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专题05 概率初步
考点类型
考点一遍过
考点1：事件的判断
典例1：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ）
A．爸爸的年龄比爷爷大 B．度量三角形的内角和，结果是
C．通常加热到时，水会沸腾 D．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】D
【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断．
【详解】解：A、是不可能事件，本选项不符合题意；
B、是必然事件，本选项不符合题意；
C、是必然事件，本选项不符合题意；
D、是随机事件，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1】（2022春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．不付出努力碰巧成为中考状元 B．买一次彩票中大奖500万元
C．在装满白球的袋子中取出白球 D．做完这份模拟卷并拿到满分
【答案】C
【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不付出努力碰巧成为中考状元是不可能事件，不符合题意；
B、买一次彩票中大奖500万元是随机事件，不符合题意；
C、在装满白球的袋子中取出白球是必然事件，符合题意；
D、做完这份模拟卷并拿到满分是随机事件，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式2】（2023·福建厦门·校联考二模）下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【分析】根据事件的分类进行解答即可．
【详解】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了事件的分类，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【变式3】（2023·福建漳州·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．“瓮中捉蟞”是必然事件 B．“水中捞月”是必然事件
C．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 D．为了解一批牛奶的质量，选择普查
【答案】A
【分析】直接利用必然事件的定义以及全面调查与抽样调查的意义判断各项即可．
【详解】解：A．“瓮中捉蟞”是必然事件，故A选项符合题意；
B．“水中捞月”是不可能事件，故B选项不符合题意；
C．为了审核书稿中的错别字，应选择普查，故C选项不符合题意；
D．为了解一批牛奶的质量，应选择抽样调查，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，全面调查与抽样调查的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
考点2：可能性大小
典例2：（2022秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考阶段练习）下列事件为必然事件的是（ ）
A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
B．明天会下雪
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．购买一张彩票中奖一百万元
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，选项符合题意；
B．明天会下雪，是随机事件，选项不符合题意；
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻，是随机事件，选项不符合题意；
D．购买一张彩票中奖一百万元，是随机事件，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．调查“神舟十二号载人飞船”各零部件的质量适宜采用抽样调查方式
B．某校举办了知识竞赛，若甲、乙两班的成绩平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定
C．某游戏的中奖率为1%，则买100张奖券，一定有1张中奖
D．瑶瑶同学的数、物、化得分分别为85，90，100，若依次按照4：3：3的比例确定理科成绩，则瑶瑶的成绩是91
【答案】D
【分析】根据普查定义可判断A，根据方差的值越小越稳定稳进行决策可判断B，根据机会的大小可判断C，根据加权平均数运算可判断D．
【详解】A. 调查“神舟十二号载人飞船”各零部件的质量适宜采用普查方式，故选项A不正确；
B. 某校举办了知识竞赛，若甲、乙两班的成绩平均数相同，方差分别为40，80，
因为40＜80，则甲班成绩更稳定，故选项B不正确；
C. 某游戏的中奖率为1%，则买100张奖券，可能有1张中奖，故选项C不正确；
D. 瑶瑶同学的数、物、化得分分别为85，90，100，若依次按照4：3：3的比例确定理科成绩，则瑶瑶的成绩是91正确．
故选择D．
【点睛】本题考查普查，方差，机会，加权平均数，掌握普查与抽样调查的区别与联系，运用方差决策的方法，机会（即概率）的运用，加权平均数计算方法是解题关键．
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）袋中有白球3个，红球若干个，他们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．4个或4个以上
【答案】A
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【详解】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中红球的个数可能是2个或2个以下．
故选：A．
【点睛】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
【变式3】（2022·福建泉州·九年级统考学业考试）一个不透明的袋中装有白球4个，红球若干个，它们除颜色外没有任何区别，现把袋中的球充分搅匀后随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中红球的个数可能是（ ）
A．不多于3个 B．3个 C．4个 D．5个或5个以上
【答案】A
【分析】根据取到白球的可能性较大，可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解．
【详解】∵袋子中装有４个白球，取到白球的可能性较大，
∴袋中白球的数量大于红球的数量，
∴袋中红球的个数不多于3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键．
考点3：概率的意义
典例3：（2022春·福建三明·七年级统考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
【答案】A
【分析】根据必然事件是指在任何条件下都会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1以及概率的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为，原说法正确，符合题意；
B、随机事件发生的概率在0到1之间，原说法错误，不符合题意；
C、概率很小的事件可能发生，原说法错误，不符合题意；
D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件的概念，概率的意义．必然事件是指在一定条件下，肯定会发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1】（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
【答案】D
【分析】根据调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故错误，不合题意；
B、为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故错误，不合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，不代表抽奖20次必有1次中奖，故错误，不合题意；
D、了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．了解我州中学生的睡眠情况实行全面调查
B．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
C．明天下雨的概率为80%，意味着明天有80%的时间下雨
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更加稳定
【答案】D
【分析】运用抽样调查和全面调查、随机事件、概率、方差的统计意义求解即可．
【详解】解：A.学生数量众多，应采用抽样调查，故选项错误；
B.随机打开电视，播放《动物世界》是随机事件，故选项错误；
C.“下雨”和“下雨的时长”不是同一事件，故选项错误；
D.两组数据，方差小的更稳定，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查抽样调查的运用、随机事件定义、概率的定义、方差的统计意义；理解相关概念是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨
C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小
【答案】C
【分析】根据概率表示事件发生的可能性大小，进行作答即可．
【详解】解：天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，说明仙游明天下雨的可能性较大；
故选C．
【点睛】本题考查概率的意义．熟练掌握概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键．
考点4：概率公式
典例4：（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，据此作答即可．
【详解】硬币有2面，正面向上的可能性是，
因为每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，
即每次投掷硬币，正面朝上的可能性都是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，掌握每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，是解答本题的关键．
【变式1】（2022·福建南平·统考模拟预测）从背面朝上的分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征，结合中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行作答即可．
【详解】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；所以四张卡片中，两张卡片是符合题意的，
所以其概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征、中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，正确掌握相关的内容性质是解题的关键．
【变式2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图是由16块方砖铺设而成的地面(缝隙忽略不计)，每块方砖大小、质地完全相同．现有一个小球在地面上自由滚动，那么它停留在黑色区域的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接求出总面积和黑色区域的面积，再利用几何概率公式求出答案．几何概率用部分线段的长度(部分区域的面积)和整条线段的长度(整个区域的面积)的比来表示．
【详解】解：设每块地板的面积为1，
则总面积为16，黑色区域的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的求法，掌握几何概率的计算公式是解题的关键．
【变式3】（2023·福建福州·福州黎明中学校考模拟预测）九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
【详解】抽一张奖券中一等奖的概率，
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
考点5：概率——方程思想
典例5：（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．不能确定
【答案】A
【分析】设黑球的个数为x，再根据概率相等列出方程，求出解即可．
【详解】设黑球的个数为x，根据题意，得
解得．
所以黑球的个数为12个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的计算，理解概率的公式是解题的关键．
【变式1】（2022·福建南平·统考二模）在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则n为（ ）
A．4 B．5 C．20 D．25
【答案】C
【分析】根据从中随机摸出一个球，恰为红球的概率求出恰为一个白球的概率为，然后根据白球的个数求出总个数，即可求出n的值．
【详解】解：∵从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，
∴从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，
∵袋中装有5个白色小球，
球的总个数为：（个），
（个），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据概率求个数，解题的关键是根据白球的个数求出球的总个数．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）口袋中有若干个形状大小完全相同的白球，为估计袋中白球的个数，现往口袋中放入10个形状大小与白球相同的红球．混匀后从口袋中随机摸出40个球，发现其中有3个红球．设袋中有白球x个，则可用于估计袋中白球个数的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】混匀后从口袋中随机摸出40个球，发现其中有3个红球，即红球所占的比例是，则放入的10个球所占的总球数的，列方程即可求解．
【详解】解：混匀后从口袋中随机摸出40个球，发现其中有3个红球，即红球所占的比例是，则方程是．
故选D．
【点睛】本题考查列方程解应用题以及利用样本估计总体，解题关键是正确理解题目中的相等关系.
【变式3】（2022·福建福州·统考一模）为了估计池塘里有多少条鱼,先从湖里捕捞100条鱼记上标记,然后放回池塘去,经过一段时间，待有标记的鱼完全混合后,第二次再捕捞200条鱼,发现有5条鱼有标记,那么你估计池塘里大约有（ ）鱼．
A．1000条 B．4000条 C．3000条 D．2000条
【答案】B
【详解】设池塘里大约有x鱼．则，解得 ，故选B.
考点6：概率——列举法
典例6：（2022·福建·九年级专题练习）从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果．
【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）九（1）班的教室里正在召开50人的座谈会，其中有3名教师，12名家长，35名学生，当林校长走到教室门口时，听到里面有人在发言，那么发言人是家长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率=频数除以总数即可解题.
【详解】解：由题可知：发言人是家长的概率==,
故选B.
【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概率的计算方法是解题关键.
【变式2】（2022秋·福建漳州·九年级统考期中）一个盒子里装有3粒黑棋，2粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵共5粒棋子，有3粒为黑色，
∴从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是.
故选B.
【变式3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、黄球2个和白球1个，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是黄球的有2种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是黄球的有2种结果，
∴从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率问题，解决本题的关键是牢记概率公式，本题较基础，侧重学生对概率的理解与对概率公式的运用．
考点7：概率——几何概型
典例7：（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设每个小等边三角的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
【变式1】（2023·福建·九年级专题练习）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示：
正六边形的内角为，
在中，，则，
，
在中，，则，
则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为两部分面积之和为，
飞镖落在白色区域的概率，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据几何概率：相应事件所占面积与总面积之比，用小正方形面积除以大正方形面积即可.
【详解】解：AB==10，
∴小正方形的面积为：102-4××6×8=4，
∴针扎在小正方形GHEF部分的概率为：=.
故选：D.
【点睛】本题考查几何概率的计算，熟练掌握几何概率的意义及公式是解题的关键.
考点8：列表法、树状图法求概率
典例8：（2023·福建漳州·统考一模）为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），
投中2次的人数为：（人），
扇形统计图中，
故答案为：40，55；
（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理．
【变式1】（2022秋·福建莆田·九年级统考期中）四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．
(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；
(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为，不放回再抽取第二张，将数字记为，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点在函数图象上的概率．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）准确画出树状图，列出所有可能情况和满足要求的情况，利用概率公式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，
∴随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率为；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，满足要求的有2种情况：
当时，；
当时，，
∴（点在函数的图象上）．
【点睛】此题主要考查了用树状图或列表法求概率，准确画出树状图或列表是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动，顾客每购书海100元可获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：
两球所标数字之和 3 4 5 6 7
奖励的购书券金额（元） 0 0 30 60 90
(1)通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；
(2)书城规定，如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
【答案】(1)
(2)选择“参加摸球”对顾客更合算
【分析】（1）首先通过列表或画树状图的方法求出两球所标数字之和为7的数目，进而可求出摸奖一次获得90元购书券的概率；
（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率，进而可求出在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，对顾客更合算．
【详解】（1）列表如下：
第1球 第2球 1 2 3 4
1
2
3
4
由上表可知，共有12种等可能的结果．其中“两球数字之和等于7”有2种，
（获得90元购书券）；
（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下：
数字之和 3 4 5 6 7
获奖金额（元 0 0 30 60 90
相应的概率
摸球一次平均获得购书券金额为，
，
在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）“田忌赛马”是一个被人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上等马、中等马、下等马各一匹，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局及以上者为胜（田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强）．
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
【答案】（1）详见解析；（2）田忌获胜的概率．
【分析】（1）保证胜2局即可；田忌的马按中、上、下的顺序出阵即可得．
（2）用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：（1）∵田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，齐王的马按上、中、下顺序出阵时，
∴田忌的马按下、上、中的顺序出阵才能获胜．
（2）田忌的马随机出赛的情况可画树状图如下：
∴当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：
齐王 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
胜方 齐王 齐王 齐王 齐王 田忌 齐王
由上可知，双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，故田忌获胜的概率．
【点睛】本题考查了利用列表或树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算这个事件的概率为．
考点9：以频率估计概率
典例9：（2022秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601
摸到白球的频率 a
(1)上表中的______；
(2)从袋中随机摸出一个球，“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到）；
(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的小球？
【答案】(1)
(2)
(3)8个
【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴“摸到白球”的概率的估计值是；
故答案为：
（3）解：个，
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球．
【点睛】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系．
【变式1】（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n 40 50 60 70 80 90 100 200
摸到白球的频数 22 26 30 36 40 46 50 100
摸到白球的频率
(1)请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近______（结果精确到）；
(2)估算盒子里有白球______个；
(3)若要使摸到白球的概率为，求需往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)
(2)20
(3)需往盒子里再放入10个白球
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的概率．
（2）根据概率与频率的关系即可求解；
（3）设需往盒子里再放入x个白球，根据摸到白球的概率为列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据表中的数据可知，当摸球次数n很大时，摸到白球的频率为，
∴当n很大时，摸到白球的概率将会接近．
故答案为：．
（2）解：∵当摸球次数n很大时，摸到白球的频率为，黑、白两种球共40个，
∴估算盒子里有白球约为：（个）．
故答案为：
（3）解：设需往盒子里再放入x个白球，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
答：需往盒子里再放入10个白球．
【点睛】本题比较容易，主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
【变式2】（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）新冠肺炎期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧，小明对妈妈在3月份20次“线上购物”消费总金额（单位：百元）进行统计整理得到如图统计表：
消费总金额（单位：百元）
次数 2 4 5 m 4 1
(1)填空：________；
(2)若“线上购物”消费总金额不低于400元能抽奖，求小明妈妈抽奖的概率；
(3)现有两个电商在做活动，甲电商推出“购物满400元返50元，满500元返80元”的活动，乙电商推出“满300打9折，满400元打8折，满500元打7折”的活动，小明根据妈妈这20次的消费总额进行计算帮助妈妈选择哪家电商购物省钱，你认为小明会给妈妈什么建议？
【答案】(1)4
(2)
(3)在乙电商购买最省钱，建议：在乙电商购买时，可以减少购买次数，集中购买来增加消费总额
【分析】（1）利用总次数减去其他组的消费次数即可求解；
（2）由表格可得消费总额不低于400元的次数为5，再利用消费总额不低于400元的次数除以总次数即可求解；
（3）分别根据甲、乙两个电商的优惠活动计算优惠的钱数，再进行比较即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，
故答案为：4；
（2）解：由表格可得，消费总额不低于400元的次数为（次），
∴小明妈妈抽奖的概率为；
（3）解：甲优惠的钱数为（元），
乙至少优惠的钱数为（元），
∴在乙电商购买最省钱，
∴建议：在乙电商购买时，可以减少购买次数，集中购买来增加消费总额．
【点睛】本题考查频数、用频率估计概率，理解题意，从表格中获取信息是解题的关键．
【变式3】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈，如图是某国截至2022年5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
(1)截至5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为______万人，扇形统计图中40~59岁感染人数对应圆心角的度数为______．
(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图．
(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为40岁以下的概率；
(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【答案】(1)20；72°
(2)见解析
(3)
(4)10%
【分析】（1）由60-79岁感染人数及占比得出总人数，再由40-59岁感染人数算出占比，从而得出圆心角；
（2）先求出20-39岁人数，再补全图像；
（3）利用频率估算概率即可得出答案；
（4）利用加权平均数的定义就出结果即可．
【详解】（1）解：60-79岁感染人数为9万人，占45%，；
40-59岁感染人数对应圆心角的度数为；
故答案为：20，．
（2）解：20-39岁感染人数为万人．
将图像补全如下：
（3）解：．
答：患者年龄在40岁以下的概率约为．
（4），
答：该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为10%．
【点睛】本题考查了数据的收集与整理，加权平均数以及利用频率估算概率，其中准确理解图表间的数量关系是解题的关键．
考点10：概率的应用——摸球问题
典例10：（2023秋·九年级单元测试）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 ；
(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．
【答案】(1)
(2)游戏公平，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式直接求得摸出红球的概率即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：摸出红球的概率是，
（2）解：画树状图如图所示：
由图可知共有9种等可能的结果，
P（两白），P（一红一白）．
∵概率相同，
∴游戏公平．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
【变式1】（2023·广西百色·模拟预测）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为______；
(2)若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）
【答案】(1)
(2)这两个班抽到不同卡片的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2022·陕西·九年级专题练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4
（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率
（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：
① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率
② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率
【答案】（1）；（2）；．
【详解】试题分析：（1）摸出小球标号是3的概率=1÷4；（2）根据题意画出表格，然后根据概率的计算法则进行计算．
试题解析：（1）P（小球标号是3）=1÷4=
（2）根据题意画出表格可得：
二 一 1 2 3 4
1 1,1 2,1 3,1 4,1
2 1,2 2,2 3,2 4,2
3 1,3 2,3 3,3 4,3
4 1,4 2,4 3,4 4,4
①P（一个标号是1，另一个标号是2）=2÷16=
②P（第一次标号是1，第二次标号是2）=1÷16=
考点：概率的计算．
【变式3】（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式．某超市除接收顾客的现金支付外，还支持“微信”“支付宝”“银行卡”“云闪付”四种支付方式，小马、小王和小张在该超市购完物后，都从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”四种支付方式中随机选一种方式进行支付，每种方式被选择的可能性相同．
(1)求小马选择支付宝支付的概率；
(2)若小王选择了微信支付，求小张和小王选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）若小王选择了微信支付，则小张选择支付方式有4种等可能结果，其中小张也选择微信支付的只有1种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小马选择支付宝支付的概率为；
（2）解：把“微信”“支付宝”“云闪付”“银行卡”四种支付方式分别记为A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择的是同一种支付方式的有4种，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查用概率公式注概率和用列表法或画树状图法注概率，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
考点11：概率的应用——代数问题
典例11：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；
（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
故和均为无理数，
故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．
故答案为：．
（2）解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有种，分别为：
组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数
第一种组合 ，，乘法 否
第二种组合 ，，加法 是
第三种组合 ，，乘法 是
第四种组合 ，，加法 是
第五种组合 ，，乘法 否
第六种组合 ，，加法 是
第七种组合 ，，乘法 是
第八种组合 ，，加法 是
第九种组合 ，，乘法 是
第十种组合 ，，加法 是
第十一种组合 ，，乘法； 是
第十二种组合 ，，加法 是
对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，
故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．
【变式1】（2022·江苏常州·统考一模）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
⑴ 李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于 ；
⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依据题意利用概率公式计算即可；
（2）用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，由四张卡片中只有C、D两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解可得．
【详解】解：（1）由题意可得，
随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率=；
（2）列树状图如下：
∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有C和D两张卡片，共2种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为.
【点睛】本题考查了概率的求法和树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6，明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．
(1)明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是______．
(2)这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）由题意知，共有6种等可能的结果，其中点数为3的倍数共有3、6两种等可能的结果，进而可求向上一面的点数为3的倍数的概率；
（2）由题意，列表格，然后计算求解概率，比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中点数为3的倍数共有3、6两种等可能的结果，
∴向上一面的点数为3的倍数的概率是，
故答案为：；
（2）解：不公平，理由如下：
由题意，列表格如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
由表可知，共有36种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数共有12种等可能的结果，不是3的倍数共有24种等可能的结果，
∴明明获胜的概率为，磊磊获胜的概率为，
∵，
∴磊磊获胜的可能性大．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．解题的关键在于根据题意正确的列表格．
【变式3】（2023春·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小质地等完全相同．
(1)从盒子里随机取出一个小球，记下数字为：放回盒子摇匀后，再随机取出一个小球，记下数字为.用树状图或列表法，求两次取出小球所确定的点落在二次函数的图像上的概率；
(2)从盒子中一次取两球，求取出小球所确定的数，满足直线经过一、二、三象限的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）画树状图展示所有种等可能的结果；符合条件的有，，共3种，由概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有种等可能的结果；符合条件的有，共2种，由概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图如下：
取出小球所确定的点共有种可能，
点落在二次函数的图像上的有，，共3种，
所以两次取出小球所确定的点落在二次函数的图像上的概率为：
，
答：两次取出小球所确定的点落在二次函数的图像上的概率为；
（2）画树状图如下：
从盒子中一次取两球，取出小球所确定的数，共有种可能，
直线经过一、二、三象限，，，
所以取出小球所确定的数，满足直线经过一、二、三象限的有，共2种，
所以取出小球所确定的数，满足直线经过一、二、三象限的概率为：
，
答：从盒子中一次取两球，取出小球所确定的数，满足直线经过一、二、三象限的概率为；
【点睛】本题考查了有放回、无放回随机抽样的概率问题；依据题意分清有放回、无放回，正确画出树状图是解题的关键．
考点12：概率的应用——几何问题
典例12：（2023·江苏盐城·校考一模）为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
(1)如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______；
(2)如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可；
（2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可．
【详解】（1）解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第2排第2列的那个位置时，符合题意，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为；
（2）解：如图：
已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，甲坐第一排，乙坐第二排，列表如下：
， ，
， ，
， ，
共有6种等可能的结果，其中甲，乙两人刚好坐在同一列上共有2种等可能的结果，
∴．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
【变式1】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．
（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是______（直接填空）；
（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字3和4分别为三条线段的长度，关于这三条线段：
①能构成三角形的概率是______（直接填空）；
②能构成等腰三角形的概率是______（直接填空）．
【答案】（1），（2）①，②．
【分析】(1)转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得；
(2)①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，由概率公式可得．
【详解】解：(1)转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4、5、6、7，共4种，
∴转出的数字大于3的概率是=；
(2)①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，并与数字3和4能够成三角形的结果有(2、3、4)，(3、3、4)，(4、3、4)，(5、3、4)，(6、3、4)，共5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有(3、3、4)，(4、3、4)，共2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是=．
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查了概率公式的运用及三角形三边间的关系、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形三边间的关系和等腰三角形的判定是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
【答案】(1)
(2)游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平．
【详解】（1）解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式3】（2023·陕西宝鸡·统考二模）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子．棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
(1)若小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是________________；
(2)若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有5个空格，在标号为1，2，5，内让人棋子，可以出现“三连珠”；
∴小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是
故答案为：．
（2）解：画树状图如图：
由图可知，共有20个等可能的结果，放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有，共2个结果，
∴放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
考点13：概率的应用——公平性问题
典例13：（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，有背面完全相同正面分别是黑桃、黑桃、黑桃和梅花的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏，游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀，张莉从中抽取一张，记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，若两人记下的数字同为奇数则张莉胜，两人记下的数字同为偶数则李涵胜，其他情况视为平局．
(1)张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；
(2)请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？
【答案】(1)
(2)公平，解析如下．
【分析】（1）根据概率的公式，四张扑克牌：黑桃、黑桃、黑桃和梅花中小于的扑克牌有张，即可；
（2）根据题意，列出树状图，求出所有的可能性，即可．
【详解】（1）解：∵扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃和梅花四张，其中小于的扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃
∴随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率为：．
（2）解：树状图如下：
∴张莉两次抽到奇数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
李涵两次抽到偶数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
两个人打成平手的结果有种；
∴张莉和李涵获胜的概率相同，游戏公平．
【点睛】本题考查列举法的知识，解题的关键是掌握概率的公式，学会画树状图或列表法．
【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图①，以陕西秦岭四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型设计的2022年第十四届全运会吉祥物，深受大众喜爱．一天，爸爸买回来四个吉祥物的挂件，让兄弟俩每人挑选两个，哥哥和弟弟都想先挑选，于是爸爸设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：将一个可自由转动的转盘分成了四个大小相同的扇形，分别标有数字1，2，3，4；另有一个不透明的袋子，装有分别标有数字7，8，9的三个完全相同的小球（如图②所示）．哥哥转动转盘，弟弟从袋中摸球，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出小球的数字之和为偶数时，哥哥先挑选；否则弟弟先挑选（指针指向分界线时重转）．
(1)弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为 ；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
由表知，共有12种等可能结果，其中摸出小球的数字之和为偶数的有6种结果，摸出小球的数字之和为奇数的有6种结果，
∴哥哥先挑选的概率弟弟先挑选的概率，
这个游戏对双方公平．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A、B、C的三个小球，另一个装入分别标有字母B、C、D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则就是乙去．
(1)用列表或画树状图的方法求出乙去的概率；
(2)甲说：“这个规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)同意甲的说法，见解析
【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的情况，其中字母不同的有7种情况，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，，，即可得出结论．
【详解】（1）画树状图如下：
由图可知共有9种情况，其中字母不同的有7种情况，
．
（2）同意甲的说法．
理由：，，，
这个规则不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式3】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
_________ 填，或
材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________．
材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．
【答案】材料一：；材料二：；材料三：
【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，分别求得摸到的倍数与摸到的倍数的概率；即可得答案；
材料二：根据转盘被等分成份，转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，可得顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是，
材料三：用扇形区域的圆心角除以即可得到答案．
【详解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，
摸出每张纸牌的可能性相同，
摸到的倍数 ，摸到的倍数 ；
出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，
，
故答案为：；
材料二：转盘被等分成份，
转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，
转盘停止后，指针对准绿色区域，顾客就可以获得元的购物券，
顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是；
故答案为：．
材料三：由图形可知，扇形区域的圆心角为，
转盘停止后指针落在区域的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的应用，解题的关键是掌握概率公式求概率．
考点14：概率与统计综合
典例14：（2023春·山东济宁·九年级统考期中）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生每周参与“航空航天知识”学习的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按分为四个等级，分别用表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
(1)求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参与“航空航天知识”学习累计时间不少于4小时的学生人数；
(3)某小组有4名同学，等级各2人，从中任选2人向老师汇报学习情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属等级的概率．
【答案】(1)，补全图形见解析
(2)每周参与“航空航天知识”学习的累计时间不少于4小时的学生为900人
(3)
【分析】（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；
（3）设A等级2人分别用表示，D等级2人分别用表示，画出树状图，即可求解．
【详解】（1）解：，
等级的人数（人），
条形统计图补充如下：
各等级人数的条形统计图
（2）解：学校每周参与航空航天学习的累计时间不少于4小时的学生人数（人），
∴每周参与“航空航天知识”学习的累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）解：设等级2人分别用表示，等级2人分别用表示，随机选出2人向老师汇报学习情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属等级有2种，
∴所求概率．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【变式1】（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °．
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)40，30，36
(2)见解析
(3)
【分析】（1）等级的人数除以所占的百分比，求出总人数，等级的人数除以总人数求出的值， 等级所占的比例，求出圆心角；
（2）根据（1）中求出的等级的人数求出总人数；
（3）画出树状图进行求解即可．
【详解】（1）解：（人），等级的人数为：（人），
∴，
∴，
A所对的圆心角度数是；
故答案为：40，30，36；
（2）补全条形图如下：
（3）画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果，
∴．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
【变式2】（2023春·山东济宁·九年级统考期中）某校为了了解甲、乙两名同学数学成绩，随机抽取了相同测试条件下的五次模拟成绩，并对成绩（单位：分）进行了整理分析．绘制了如下尚不完整的统计表和统计图．
甲、乙两人模拟成绩统计表：
① ② ③ ④ ⑤ 平均分
甲成绩/分 79 86 82 85 a 83
乙成绩/分 b 79 90 81 72 82
根据以上信息，解答下列问题：
(1)_________，_________；
(2)请补充图中表示甲、乙成绩变化情况的折线；
(3)如果分别从甲、乙两人3次最低成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，请用树状图法或列表法求抽到的两个人的成绩都高于80分的概率．
【答案】(1)83，88
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平均数求出总分数，减去已知分数即可得到答案；
（2）根据数据画折线图
（3）用列表法将可能性列出求得答案．
【详解】（1）
故答案为：83，88；
（2）补图：如图所示；
（3）解：列表如下：
79 82 83
79
81
72
共有9种等可能的结果数，其中抽到的两个人的成绩都高于80分的结果数为2，
所以抽到的两个人的成绩都高于80分的概率为．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，列表法，熟练掌握列表法是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
频数 4 a 14 b 4
（Ⅱ）成绩在这一组的是（单位：分）：70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ， ．在这次试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)在之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
【答案】(1)10，18，，；
(2)不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
(3)
【分析】（1）根据频数=频率总数， 即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数，根据频率=频数总数，求出成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比；
（2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
（3）用树状图表示从2男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解： ，，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是．
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为．
（2）不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
（3）从2男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中1男1女的有8种，
所以从2男2女中随机选取2人是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、平均数以及列表法或树状图法，掌握频率= 频数总数 ，中位数、平均数的计算方法以及列举出所有等可能出现的结果是解决问题的前提．
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专题05 概率初步
考点类型
考点一遍过
考点1：事件的判断
典例1：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ）
A．爸爸的年龄比爷爷大 B．度量三角形的内角和，结果是
C．通常加热到时，水会沸腾 D．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯
【变式1】（2022春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．不付出努力碰巧成为中考状元 B．买一次彩票中大奖500万元
C．在装满白球的袋子中取出白球 D．做完这份模拟卷并拿到满分
【变式2】（2023·福建厦门·校联考二模）下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【变式3】（2023·福建漳州·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．“瓮中捉蟞”是必然事件 B．“水中捞月”是必然事件
C．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 D．为了解一批牛奶的质量，选择普查
考点2：可能性大小
典例2：（2022秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考阶段练习）下列事件为必然事件的是（ ）
A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
B．明天会下雪
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．购买一张彩票中奖一百万元
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．调查“神舟十二号载人飞船”各零部件的质量适宜采用抽样调查方式
B．某校举办了知识竞赛，若甲、乙两班的成绩平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定
C．某游戏的中奖率为1%，则买100张奖券，一定有1张中奖
D．瑶瑶同学的数、物、化得分分别为85，90，100，若依次按照4：3：3的比例确定理科成绩，则瑶瑶的成绩是91
【变式2】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）袋中有白球3个，红球若干个，他们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．4个或4个以上
【变式3】（2022·福建泉州·九年级统考学业考试）一个不透明的袋中装有白球4个，红球若干个，它们除颜色外没有任何区别，现把袋中的球充分搅匀后随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中红球的个数可能是（ ）
A．不多于3个 B．3个 C．4个 D．5个或5个以上
考点3：概率的意义
典例3：（2022春·福建三明·七年级统考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
【变式1】（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．了解我州中学生的睡眠情况实行全面调查
B．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
C．明天下雨的概率为80%，意味着明天有80%的时间下雨
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更加稳定
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨
C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小
考点4：概率公式
典例4：（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2022·福建南平·统考模拟预测）从背面朝上的分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图是由16块方砖铺设而成的地面(缝隙忽略不计)，每块方砖大小、质地完全相同．现有一个小球在地面上自由滚动，那么它停留在黑色区域的概率是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2023·福建福州·福州黎明中学校考模拟预测）九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为( )．
A． B． C． D．
考点5：概率——方程思想
典例5：（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．不能确定
【变式1】（2022·福建南平·统考二模）在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则n为（ ）
A．4 B．5 C．20 D．25
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）口袋中有若干个形状大小完全相同的白球，为估计袋中白球的个数，现往口袋中放入10个形状大小与白球相同的红球．混匀后从口袋中随机摸出40个球，发现其中有3个红球．设袋中有白球x个，则可用于估计袋中白球个数的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·福建福州·统考一模）为了估计池塘里有多少条鱼,先从湖里捕捞100条鱼记上标记,然后放回池塘去,经过一段时间，待有标记的鱼完全混合后,第二次再捕捞200条鱼,发现有5条鱼有标记,那么你估计池塘里大约有（ ）鱼．
A．1000条 B．4000条 C．3000条 D．2000条
考点6：概率——列举法
典例6：（2022·福建·九年级专题练习）从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）九（1）班的教室里正在召开50人的座谈会，其中有3名教师，12名家长，35名学生，当林校长走到教室门口时，听到里面有人在发言，那么发言人是家长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建漳州·九年级统考期中）一个盒子里装有3粒黑棋，2粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、黄球2个和白球1个，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点7：概率——几何概型
典例7：（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·福建·九年级专题练习）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点8：列表法、树状图法求概率
典例8：（2023·福建漳州·统考一模）为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【变式1】（2022秋·福建莆田·九年级统考期中）四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．
(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；
(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为，不放回再抽取第二张，将数字记为，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点在函数图象上的概率．
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动，顾客每购书海100元可获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：
两球所标数字之和 3 4 5 6 7
奖励的购书券金额（元） 0 0 30 60 90
(1)通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；
(2)书城规定，如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）“田忌赛马”是一个被人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上等马、中等马、下等马各一匹，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局及以上者为胜（田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强）．
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
考点9：以频率估计概率
典例9：（2022秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601
摸到白球的频率 a
(1)上表中的______；
(2)从袋中随机摸出一个球，“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到）；
(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的小球？
【变式1】（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n 40 50 60 70 80 90 100 200
摸到白球的频数 22 26 30 36 40 46 50 100
摸到白球的频率
(1)请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近______（结果精确到）；
(2)估算盒子里有白球______个；
(3)若要使摸到白球的概率为，求需往盒子里再放入多少个白球？
【变式2】（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）新冠肺炎期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧，小明对妈妈在3月份20次“线上购物”消费总金额（单位：百元）进行统计整理得到如图统计表：
消费总金额（单位：百元）
次数 2 4 5 m 4 1
(1)填空：________；
(2)若“线上购物”消费总金额不低于400元能抽奖，求小明妈妈抽奖的概率；
(3)现有两个电商在做活动，甲电商推出“购物满400元返50元，满500元返80元”的活动，乙电商推出“满300打9折，满400元打8折，满500元打7折”的活动，小明根据妈妈这20次的消费总额进行计算帮助妈妈选择哪家电商购物省钱，你认为小明会给妈妈什么建议？
【变式3】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈，如图是某国截至2022年5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
(1)截至5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为______万人，扇形统计图中40~59岁感染人数对应圆心角的度数为______．
(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图．
(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为40岁以下的概率；
(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
考点10：概率的应用——摸球问题
典例10：（2023秋·九年级单元测试）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 ；
(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．
【变式1】（2023·广西百色·模拟预测）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为______；
(2)若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）
【变式2】（2022·陕西·九年级专题练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4
（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率
（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：
① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率
② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率
【变式3】（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式．某超市除接收顾客的现金支付外，还支持“微信”“支付宝”“银行卡”“云闪付”四种支付方式，小马、小王和小张在该超市购完物后，都从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”四种支付方式中随机选一种方式进行支付，每种方式被选择的可能性相同．
(1)求小马选择支付宝支付的概率；
(2)若小王选择了微信支付，求小张和小王选择同一种支付方式的概率．
考点11：概率的应用——代数问题
典例11：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【变式1】（2022·江苏常州·统考一模）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如下图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
⑴ 李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于 ；
⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6，明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．
(1)明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是______．
(2)这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．
【变式3】（2023春·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小质地等完全相同．
(1)从盒子里随机取出一个小球，记下数字为：放回盒子摇匀后，再随机取出一个小球，记下数字为.用树状图或列表法，求两次取出小球所确定的点落在二次函数的图像上的概率；
(2)从盒子中一次取两球，求取出小球所确定的数，满足直线经过一、二、三象限的概率．
考点12：概率的应用——几何问题
典例12：（2023·江苏盐城·校考一模）为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
(1)如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______；
(2)如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
【变式1】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．
（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是______（直接填空）；
（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字3和4分别为三条线段的长度，关于这三条线段：
①能构成三角形的概率是______（直接填空）；
②能构成等腰三角形的概率是______（直接填空）．
【变式2】（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
【变式3】（2023·陕西宝鸡·统考二模）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子．棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
(1)若小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是________________；
(2)若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率．
考点13：概率的应用——公平性问题
典例13：（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，有背面完全相同正面分别是黑桃、黑桃、黑桃和梅花的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏，游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀，张莉从中抽取一张，记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，若两人记下的数字同为奇数则张莉胜，两人记下的数字同为偶数则李涵胜，其他情况视为平局．
(1)张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；
(2)请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？
【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图①，以陕西秦岭四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型设计的2022年第十四届全运会吉祥物，深受大众喜爱．一天，爸爸买回来四个吉祥物的挂件，让兄弟俩每人挑选两个，哥哥和弟弟都想先挑选，于是爸爸设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：将一个可自由转动的转盘分成了四个大小相同的扇形，分别标有数字1，2，3，4；另有一个不透明的袋子，装有分别标有数字7，8，9的三个完全相同的小球（如图②所示）．哥哥转动转盘，弟弟从袋中摸球，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出小球的数字之和为偶数时，哥哥先挑选；否则弟弟先挑选（指针指向分界线时重转）．
(1)弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为 ；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A、B、C的三个小球，另一个装入分别标有字母B、C、D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则就是乙去．
(1)用列表或画树状图的方法求出乙去的概率；
(2)甲说：“这个规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【变式3】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
_________ 填，或
材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________．
材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．
考点14：概率与统计综合
典例14：（2023春·山东济宁·九年级统考期中）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生每周参与“航空航天知识”学习的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按分为四个等级，分别用表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
(1)求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参与“航空航天知识”学习累计时间不少于4小时的学生人数；
(3)某小组有4名同学，等级各2人，从中任选2人向老师汇报学习情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属等级的概率．
【变式1】（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °．
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【变式2】（2023春·山东济宁·九年级统考期中）某校为了了解甲、乙两名同学数学成绩，随机抽取了相同测试条件下的五次模拟成绩，并对成绩（单位：分）进行了整理分析．绘制了如下尚不完整的统计表和统计图．
甲、乙两人模拟成绩统计表：
① ② ③ ④ ⑤ 平均分
甲成绩/分 79 86 82 85 a 83
乙成绩/分 b 79 90 81 72 82
根据以上信息，解答下列问题：
(1)_________，_________；
(2)请补充图中表示甲、乙成绩变化情况的折线；
(3)如果分别从甲、乙两人3次最低成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，请用树状图法或列表法求抽到的两个人的成绩都高于80分的概率．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
频数 4 a 14 b 4
（Ⅱ）成绩在这一组的是（单位：分）：70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ， ．在这次试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)在之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
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