cos x=5sin(x+φ),则φ所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.(多选)(2024·海南调研)已知α∈,且cos2α-cos 2α=,则(　　)
A.tan α=- B.sin 2α=
C.cos 2α= D.tan 2α=-
13.(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　)
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
14.(2024·江苏南京模拟)若sin,则cos的值为　　　　　.
15.(15分)已知2sin α=2sin2-1.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
(2)若α∈(0,π),β∈,tan(α+β)=-,求2α+β的值.
素养拔高练
16.(15分)如图,已知点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)).
(1)证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(2)利用(1)中的结果证明cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos 37.5°cos 37.5°的值.
答案：
1.D　因为α是第三象限角,且cos α=-,
所以sin α=-所以sin 2α=2sin αcos α=2
2.D　因为cos x=,x,所以sin x=-,
所以tan x=-,
所以tan 2x==-
3.B　=2.
4.C　∵sin α+cos α=sinα+=,∴sinα+=,∴sinα-=sinα+-π=-sinα+=-
5.ABC　对于A,cos 82°sin 52°+sin 82°·cos 128°=cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)=-,故A正确;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin230°=,故B正确;
对于C,cos215°-sin215°=cos 30°=,故C正确;
对于D,=tan(48°+72°)=tan 120°=-,故D错误.故选ABC.
6.-　由题易知P,则sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=-
7　因为sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),所以sin2x-=cos(2x-θ),即cos2x-=cos(2x-θ),所以θ=
8.解 (1)因为α,,所以-<α-β<又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0,且sin(α-β)=-cos(α-β),又sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,解得cos(α-β)=,sin(α-β)=-
(2)由(1)可得,cos(α-β)=,
因为α为锐角,且sin α=,所以cos α=
所以cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=
9.A　因为tan β=,所以tan β=,
所以tan αtan β+tan β=tan α-1,
所以1+tan αtan β=tan α-tan β,
所以tan(α-β)==1.
10.D　因为sin α=,cos(α+β)=-,且α,,所以cos α=,sin(α+β)=
所以sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=
11.D　3sin x-4cos x=5sin x+cos x=5sin(x+φ),其中sin φ=-,cos φ=,所以φ所在的象限为第四象限.
12.AC　cos2α-cos 2α=cos2α-(cos2α-sin2α)=sin2α=,因为,所以sin α=,cos α=-=-,所以tan α==-,sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=1-2sin2α=,tan 2α==-
13.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,
∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;
∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,
∴tan A·tan B= ①
又tan A+tan B=, ②
∴联立①②,解得tan A=tan B=,
∴cos B=sin A,故选项C,D正确.
14.-　由sinα-=,得cos2α-=1-2sin2α-=1-2×2=,所以cos2α+=cos2α+π-=-cos2α-=-
15.解 (1)由已知得2sin α=-cos α,
∴tan α=-,
∴sin αcos α+cos 2α=
(2)∵tan(2α+β)=tan(α+α+β)==-1,又∵tan α=-,0<α<π,
<α<π,同理<α+β<π,
<2α+β<2π,∴2α+β=
16.(1)证明 连接PA,P1P2(图略),易知|PA|=|P1P2|,
∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2,即2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
(2)解 由(1)知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
∴cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],
故cos 37.5°cos 37.5°=[cos(37.5°+37.5°)+cos(37.5°-37.5°)]=(cos 75°+1)=(cos 45°·cos 30°-sin 45°sin 30°)+
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