3.1.1函数的概念同步练习（含解析）—2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念
一、单选题
1．下列四个说法：
①若定义域和对应关系确定，则值域也就确定了；
②若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；
③若，则一定成立；
④函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为
A． B． C． D．
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ）
A．0个 B．1个
C．0或1个 D．无数个
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C．，且 D．，且
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．函数，满足，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，4） B．（4，7） C．[1，4] D．[4，7]
10．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
14．设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域为
D．函数在上的值域为
三、填空题
16．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个.
17．已知，且，则 ．
18．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ．
四、解答题
19．函数．
(1)若的定义域为，求实数的值；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围．
20．已知函数
(1)求的值．
(2)求证：是定值．
(3)求的值．
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《3.1.1函数的概念》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D A A C D C
题号 11 12 13 14 15
答案 A B AD AD AC
1．B
【分析】由函数的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，当定义域和对应关系确定了，则函数随之确定，即值域就确定了，①正确；
对于②，函数中，可以多个对应同一个，即值域中只含有一个元素，但是定义域可以含有多个元素，②错误；
对于③，，，，③正确；
对于④，函数是定义在两个非空数集之间的对应关系，④错误.
故选：B.
2．C
【分析】根据函数的概念即可判断.
【详解】解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．
故选：C.
3．C
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可.
【详解】由，解得
故定义域为且.
故选：C．
4．A
【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解.
【详解】由函数的定义域为，所以，
所以的定义域为，所以，
则的定义域为，故A正确.
故选：A.
5．D
【详解】试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.
考点：函数的定义域.
6．A
【分析】根据函数的表达式，直接由，解方程即可求出的值．
【详解】解：∵．满足，∴，即．∴．
故选：A
7．A
【分析】逐项判断各项的值域，即可得解
【详解】对于A，因为，所以，所以，则该函数的值域为，故正确；
对于B，因为，所以，则该函数的值域为，故错误；
对于C，，
所以当时，，当时，，则该函数的值域为，故错误；
对于D，，所以该函数的值域不为，故D错误，
故选：A
8．C
【分析】当时，，利用对勾函数的单调性求得的值域，进而求在上的值域，最后结合进而得解.
【详解】由，定义域为，且，
当时，.
令，，
由对勾函数的单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
所以，即，
所以当时，，又，
所以当时，函数的值域为.
故选：C.
9．D
【分析】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数a的取值范围.
【详解】由，所以，
由得，所以
故选：D
【点睛】本题考查根据值域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题.
10．C
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得，
因此函数的定义域为；
由函数的值域为，得函数的值域为，即，
则，故函数的值域为.
故选：C
11．A
【分析】根据定义域的定义，即可由不等式求解.
【详解】由于的定义域为，故，则，
因此，解得，
所以的定义域为
故选：A
12．B
【分析】本题运用换元法先转化函数，再求函数的值域即可.
【详解】解：令，则()，
则()，原函数的值域为，
故选：B.
【点睛】本题考查换元法先转化函数，求函数的值域，是基础题.
13．AD
【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可.
【详解】对于A，易知的定义域为，的定义域为，
故与不是同一函数；
对于B，易知的定义域为，的定义域为，
而，所以与是同一函数；
对于C，易知的定义域为，的定义域为，
而，故与是同一函数；
对于D，因为的定义域为，的定义域为，
所以与不是同一函数.
故选：AD.
14．AD
【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确.
【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应，
则满足从集合A到集合B的函数关系，
其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误；
C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误.
故选：AD
15．AC
【分析】根据抽象函数定义域与函数括号内的范围一致即可判断A；对函数进行分离常数的变形即可判断B；根据具体函数的定义域可判断C；根据二次函数在闭区间上的值域可判断D.
【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数，
则有，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
对于B，，由于，
所以，故B错误；
对于C，要使函数有意义，则有且，
所以函数的定义域为，故C正确；
对于D，，，，
所以函数在上的值域为，故D错误.
故选：AC
16．9
【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案.
【详解】一个函数的解析式为，它的值域为，
则必取，至少取一个，至少取一个，
这样函数的定义域可为共9 个，
则这样的函数共有个.
故答案为：.
17．1
【分析】令，求出，代入解出．
【详解】∵，且，
∴令，
∴，解得，
∴，即，
∴．
故答案为：1.
18．
【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可.
【详解】由函数的值域为，得函数值域包含，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集即可求解.
（2）根据题意，对进行分类讨论，再利用一元二次不等式的解集为，可求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得：不等式的解集为，
所以，化简，解之得．
故实数的值为.
（2）由题意得：不等式在R上恒成立，
①当，即或时，
若，则，符合题意；
若，则，定义域不是，不满足条件．
②当，即，或时，
，解得，或.
综上所述，m的取值范围是．
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解；
（2）根据函数解析式列式运算可得证；
（3）由（2）的结论，组合运算即可得解.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）证明：为定值；
（3）由（2）可知，，，
所以
．
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