中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 圆
考点类型
考点一遍过
考点1：半径相等应用——等腰性质
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可得，从而可求，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆中的半径都相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握性质是解题的关键．
【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图，已知，，是的半径，连结，交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆中半径相等，得到角相等，再把α，β，γ转化到中，根据内角和定理解答即可．
【详解】解：，，是的半径，
，
，
，，
∴在中，，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的半径相等，三角形的内角和，熟练掌握将三个角转化到同一个三角形中是解题关键．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．10
【答案】D
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径，
∴．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）如图，点、、在上， ，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，是的半径，可求出，是等腰三角形， ，，可求出，的度数，且，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，是的半径，，
∴是等腰三角形，，则，
∵，
∴，且，
∵是的半径，
∴是等腰三角形，则，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆内解三角形的性质，理解和掌握圆内接三角形中角的关系，边的关系是解题的关键．
考点2：点与圆的位置关系——求范围
典例2：（2020秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，若点B在⊙A外，则a的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】由题意，点B在⊙A外，则d=a-2＞3，解得：a＞5，只有6符合条件．
故选D．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【答案】D
【分析】先利用勾股定理计算出OP=5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．
【详解】∵点P的坐标为（3，4），∴OP
∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞
故选D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考期末）已知平行四边形，以对角线交点O为圆心作圆，下列结论一定成立的是（ ）
A．若点A在上，则点B在上
B．若点B在上，则点C在内
C．若点C在上，则点A在内
D．若点D在上，则点B在上
【答案】D
【分析】根据四边形是平行四边形，可得 ，再根据圆的性质就行判断即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线交点为O，
∴ ．
A、若点A在上，则点C在上，但是点B不一定在圆上，因为与不一定相等，不符合题意；
B、若时，当点B在上，则点C在内，不符合题意；
C、若点C在上，则点A也在上，不符合题意；
D、若点D在上，则点B在上，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质以及圆的性质，解题的关键是要熟记相关的知识．
考点3：点与圆的位置关系——求最值
典例3：（2023秋·全国·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是；
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，
∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵，，
∴，，
根据勾股定理可得，
，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，过点作于点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】取中点，连接、．易得点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．据此计算即可．
【详解】解：如图，取中点，连接、．
，，
点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．
，，
，
，
，
即的最小值为
故选：A．
【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．
考点4：弧、弦、圆心角的关系
典例4：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等弧对等弦，三角形内角和逐项判断即可．
【详解】A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，选项正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】此题考查了圆和三角形，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
【变式1】（2023春·九年级课时练习）如图，是的直径， ，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴，
∴．
故答案为：D．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对圆心角相等是解题的关键．
【变式2】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在⊙O中，，
，故①正确；
为公共弧，
，故④正确；
，故②正确；
，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
考点5：圆的对称性——多解
典例5：（2023春·全国·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式1】（2021秋·全国·九年级专题练习）的半径为，弦，，，则、间的距离是：（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.
【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，
∵，
∴OE⊥AB，
在Rt△AOE中，OA=10，AE=AB=8，∴OE=6，
在Rt△COF中，OC=10，CF=CD=6，∴OF=8，
当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=8-6=2；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，
故选：C.
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.
【变式2】（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【答案】D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，
∵CD=10cm，，
∴，
∵圆的半径为13cm，
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：
，
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；
综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用定理、注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论是解题的关键．
【变式3】（2020秋·河北张家口·九年级统考期末）已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A．17 B．7 C．12 D．7或17
【答案】D
【分析】分两种情况进行分析：①当弦AB和CD在圆心同侧时；②当弦AB和CD在圆心异侧时；作出相应图形，进行求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm，
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
考点6：垂径定理
典例6：（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过点O作于E，于D，
分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
当两弦在圆心的两侧，如图，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
的度数为或．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键．
【变式1】（2023·安徽滁州·校考二模）如图，直线与相交于，两点，且与半径垂直，垂足为，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设令，，利用勾股定理求得，根据垂径定理求得，据此即可求解．
【详解】解：，
，
，
令，，
，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．
【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点的坐标为，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．
【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：
根据题意可得：，
∵，
∴，
在中， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
考点7：垂径定理——实际应用
典例7：（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，以O为圆心，连接，
由题意可得，D为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴主桥拱所在圆的半径；
由题意得，水面下降为，连接，
∵水面下降1米，
∴，
则，
∴，即水面的宽度为．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．
【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】由三角形有一个外接圆可得答案．
【详解】解：∵要恢复圆形镜子，则碎片中必须有一段完整的弧，才能确定这条弧所在的圆的圆心和半径，
∴只有③符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是根据残弧确定残弧所在圆的圆心与半径，理解题意是解本题的关键．
【变式2】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】A
【分析】作于点，确定盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，进而结合垂径定理以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图所示，作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，
∵，
∴根据垂径定理，，
∵，
∴中，，
∴，
∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，理解圆的基本性质，熟练运用垂径定理是解题关键．
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺（1尺寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
【答案】D
【分析】延长，交于点，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【详解】解：延长，交于点，连接，
由题意知过点，且，
为半径，
∴尺寸，
设半径，
∵，
∴
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
∴木材直径为26寸；
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
考点8：圆周角定理
典例8：（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图， 是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦，弦，则直径的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点C作于点H，由等弦所对的圆心角相等可得 ，，从而可得，再由圆周角定理可得，，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即，再利用勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：连接，过点C作于点H，
∵，,
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理证明是解题的关键．
【变式1】（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据垂径定理可得，进而得到，结合圆周角定理即可求得答案．
【详解】如图所示，连接．
∵半径，
∴．
∴．
又，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角和圆心角的性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点，为上的点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再求出即可．
【详解】解：，，
，
是直径，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式3】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，，则最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】由知点E在以为直径的半上，连接交于点，当点E位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴点E在以为直径的半上，
连接交于点，
∴当点E位于点位置时，线段取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点E在以
为直径的半上是解题的关键．
考点9：圆的内接四边形性质
典例9：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质推出，再根据平行四边形的性质推出，再证明四边形是菱形，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质、菱形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
【变式1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴，点B在y轴的负半轴，经过A、B、O、C四点，若，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的内接四边形对角互补可得，即可进一步求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
故点A的坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补、含的直角三角形等知识点．得出是解题关键．
【变式2】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的直径，点C、D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直径所对的的圆周角是直角得到，进而求得，再圆内接四边形的两个对角互补求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、直角三角形的两锐角互余、圆内接四边形，熟知直径所对的的圆周角是直角，以及圆内接四边形的两个对角互补是解答的关键．
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点10：圆周角定理的应用
典例10：（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，内接于，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，
，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式1】（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．点C、O、E共线时，CE的长最大
【答案】B
【分析】设的弧度为，可得的弧度为：，于是的弧度为：，求得的弧度为，由中点，得的弧度为，从而的弧度为，根据勾股定理，求得．
【详解】解：设的弧度为，
∴的弧度为：，
∵，
∴的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
∴的弧度为：，
∵点E为弧中点，
∴的弧度为：，
∴的弧度为：，
即所对圆心角为90°，
∵，
∴⊙O半径为2，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，圆心角的计算，勾股定理；由圆周角定理及其推论求得等圆中等弧的度数是解题的关键．
【变式2】（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，的顶点C在量角器外圈的164°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和40°，则的度数是（ ）
A．16° B．20° C．25° D．40°
【答案】C
【分析】连接、，根据角之间的数量关系，得出，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，
点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、量角器，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
【变式3】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据旋转求出，根据圆周角定理求出，即可．
【详解】解：如图，连接，
∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，
∴第12秒时，，
∵，
∴点C在以为直径的圆上，即点C在上，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，旋转的性质，解题的关键是根据，得出点C在以为直径的圆上，熟记圆周角定理．
考点11：直线与圆的位置关系
典例11：（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】B
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴的距离为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作，
∵矩形中，对角线与相交于点，，．
∴，，，，
∴
∴，
则；
当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，
则
则
∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．
【详解】解：设切点为，连接，则
圆的半径，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
【答案】C
【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．
【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，
P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，
∴移动时间（秒）；
（2）当 的圆心P在y轴右侧时，
P到y轴距离时，与y轴相切，
∴移动时间（秒）．
故选C．
【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．
考点12：三角形内切圆与内心
典例12：（2023秋·九年级课时练习）如图所示，内切于，切点分别为点，点，点，已知，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，连接、，利用切线的性质得到，则根据四边形内角和计算出，然后利用圆周角定理得到的度数．
【详解】解：∵，
∴， 而，
∴，
连接、，
∵O内切于，切点分别为点D，点E，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质和圆周角定理．
【变式1】（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M，求出，根据面积法求出，进而得出，在求出，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M，
设，，
∴，
∵的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M，
∴，
根据三角形的面积可得：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴内心与外心的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．
【变式3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
考点13：切线长定理的应用
典例13：（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，、切于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【分析】根据切线长定理可得，，，据此即可作答．
【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连结、，，根据切线的定理得，，再根据直角三角形的性质可知，最后利用勾股定理即可解答．
【详解】解：连结、、，则，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∵，分别切于，点，
∴，，
∴，平分，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的内切圆，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【答案】C
【分析】设，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理，得，，，根据的周长可求解．
【详解】解：设，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，，
根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了切线长定理，掌握圆中的有关定理是解题关键．
【变式3】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到是等边三角形，得到,利用特殊的锐角三角函数值解出答案．
【详解】解：连接，
是的切线,，
，，
是等边三角形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的锐角三角函数的应用，其中有关圆切线的性质是解题的关键．
考点14：切线的判定与性质
典例14：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考开学考试）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质可得，，根据等边对等角可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可根据切线的判定定理证明结论；
（2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴DC是的切线；
（2）解：设的半径为r，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
【变式1】（2023·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直的定义得到，由三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】（1）解：于点E，
；
（2）解：是的切线，
∴半径，
，
，
，
，
．
，
，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理即可求出的长．
【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接．证明即可；
（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题．
【详解】（1）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）设，则，
在中，
∴，解得，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
【变式3】（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由圆周角定理，得到，然后由平行线的判定和性质，即可得到结论成立；
（2）由题意，先求出的半径，然后由弧长公式进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，又为的半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，
则，
由（1）可知：，
为直角三角形，
又，
，
，
，
，
在中，，，
，
为等边三角形，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
【变式4】（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，是直角三角形，，作的平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆．
(1)利用直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)与的位置关系是________（直接写出答案）；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)相切
(3)
【分析】（1）按照题意，画出图形，即可解答；
（2）根据角平分线的性质，即可解答；
（3）根据勾股定理，列方程，求解，即可解答．
【详解】（1）
（2）解：如图，过点O作的垂线段，交线段于点D，
是的角平分线，且，，
，即点在上，
与相切．
（3）解：，，
，
与 相切，
，
，
设圆的半径为x，则，
，
在中，，
可得方程，
解得，
的半径为．
【点睛】本题考查了复杂作图，切线的判定，勾股定理的运用，角平分线的性质，运用方程思想解题是解题的关键．
【变式5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，的角平分线交于点D，点E为上一点，以D为圆心，的长为半径作，求证：是的切线；
【答案】证明见解析
【分析】过点D作于F，由切线的性质可得，再根据角平分线的性质
【详解】证明：过点D作于F，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴与相切．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式6】（2023春·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）如图，是的直径，是上一点，相交于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)设交于点，若，，求线段的长
【答案】(1)证明见详解
(2)4
【分析】（1）连接，如图，根据垂径定理由得到，则为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切；
（2）设的半径为，则，，由勾股定理得出，解得，求出的长，则可求出的长
【详解】（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
即垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为，则，，
在中，，
，
，解得，
，，
，
，
由（1）可知，
∴，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【变式7】（2023春·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2.5
【分析】（1）连接并延长交于点，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，易知垂直平分，再证，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过点作，垂足为，连接、，根据（1）易知四边形是矩形，则，，在中，由勾股定理得：，即，求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
四边形是矩形，
，，，
为的中点，
．
，
，
，
垂直平分，
即，
，
，
即．
点在上，是的半径，
与相切；
（2）解：过点作，垂足为，连接、，
四边形是矩形，
．
切于点，
．
，
四边形是矩形，
，，
是的中点，
．
在中，由勾股定理得：
，
即．
解得，
故的半径为2.
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂直平分线判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，已知为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ，于点D，并与⊙O交于点E．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求⊙O的半径；
(3)如图2，F为中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
(3)
【分析】（1）连接，利用角平分线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解得即可．
（2）连接 ，过点 作 与点 ，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可；
（3）连接 ， ， ，过 作 与点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图
平方
与点D
为的⊙O半径
是⊙O切线
（2）解：连接 ，过点O作于点F，如图，
则
由（1）知，是⊙O的切线
，
由（1）知，
四边形是矩形
（3）解：连接，，，过 作 与点H，如图，
由（2）知：⊙O的半径为13，
为的⊙O直径
为 中点
为等腰直角三角形
【点睛】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，圆的切线定理以及平行线的判定，熟练掌握这些定理和性质并且画对辅助线是解题的关键．
【变式9】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，继而根据已知条件和等边对等角的性质及等角代换可得：∠BAD＝∠E＝∠C，进而可得，再根据切线的判定即可求证结论；
（2）作，垂足为，易证△ABC∽△DBA，继而根据相似三角形的性质可得：，进而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根据相似三角形的判定及其性质可得，，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴∠BAD＝∠E＝∠C，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图，作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴△ABC∽△DBA
∴，则，
又，，
∴，
在中，，
由勾股定理求得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形．
考点15：正多边形与圆
典例15：（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1】（2023春·河南信阳·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【变式2】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
考点16：弧长的计算
典例16：（2023秋·九年级课时练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【分析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
【变式1】（2023秋·九年级单元测试）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【答案】B
【分析】根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长．
【详解】如图，设的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP, AB′, AP′,
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得
AC＝AB＝4，PO⊥AB，
OC＝＝3，
∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
∴AP＝＝2，
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
∴LPP′＝＝π．
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的弧长计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．
【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
考点17：扇形面积的计算
典例17：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式1】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
【变式2】（2023·河北·模拟预测）如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性质和旋转的性质求得A′B=2，OB=1，从而求得旋转角度；再由阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积计算求值即可；
【详解】解：Rt△ABC是等腰直角三角形，OC⊥AB，则AB=2OC=2，OA=OB=OC=1，AC=BC=，
∵旋转性质可得：AB=A′B，BC=BC′，∠ABA′=∠CBC′，
Rt△A′OB中，A′B=2，OB=1，则∠ABA′=60°，
∴扇形ABA′面积=，△A′BC面积=△ABC面积=，
扇形CBC′面积=，
∵阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积，
∴阴影面积=，
故选： D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算等知识；掌握相关性质和扇形面积计算公式是解题关键．
【变式3】（2023·湖南长沙·模拟预测）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【详解】在中，，
∴ ，
，
，
连接，则，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在中，，
，，
根据勾股定理得，，
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
考点18：圆锥面积的计算
典例18：（2023春·全国·九年级专题练习）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：在中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是cm
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
【变式1】（2023秋·九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
【变式2】（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S=πrl，直接代入数据求出即可．
【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，
根据勾股定理得到母线长l==13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
斜边为：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 圆
考点类型
考点一遍过
考点1：半径相等应用——等腰性质
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图，已知，，是的半径，连结，交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．10
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）如图，点、、在上， ，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点2：点与圆的位置关系——求范围
典例2：（2020秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，若点B在⊙A外，则a的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．5 D．6
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考期末）已知平行四边形，以对角线交点O为圆心作圆，下列结论一定成立的是（ ）
A．若点A在上，则点B在上
B．若点B在上，则点C在内
C．若点C在上，则点A在内
D．若点D在上，则点B在上
考点3：点与圆的位置关系——求最值
典例3：（2023秋·全国·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，过点作于点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点4：弧、弦、圆心角的关系
典例4：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春·九年级课时练习）如图，是的直径， ，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
考点5：圆的对称性——多解
典例5：（2023春·全国·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式1】（2021秋·全国·九年级专题练习）的半径为，弦，，，则、间的距离是：（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【变式2】（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【变式3】（2020秋·河北张家口·九年级统考期末）已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A．17 B．7 C．12 D．7或17
考点6：垂径定理
典例6：（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1】（2023·安徽滁州·校考二模）如图，直线与相交于，两点，且与半径垂直，垂足为，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
考点7：垂径定理——实际应用
典例7：（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式2】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺（1尺寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
考点8：圆周角定理
典例8：（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图， 是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦，弦，则直径的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点，为上的点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，，则最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点E在以
考点9：圆的内接四边形性质
典例9：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴，点B在y轴的负半轴，经过A、B、O、C四点，若，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的直径，点C、D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点10：圆周角定理的应用
典例10：（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，内接于，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．点C、O、E共线时，CE的长最大
【变式2】（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，的顶点C在量角器外圈的164°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和40°，则的度数是（ ）
A．16° B．20° C．25° D．40°
【变式3】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（ ）
A． B． C． D．
考点11：直线与圆的位置关系
典例11：（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
考点12：三角形内切圆与内心
典例12：（2023秋·九年级课时练习）如图所示，内切于，切点分别为点，点，点，已知，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
考点13：切线长定理的应用
典例13：（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，、切于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【变式1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的内切圆，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【变式3】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
考点14：切线的判定与性质
典例14：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考开学考试）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
【变式1】（2023·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，求的长．
【变式3】（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
【变式4】（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，是直角三角形，，作的平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆．
(1)利用直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)与的位置关系是________（直接写出答案）；
(3)若，，求的半径．
【变式5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，的角平分线交于点D，点E为上一点，以D为圆心，的长为半径作，求证：是的切线；
【变式6】（2023春·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）如图，是的直径，是上一点，相交于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)设交于点，若，，求线段的长
【变式7】（2023春·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【变式8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，已知为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ，于点D，并与⊙O交于点E．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求⊙O的半径；
(3)如图2，F为中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长．
【变式9】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求直径的长．
考点15：正多边形与圆
典例15：（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1】（2023春·河南信阳·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点16：弧长的计算
典例16：（2023秋·九年级课时练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【变式1】（2023秋·九年级单元测试）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
考点17：扇形面积的计算
典例17：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河北·模拟预测）如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·湖南长沙·模拟预测）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
考点18：圆锥面积的计算
典例18：（2023春·全国·九年级专题练习）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【变式1】（2023秋·九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【变式2】（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
