中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 一元二次方程
考点类型
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）若是关于的一元二次方程，则可以为（ ）
A． B． C．1 D．3
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列关于x的方程中、一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点2：一元二次方程的一般式
典例2：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）一元二次方程中一次项的系数是( )
A． B．2 C． D．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级泉州七中校考阶段练习）一元二次方程中一次项的系数是（ ）（注：二次项系数为正数）
A．-2 B．2 C．-5 D．-1
考点3：一元二次方程解的应用
典例3：（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）若实数是关于的一元二次方程的两个根，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2016 D．2015
【变式2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）关于x的两个一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B．或2023 C． D．或
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知方程的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：解一元二次方程
典例4：（2023秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）解下列方程；
(1)；
(2)．
【变式3】（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)．
(2)．
考点5：根的判别式
典例5：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：不论为何值，方程必有实数根；
(2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【变式2】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求实数m的值；
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
【变式3】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两个根中只有一个根小于2，求m的取值范围．
考点6：根的判别式的应用
典例6：（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，，构成平行四边形，其中，．
(1)请画出示意图，并求m关于t的函数解析式；
(2)判断这个平行四边形是否可能为菱形，若可能请求出点C坐标，若不可能请说明理由．
【变式1】（2023·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的三边a，b，c中a=3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
考点7：根与系数的关系——求代数式
典例7：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【变式1】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）已知m和n是方程的两根，则值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知 是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
考点8：根与系数的关系——构造方程
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）已知，且，则（ ）
A．9 B．3 C．2 D．
【变式1】（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ）
A．1 B．0 C．2019 D．-2019
【变式2】（2022秋·福建宁德·九年级校联考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（ ）
A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4
C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（ ）.
A． B．
C． D．
考点9：方程的应用——传播问题
典例9：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．2轮后有个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1331人感染
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点10：方程的应用——单双循环问题
典例10：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·河南洛阳·九年级阶段练习）庆“五 一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，设有x个代表队参加比赛，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．＝45 C．x（x+1）＝45 D．＝45
【变式2】（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）=380
C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
考点11：方程的应用——增长率问题
典例11：（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考期末）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )
A． B．
C． D．
【变式3】（2022·福建厦门·校考二模）某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x满足方程，则x表示的意义是（ ）
A．该厂七月份生产面包数量的增长率
B．该厂八月份生产面包数量的增长串
C．该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率
D．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率
考点12：方程的应用——几何面积问题
典例12：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【变式1】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
(1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成面积为的自行车车棚吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
考点13：方程的应用——利润问题
典例13：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），每天销售量为y（个），求y与x之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，利润为140元？
(3)利润可以达到160元吗？若可以，则应该将商品每件售价定为多少元？若不可以，则说明理由．
【变式2】（2023春·浙江·八年级期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
【变式3】（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴．坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标．福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役．某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．
(1)若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
考点14：方程的应用——动点问题
典例14：（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)填空：_______，_______（用含的代数式表示）
(2)设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为．
(3)求当为何值时，为直角三角形．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 一元二次方程
考点类型
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）若是关于的一元二次方程，则可以为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数时2（二次）的方程，叫做一元二次方程”即可得．
【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、，整理得，选项说法正确，符合题意；
C、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、，是元元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）下列关于x的方程中、一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A. ，当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，最高次数是3次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. 化简后不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【变式3】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，特别注意二次项系数不等于0这个条件．
考点2：一元二次方程的一般式
典例2：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）一元二次方程中一次项的系数是( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先化为一般式，再根据一元二次方程的相关定义即可得解．
【详解】化为一般式得：，
∴一元二次方程的一次项系数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟记一元二次方程的相关定义是解题关键．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：一元二次方程的一般形式，
其中二次项系数3，一次项系数，常数项是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式3】（2022秋·福建泉州·九年级泉州七中校考阶段练习）一元二次方程中一次项的系数是（ ）（注：二次项系数为正数）
A．-2 B．2 C．-5 D．-1
【答案】A
【分析】将方程化为一般形式，即可得出结论．
【详解】化成一般形式为：，
一次项系数为-2，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记方程各项名称是解题关键．
考点3：一元二次方程解的应用
典例3：（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）若实数是关于的一元二次方程的两个根，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用是一元二次方程的根可得，则，同理可得：，结合即可得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2016 D．2015
【答案】A
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）关于x的两个一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B．或2023 C． D．或
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，，
是方程的一个根，
是方程的一个根，
，
，
是方程的一个根，
当时方程，
即是方程的一个根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知方程的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的解是，，得到或，然后解一次方程即可．
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
∵方程的解是，，
∴或，
解得或，
∴方程的解为，．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
考点4：解一元二次方程
典例4：（2023秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
，；
（2）
，，，
∵，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）解下列方程；
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）变形后用开平方法解方程即可；
（2）整理后用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
移项得，，
∴，
开平方得，，
∴，；
（2）
整理得，，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握开平方法和因式分解法是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键，选择合适的解法可以使计算变得简便．
考点5：根的判别式
典例5：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：不论为何值，方程必有实数根；
(2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)没有有理根，理由见详解
【分析】（1）①当时，方程为一元一次方程，即可求解；②当时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可．
（2）①当时，即：，即可求解；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，即可求解．
或或或，
【详解】（1）解：由题意得
①当时，即：，
方程为一元一次方程：，
此时方程必有实数根；
②当时，即：，
此时方程为一元二次方程，
，，，
，
，
，
，
故不论为何值，方程必有实数根；
综上所述：不论为何值，方程必有实数根．
（2）解：当为整数时，方程没有有理根，理由如下：
①当时，即：，
方程为一元一次方程，方程有有理根，
为整数，
此情况不存在；
②当时，
当为整数时，假设方程有有理根，
则需满足：是完全平方数，
设(为整数)，则有
，
或或或，
解得：或，
此时与为整数矛盾，
当为整数时，方程没有有理根；
综上所述：当为整数时，方程没有有理根．
【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，根的判别式大于零的知识即可求解．
【详解】解：在关于的一元二次方程中，，
则，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
令得，，，
∴时，且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根的知识是解题的关键．
【变式2】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求实数m的值；
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）将代入原式，得到关于m的方程，求解即可；
（2） 求出该方程根的判别式，再证明其结果为正数即可．
【详解】（1）解：将代入原式，得，
解得：；
（2）证明：∵
，
又∵无论m取何值，恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【变式3】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两个根中只有一个根小于2，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对判别式代入分析即可；
（2）根据求根公式，进行计算分析即可．
【详解】（1）证明：
=，
∵≥0，
∴方程总有实数根．
（2）解：∵，
∴，
∵方程的两个根中只有一个根小于2，
∴．
【点睛】本题考查公式法求解一元二次方程的相关内容，牢记判别式和求根公式是解题关键．
考点6：根的判别式的应用
典例6：（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，，构成平行四边形，其中，．
(1)请画出示意图，并求m关于t的函数解析式；
(2)判断这个平行四边形是否可能为菱形，若可能请求出点C坐标，若不可能请说明理由．
【答案】(1)示意图见解析，
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再由，，，写出m关于t的函数解析式即可；
（2）根据菱形的性质列方程得到，然后利用根的判别式判断即可．
【详解】（1）解∶如图，
，
∵点，，，，构成平行四边形，其中，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：这个平行四边形是不能为菱形．
理由：当时，四边形是菱形，
∴，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴这个平行四边形不可能为菱形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，菱形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，正确画出图形，掌握平行四边形的性质，菱形的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【变式1】（2023·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根
(2)或
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，
解得：或，
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的三边a，b，c中a=3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．
【答案】(1)见解析
(2)3或4
【分析】（1）求出根的判别式，然后根据根的判别式的大小可以得到解答；
（2）分b=c、b=a或c=a两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵
=
=
=≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：分几种情况讨论：
当b=c时，由（1）可得=0，即k=3；
当b=a或c=a时，可知原方程有一个根为3，所以有：
，
解之可得：k=4；
∴k=3或4 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的应用、一元二次方程根的意义、等腰三角形的性质及分类讨论的思想方法是解题关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【详解】解：（1）当，，时
勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得
△
即△，
勾系一元二次方程必有实数根；
（3）当时，有，即，
，即，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
考点7：根与系数的关系——求代数式
典例7：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，即是一元二次方程的两个实数根，则．
【变式1】（2023春·福建莆田·八年级校考期末）已知m和n是方程的两根，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵m和n是方程的两根，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
【变式2】（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
则：，
即：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．
【变式3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知 是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
考点8：根与系数的关系——构造方程
典例8：（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）已知，且，则（ ）
A．9 B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】把方程两边除以得到，则x、可看作方程的两根，然后利用根与系数的关系解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴x、可看作方程的两根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
【变式1】（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ）
A．1 B．0 C．2019 D．-2019
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式得出，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别是和，
∴，，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【变式2】（2022秋·福建宁德·九年级校联考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（ ）
A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4
C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1
【答案】D
【分析】首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，
∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，
∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，
∴，，
∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据甲得出q=2×7=14，根据乙得出p=﹣（1﹣10）=9，代入求出即可．
【详解】∵x2+px+q=0，甲看错了一次项，得两根2和7，∴q=2×7=14．
∵x2+px+q=0，乙看错了常数项，得两根1和﹣10，∴p=﹣（1﹣10）=9，∴原一元二次方程为：x2+9x+14=0．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数关系的应用，解答此题的关键是能灵活运用性质进行推理和计算，题目比较好．
考点9：方程的应用——传播问题
典例9：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．2轮后有个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1331人感染
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
2轮后共有个人患流感，故B错误，符合题意；
依题意，得，即，
故C正确，不符合题意；
解方程，得（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
【变式2】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先是有个主干，设长出枝干有枝，每个枝干又长出枝干枝，则第二次长出的数量是，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，主干是，设长出的枝干有枝，
∴，即，解方程得，，（舍去），
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：第一轮后被感染的动物的数量为，第二轮后被感染的动物的数量为
则列方程为，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键．
考点10：方程的应用——单双循环问题
典例10：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x 1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x 1）张，即可列出方程．
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x 1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x 1）＝1980．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
【变式1】（2022秋·河南洛阳·九年级阶段练习）庆“五 一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，设有x个代表队参加比赛，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．＝45 C．x（x+1）＝45 D．＝45
【答案】B
【分析】此题可通过设出队数是x，则每个队都与另外一个队进行一场比赛，每队参加x-1场比赛，而任何两队设都只赛一场，因而共举行x（x-1）场比赛，根据题意列出一元二次方程求得．
【详解】设这次有x个队参加比赛；
由题意得x（x-1）=45，
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，同学们应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程求解．
【变式2】（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）=380
C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380
【答案】B
【分析】设该班级共有同学x名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．
【详解】设全班有x名同学，由题意得：
x（x-1）=380，
故选B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果人参加了这次聚会，则每个人需握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手次.
【详解】设人参加了这次聚会，则每个人需握手次，
依题意，可列方程.
故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.
考点11：方程的应用——增长率问题
典例11：（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可．
【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的．
【变式1】（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考期末）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】根据题意得：2021年我国GDP约为万亿元，
2022年我国GDP约为万亿元，
∴可列方程为．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出等式是解题关键．
【变式3】（2022·福建厦门·校考二模）某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x满足方程，则x表示的意义是（ ）
A．该厂七月份生产面包数量的增长率
B．该厂八月份生产面包数量的增长串
C．该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率
D．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率
【答案】D
【分析】增长后的量增长前的量增长率，根据方程结合题意确定x的意义即可．
【详解】解：根据题意：x表示的意义是该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
考点12：方程的应用——几何面积问题
典例12：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【答案】长和宽分别为、
【分析】设茶园垂直于墙的一边长为，则另一边的长度为，根据面积为列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长为，则另一边的长度为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为、．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
【变式1】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
(1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成面积为的自行车车棚吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、
(2)不能围成面积为的自行车车棚，理由见解析
【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可；
（2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可．
【详解】（1）解：设自行车车棚的宽为，则长为，
根据题意，得，
解得
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．；
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、；
（2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下：
设自行车车棚的宽为，则长为，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴此时方程无解
∴不能围成面积为的自行车车棚．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
【答案】的长为
【分析】根据“围成面积为的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使小于等于．
【详解】解：设花圃的一边为，
根据题意可知，，
整理得，，
解此方程得，，
当时，；
当时，，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可；
（2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为．
由题意可得：，
解得，，
当时，，不合题意，舍去．
当时，．
．
答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为；
（2）鸡场的面积不能达到．理由如下：
，
整理得：．
，
此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
考点13：方程的应用——利润问题
典例13：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）设每次下降的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
根据题意得，，
解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商场要尽快减少库存，
∴符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
【变式1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），每天销售量为y（个），求y与x之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，利润为140元？
(3)利润可以达到160元吗？若可以，则应该将商品每件售价定为多少元？若不可以，则说明理由．
【答案】(1)
(2)售价定为10元
(3)利润不能达到160元，理由见解析
【分析】（1）根据“每件提价1元，每天的销售量会减少4件”列函数关系式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列方程求解即可；
（3）根据总利润=单件利润×销售量列方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断根的情况即可得到结论．
【详解】（1）解：设售价单价提高x元，则，
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题可知售价为元，
则即，
解得，，
故售价为：元或元，
∵需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
答：当售价定为10元时，每天的利润为140元；
（3）解：若利润可以达到160元，则
，
整理方程得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
故利润不能达到160元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式和一元二次方程，会利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解答的关键．
【变式2】（2023春·浙江·八年级期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可；
任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可；
任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）网上毛利润为：元
实体店毛利润为：元
（2）设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，
解得，；
∴或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大
此时销售价为：（元）
故答案为：57
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键．
【变式3】（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴．坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标．福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役．某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．
(1)若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
【答案】(1)每天的销售为39箱
(2)每箱“土特产”的售价降低了20元
【分析】（1）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结果；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了x元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论．
【详解】（1）解： （箱）．
答：每天的销售为39箱；
（2）解：设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存，
．
答：每箱“土特产”的售价降低了20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点14：方程的应用——动点问题
典例14：（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积是面积的．
【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据即可得出答案；
（2）分两种情况：①当点在线段上，即时，②当点在线段的延长线上，即时，分别根据的面积是面积的列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵点P从点A开始沿射线向点以的速度移动，
∴，
∴当点在线段上运动时，、两点之间的距离为，
故答案为：；
（2）解：，
①当点在线段上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
∵，
∴该一元二次方程无实数根，
∴此情况不存在；
②当点在线段的延长线上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
综上所述，存在，当时，的面积是面积的．
【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)填空：_______，_______（用含的代数式表示）
(2)设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为．
(3)求当为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，；
（2）连接，过点作于点，根据，得，又根据，则，根据勾股定理得，推出是等腰直角三角形，得；是直角三角形，当在左侧时，根据三角形面积公式得：；当在右侧时，面积为：，分类讨论，即可求出时的值；
（3）当为直角三角形时，或或，根据是等腰直角三角形，则；根据勾股定理，即可求出的值．
【详解】（1）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动
∴；．
（2）连接，过点作于点
∵四边形是矩形，点，点
∴，
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵当在左侧时，即时，
∴
∴
∴当时
∴解得，（舍）
不满足；
在右侧时，时，
∴
∴
∴当时，解得，（舍）
∴当，．
（3）连接，，
由（2）得，
∵是直角三角形，
∴
∵
∴，
∴在，
∴
∵为直角三角形时
∴或或
∵是等腰直角三角形，则
∴或
时，
∴
整理得：
解得：（舍），
∴
时，
∴
解得：，
∴或
∴综上所述，当或或时，为直角三角形时．
【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法．
【变式2】（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）不能，理由见解析
【分析】当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．
【详解】解：7÷2=（s）．
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）依题意得：×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5-t）=7，
整理得：t2-5t+7=0．
∵Δ=（-5）2-4×1×7=-3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．
【答案】（1）经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；（2）秒钟后，P、Q相距6厘米；（3）不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积；理由见解析．
【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；
（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5-，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=，此时△PBQ的面积是否为S△ABC，计算即可．
也可以直接计算平分面积的时间，平分周长的时间，看这两个时间是否一样，若两个时间一样则存在，若不一样则不存在．
【详解】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）=××6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．
（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2=，
答：秒钟后，P、Q相距6厘米．
（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
①当PQ平分△ABC面积时，
S△PBQ=S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）=××8×6，
解得：t1=5+，t2=5﹣，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4，
∴t1=5+不符合题意，舍去，
当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3，
另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1，
25﹣3≠3﹣1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t=，
当t=时，PB=6﹣=，
BQ=8﹣2×=，
∴S△PBQ=××=≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．
【点睛】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
