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专题02 二次函数
考点类型
考点一遍过
考点1：二次函数的定义
典例1：（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期中）若是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考开学考试）若y=(2-m)是二次函数,则m等于( )
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【变式3】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）函数y=（m+2）+2x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
考点2：二次函数图像性质——对称性
典例2：（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）二次函数中，变量x与y部分对应值如下表:则这条抛物线的对称轴是（ ）
x … 1 3 3 5 …
y … 7 0 7 …
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式1】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知抛物线经过点，，，，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．t
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考期中）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点3：二次函数图像性质——顶点
典例3：（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．上， B．上， C．下， D．下，
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级校考阶段练习）在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级校考阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B． C． D．
考点4：二次函数图像与系数的关系
典例4：（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，是二次函数（a，，是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式1】（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过；
②；
③点，在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2022·湖北随州·校考模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … m n …
且当时，对应的函数值.有以下结论：①；②；③；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③
考点5：二次函数与一元二次方程
典例5：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，则线段的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）根据下面表格中的取值，方程的一个根的近似值（精确到是（ ）
x
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
考点6：二次函数与不等式
典例6：（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·江西南昌·九年级江西师范大学附属外国语学校校考开学考试）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，点的纵坐标满足，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式3】（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（ ）
甲：
乙：当时，
丙：
丁：
A．1 B．2 C．3 D．4
考点7：二次函数与最值问题
典例7：（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）已知二次函数，当时，的最大值和最小值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知函数，当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【变式2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【变式3】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
考点8：二次函数新定义问题
典例8：（2022·广西柳州·统考三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1】（2022·湖南长沙·统考一模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m=2时，函数图象的顶点坐标为
B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3
C．当m＜0时，函数在x＜时，y随x的增大而增大
D．不论m取何值，函数图象经过两个定点
【变式2】（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记 ．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点9：二次函数的应用——几何面积问题
典例9：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米．
(1)写出关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，取得最大值，最大值是多少？
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽为，面积为.
(1)如果花圃的面积为，的长是多少米？
(2)当的长为多少米时，花圃面积最大？最大面积是多少？
【变式2】（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知一个包装盒的表面展开图如图．
(1)若此包装盒的容积为1125，请列出关于x的方程，并求出x的值；
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的x的值和最大容积；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，用长的护栏全部建造一个靠墙（墙的长度不限）的矩形养牛场，已知此矩形养牛场的面积为，且与墙垂直的边长为．
(1)此矩形与墙平行的边长为 m（用x来表示）；
(2)求y与x之间的函数表达式，并求出此矩形面积的最大值；
(3)如图2，若建造矩形养牛场时，在平行于墙的一边上留了的距离便于出入（不占用护栏材料），当时，该矩形的最大面积为，求a的值．
考点10：二次函数的应用——拱桥问题
典例10：（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，若水面上升1.5米，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）
【变式1】（2023·河南洛阳·统考二模）图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， ，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【变式2】（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5
(1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式；
(2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？
【变式3】（2023秋·九年级课时练习）一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．
建立坐标系：
我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单．
考点11：二次函数的应用——利润问题
典例11：（2022秋·湖北随州·九年级校考阶段练习）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
(3)当定价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【变式1】（2022秋·江西上饶·九年级校考阶段练习）赣南得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中脐橙远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质脐橙，进价为6元/千克，售价不低于8元/千克，且不超过元/千克，根据销售情况，发现该脐橙在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量（千克） … 400 350 300 280 …
售价（元/千克） … 9 10 …
(1)某天这种脐橙售价为元千克．求当天该脐橙的销售量
(2)设某天销售这种脐橙获利元，写出与售价之间的函数关系式．如果水果店该天获利1000元，那么这天脐橙的售价为多少元？
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．
(1)求交易时间t与每千克售价x的函数表达式；
(2)求这段时间内，出售每千克这种水果的最大收益．
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 7 9 …
日销售量m（件） 94 90 86 82 78 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
(1)经计算得，当时，y关于t的函数关系式为；则当时，y关于t的函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_____．
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
考点12：二次函数的综合应用——面积问题
典例12：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，连接、、，过点作轴的垂线．
(1)求点，的坐标；
(2)求的面积．
(3)直线上是否存在点，使的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
【变式2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，若使得的点恰好只有三个，求的值；
(3)请使用圆规和无刻度直尺，在轴下方的抛物线上确定一点，使得，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值；
(3)过点Q作交抛物线的第三象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当时，求点P的坐标．
考点13：二次函数的综合应用——存在性问题
典例13：（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式1】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
(2)过定点（1，3）的直线：与二次函数的图像相交于M，N两点．
①若，求k的值；
②证明：无论k为何值，恒为直角三角形．
【变式2】（2023·福建泉州·统考二模）已知抛物线经过．
(1)求与的关系式；
(2)若点在抛物线上，求的取值范围；
(3)当时，如图，将抛物线平移，且平移后的抛物线的顶点与原点重合．若点是抛物线上分别位于轴两侧的两个点，直线交轴于点，过作轴的垂线，交轴于点，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点和，连接，点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(3)当Р点在运动过程中，在y轴上是否存在点，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点Р与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
考点14：二次函数的综合应用——几何综合问题
典例14：（2023春·福建漳州·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
【变式1】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考二模）抛物线交x轴于A，B两点，C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，当时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接与直线交于点N．设和的面积分别为和，求的最大值．
(3)如图2，直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．
【变式2】（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．
【变式3】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．
(3)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于点E，设，求m的最大值及此时P点坐标．
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专题02 二次函数
考点类型
考点一遍过
考点1：二次函数的定义
典例1：（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得．
【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为，
∴
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算．
【变式1】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期中）若是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解．
【详解】解：由是二次函数，则有：
，解得：，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考开学考试）若y=(2-m)是二次函数,则m等于( )
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【答案】C
【详解】分析：根据二次函数的定义，自变量指数为2，且二次项系数不为0，列出方程与不等式求解则可．
解答：解：根据二次函数的定义，得：m2-2=2
解得m=2或m=-2
又∵2-m≠0
∴m≠2
∴当m=-2时，这个函数是二次函数．
故选C．
【变式3】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）函数y=（m+2）+2x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义得到=2且m+2≠0，由此求得m的值．
【详解】∵函数y=（m+2+2x+1是二次函数，
∴m2+m=2，m+2≠0，
解得：m=
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题关键是二次项系数不能等于0.
考点2：二次函数图像性质——对称性
典例2：（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）二次函数中，变量x与y部分对应值如下表:则这条抛物线的对称轴是（ ）
x … 1 3 3 5 …
y … 7 0 7 …
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】根据表格确定函数值相等时自变量的值，进而求出对称轴．
【详解】当和时，函数值，
所以这条抛物线的对称轴是直线．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的对称轴，理解函数值相等的含义是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知抛物线经过点，，，，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．t
【答案】C
【分析】抛物线经过点，，得到抛物线的对称轴为直线，得到对称点坐标为，即当时，，即可得到的值．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴对称点坐标为，
∴当时，，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数图象是轴对称图形是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考期中）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由B、D、E的坐标分析与对称轴的距离，即可判断．
【详解】解：∵经过、，
∴二次函数的对称轴，
∵、、与对称轴的距离B最远，D最近，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
考点3：二次函数图像性质——顶点
典例3：（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．上， B．上， C．下， D．下，
【答案】B
【分析】首先将抛物线转化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线
∵，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山西大同·九年级校考阶段练习）在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据魔术盒中的运算法则列方程求出a的值，再将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出函数图象的对称轴．
【详解】解：由题意知，
整理，得，即，
解得，
，
二次函数的对称轴为，
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是根据图示列方程求出a的值．
【变式2】（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级校考阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用配方法将一般式化为顶点式，即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查将一般式化为顶点式，掌握配方法把一般式化为顶点式的步骤是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建三明·九年级统考阶段练习）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】配方法将一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，解题的关键是掌握配方法，正确的进行转化．
考点4：二次函数图像与系数的关系
典例4：（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，是二次函数（a，，是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为，
，，②正确．
，①正确．
时，，且和时的函数值相同，
时，，③不正确．
由图象可得时，函数值取最大值，
即，
，④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知 ，则 ，由直线可知 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题关键是明确一次函数和二次函数性质．
【变式2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过；
②；
③点，在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．
【详解】解：①∵抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
∴该抛物线一定经过，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
也符合题意与矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
是方程的两个根，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，
，
故此项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
【变式3】（2022·湖北随州·校考模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … m n …
且当时，对应的函数值.有以下结论：①；②；③；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③
【答案】D
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质以及图象上点的坐标特征，可以得到各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由表格数据和当时，与其对应的函数值可知，该函数图象开口向上，对称轴是直线，
∴，，，
∴，故①正确；
∵和时对应的函数值都是，
∴，，
∴即，
∴二次函数表达式为，
∵，，
∴，
∵当时，与其对应的函数值，
∴，则，
∴，
∴，故②错误；
∵，，，
∴，即，故③正确；
∵和在该二次函数的图象上，
∴，，
若，则，
即，
∵，
∴，
解得，故④不正确，
综上，正确的是①③，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题．
考点5：二次函数与一元二次方程
典例5：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，则线段的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得．
【详解】解：将点A的坐标为代入得：，
令，则有：即
解得，，，
∴点B的坐标是，
∴线段的长为，
故选C．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，
∴图象开口向上，
∵，
∴或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）根据下面表格中的取值，方程的一个根的近似值（精确到是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题．
【详解】解：方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点，
即关于函数，时的值，
由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的解是．
故选：C．
【点睛】掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
【变式3】（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【答案】C
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
考点6：二次函数与不等式
典例6：（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２
【变式1】（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出二次函数的图象，根据图象即可求解．
【详解】解：如图
由上图得：
当时，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式问题，画出图象，会利用图象解决问题是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江西南昌·九年级江西师范大学附属外国语学校校考开学考试）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，点的纵坐标满足，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标，然后根据点的纵坐标满足，且m，n都为整数得到，然后分别代入，，求解即可．
【详解】联立二次函数与一次函数
得，
解得，
∵的纵坐标满足，且m，n都为整数，
∴，
∴当时，，
∴点P的坐标为或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或．
综上所述，这样的点P可以为或或或或或或，共7个，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出二次函数与一次函数的交点坐标．
【变式3】（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（ ）
甲：
乙：当时，
丙：
丁：
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由抛物线与x轴相交于点，得到抛物线对称轴为直线，，即可判断甲；进而得到，即可判断丙；根据函数图象即可判断乙；根据当时，，即可判断丁．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线对称轴为直线，，即，故甲说法正确；
∴，
∴，即，故丙说法错误；
由函数图象可知当时，或，故乙说法错误；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故丁说法正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
考点7：二次函数与最值问题
典例7：（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）已知二次函数，当时，的最大值和最小值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】先求出该二次函数的对称轴为直线，再通过二次函数图象的增减性求解即可．
【详解】解：将配方，得，
由二次项系数可知抛物线开口向上，对称轴为．
由二次函数图象的性质可得，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
故当时，存在最小值且最小值为，当时，存在最大值且最大值为．
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知函数，当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】由，可知抛物线开口向下，对称轴为直线，由当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，可得，，即，，根据，求最值即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【分析】分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：h的值为1或
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
【变式3】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设 ，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：将，代入，得，
∴，
∴．
三角形的面积．
设 ，
它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1，
此时，面积S取最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值．
考点8：二次函数新定义问题
典例8：（2022·广西柳州·统考三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确；
令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x=1，
∴当-1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜-1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，
故当x=1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2022·湖南长沙·统考一模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m=2时，函数图象的顶点坐标为
B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3
C．当m＜0时，函数在x＜时，y随x的增大而增大
D．不论m取何值，函数图象经过两个定点
【答案】C
【分析】A、把m=2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
C、当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【详解】因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；
A、当m=2时，y=x2+3x﹣4=（x+）2﹣，顶点坐标是（﹣，﹣）；此结论正确；
B、当m＞1时，令y=0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=0，解得，x1=﹣1，x2=，
|x2﹣x1|=＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
C、当m＜0时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=﹣，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
因为当m＜0时，﹣=﹣=﹣﹣＞﹣，即对称轴在x=﹣右边，可能大于，所以在x＞时，y随x的增大而减小，此结论错误；
D、当x=1时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0），那么同样的：当x=﹣2时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=﹣6，即对任意m，函数图象都经过一个点（﹣2，﹣6），此结论正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数性质的综合运用，熟练掌握，即可解题.
【变式2】（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记 ．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x1=x2= ，故C（，），而且2≤≤4，即1≤≤2或-2≤≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b2-4a+2020=2b2-（b-1）2+2020=b2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．
【详解】由题意得方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1=0，
由题意△=0，
∴（b-1）2-4a=0，
∴4a=（b-1）2，
∴用方程可以化为（b-1）x2+4（b-1）x+4=0，
∴x1=x2=，
∴C（，），
∵且2≤≤4，
∴1≤≤2或-2≤≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
t=2b2-4a+2020，
∵t=2b2-4a+2020=2b2-（b-1）2+2020=b2+2b+2019=（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤20
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【变式3】（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，根据“可控变点”的定义找出关于的函数图象，由此即可得出答案．
【详解】解：画出的图象如图所示：
，
根据“可控变点”的定义可得：
将轴右侧的图象关于轴颠倒过来，即可得出“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致是
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义，利用数形结合的思想解题．
考点9：二次函数的应用——几何面积问题
典例9：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米．
(1)写出关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)当时，有最大值，最大值为80
【分析】（1）表示出的长，再根据长方形的面积公式求解；
（2）根据二次函数的性质结合x的范围求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴关于的函数表达式为 ；
∵x满足，
∴，
（2）∵ ，且，
∴当时，S随着x的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽为，面积为.
(1)如果花圃的面积为，的长是多少米？
(2)当的长为多少米时，花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；
(2)当的长为时，花圃面积最大，最大面积是
【分析】（1）根据为，就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式，将代入关系式，可求出即的长．
（2）将二次函数关系式配方成顶点式，再根据x的取值范围，进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
即所求的函数解析式为：，
又，
，
将代入关系式，得．
整理，得，
解得或5，
当时，不成立，
当时，成立，
长为；
（2）
墙的最大可用长度为，，
，
对称轴，开口向下，
当，有最大面积的花圃．
即：，
最大面积为：
所以当的长为时，花圃面积最大，最大面积是
【点睛】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．
【变式2】（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知一个包装盒的表面展开图如图．
(1)若此包装盒的容积为1125，请列出关于x的方程，并求出x的值；
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的x的值和最大容积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，x的值为5或15
(2)当时，此包装盒的容积最大，最大容积为
【分析】（1）由题意可求出该包装盒的长为，再根据求长方体容积的公式即可可列出关于x的一元二次方程，最后解出x的值即可；
（2）设该包装盒的容积为，结合（1）即可得出y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为，
∵此包装盒的容积为1125，
∴，
解得：，，
∴x的值为5或15；
（2）设该包装盒的容积为，
∴．
∵，
∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．根据长方体的容积公式列出等式是解题关键．
【变式3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，用长的护栏全部建造一个靠墙（墙的长度不限）的矩形养牛场，已知此矩形养牛场的面积为，且与墙垂直的边长为．
(1)此矩形与墙平行的边长为 m（用x来表示）；
(2)求y与x之间的函数表达式，并求出此矩形面积的最大值；
(3)如图2，若建造矩形养牛场时，在平行于墙的一边上留了的距离便于出入（不占用护栏材料），当时，该矩形的最大面积为，求a的值．
【答案】(1)
(2)450
(3)4
【分析】（1）将长的护栏减去即可；
（2）根据矩形的面积定义长乘以宽，即可求出y与x之间的函数表达式，由二次函数的顶点坐标即可求出矩形面积的最大值；
（3）先求出y与x之间的函数表达式，再求出，由矩形的最大面积为，得，解出a的值，舍去负数，即可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：此矩形与墙平行的边长为；
故答案为：
（2），
y与x之间的函数表达式是，矩形面积的最大值450；
（3），
二次函数的对称轴，
，
，
，
矩形的最大面积为，
，
解得：或（舍去），
．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．
考点10：二次函数的应用——拱桥问题
典例10：（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，若水面上升1.5米，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）
【答案】2米
【分析】根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再计算水面上升1.5米时水面的宽即可．
【详解】解：由题意，设二次函数的解析式为，
把代入得，，
二次函数的解析式为；
当水面上升时，水面与抛物线交点的纵坐标为，
把代入解析式得：，
解得，
此时水面宽为（米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
【变式1】（2023·河南洛阳·统考二模）图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， ，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)船不能通过桥洞，理由见解析．
【分析】（1）抛物线的顶点的坐标为，抛物线的表达式可写为
根据抛物线的图象过点，即可求得的数值．
（2）根据题意可得，求解即可得到答案．
（3）根据题意可得，求解即可得到答案．
【详解】（1）根据题意可知，抛物线的顶点的坐标为，所以抛物线的表达式可写为．
因为抛物线的图象过点，可得
．
解得．
所以，此桥拱截面所在抛物线的表达式为．
（2）根据题意可得
．
解得
，．
此时水面宽为．
答：警戒水位处水面的宽度为．
（3）船不能通过桥洞，理由如下：
根据题意可得
．
解得
，．
．
所以，船不能通过桥洞．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5
(1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式；
(2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？
【答案】(1)
(2)隧道需标注的限高应米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时，y有最大值5.5，然后运用待定系数法求出解析式即可；
（2）把代入解析式，求出函数值即可解题．
【详解】（1）根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值5.5，
∴设隧道满足的关系式为．
把，代入解析式，得，
解得．
∴隧道满足的关系式为．
（2）当时，，∴（米）．
答：隧道需标注的限高应3.25米．
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系，求得解析式是解题的关键．
【变式3】（2023秋·九年级课时练习）一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．
建立坐标系：
我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单．
【答案】；；；；支柱的长度是；其他方法见解析
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出表达式，然后将代入求出，进而得到的长度．
【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
由题意得，，．
设抛物线的解析式为．
把代入，得到，
抛物线的解析式为．
当时，，
；
如图所示，以中点为原点建立平面直角坐标系，
根据题目条件，，，，
将，代入，得
解得：，
，
设，故，
∴，
∴支柱的长度是．
∵第一种方法得到的表达式只有二次项，第一种方法得到的表达式有二次项和常数项，
∴第一种方法更简单．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，求出二次函数解析式时关键．
考点11：二次函数的应用——利润问题
典例11：（2022秋·湖北随州·九年级校考阶段练习）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
(3)当定价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)280
(2)每件商品的定价应为19或23元；
(3)当定价为21元时，每天的销售利润最大，最大利润为1440元．
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为元，平均每天能售出件，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）设每天的销售利润是w元，可得：，根据二次函数性质得当定价为21元时，每天的销售利润最大，最大利润为1440元．
【详解】（1）解：（件）．
故答案为：280；
（2）解：设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为元，平均每天能售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：每件商品的定价应为19元或23元；
（3）解：设每天的销售利润是w元，
根据题意得：
，
∵，
∴时，w取最大值，最大为1440元，
答：当定价为21元时，每天的销售利润最大，最大利润为1440元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键．
【变式1】（2022秋·江西上饶·九年级校考阶段练习）赣南得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中脐橙远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质脐橙，进价为6元/千克，售价不低于8元/千克，且不超过元/千克，根据销售情况，发现该脐橙在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量（千克） … 400 350 300 280 …
售价（元/千克） … 9 10 …
(1)某天这种脐橙售价为元千克．求当天该脐橙的销售量
(2)设某天销售这种脐橙获利元，写出与售价之间的函数关系式．如果水果店该天获利1000元，那么这天脐橙的售价为多少元？
【答案】(1)当某天这种脐橙售价为元千克．当天该脐橙的销售量为450千克．
(2)，水果店该天获利1000元，那么这天脐橙的售价为每千克8元．
【分析】（1）设销售量y与售价x之间的函数关系式为， 将点、代入可得解析式，再计算当时的函数值即可；
（2）由总的获利等于销售量乘以每千克的利润即可得到解析式，再利用二次函数的性质可得解析式；再把代入解析式解方程即可．
【详解】（1）解：设销售量y与售价x之间的函数关系式为，
将点、代入上式得：，
解得：，
故销售量y与售价x之间的函数关系式为：；
当时，，
∴当某天这种脐橙售价为元千克，当天该脐橙的销售量为450千克．
（2）由题意得：，
当时，则，
整理得：，
解得：，；
∵，
∴，
即水果店该天获利1000元，那么这天脐橙的售价为每千克8元．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．
(1)求交易时间t与每千克售价x的函数表达式；
(2)求这段时间内，出售每千克这种水果的最大收益．
【答案】(1)；
(2)出售每千克这种水果的最大收益为元．
【分析】（1）根据图1，利用待定系数法即可求得交易时间t与每千克售价x的函数表达式；
（2）根据图2，利用待定系数法求得每千克成本y与交易时间t的函数关系式，再根据收益=售价-成本列出二次函数即可求解．
【详解】（1）解：设图1中交易时间t与每千克售价x的函数关系式为：
，
将代入得，
解得，
所以；
（2）解：设每千克成本y与交易时间t的函数关系式为：
，
将代入，得，
解得，
所以，
设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，
根据题意，得
，
，
∵，开口向下，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
答：出售每千克这种水果的最大收益为元．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是：观察函数图象根据点的坐标，利用待定系数法求出关于x的函数关系式．
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 7 9 …
日销售量m（件） 94 90 86 82 78 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
(1)经计算得，当时，y关于t的函数关系式为；则当时，y关于t的函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_____．
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】(1)；；
(2)第14天利润最大，最大利润为578元
【分析】（1）当时，y是t的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t的值即可．
【详解】（1）当时，y关于t的函数关系式为，
则，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设,
将代入，得：
，
解得：，
∴m与t的函数关系为．
故答案为：；；
（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，
则，
∵，
∴当时，有最大值，为元；
，
∵，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，最大，为513元，
∴第14天利润最大，最大利润为578元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数关系式．
考点12：二次函数的综合应用——面积问题
典例12：（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，连接、、，过点作轴的垂线．
(1)求点，的坐标；
(2)求的面积．
(3)直线上是否存在点，使的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)3
(3)或
【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令，可得，推出；
（2）求出点A和点B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设直线交轴于，求出点D坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）设，表示出的面积，根据的面积等于的面积的2倍列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：，
顶点，
令得到，
．
（2）令，，
解得或，
，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
直线的解析式为，设直线交轴于，
令，则，
则，，
∴的面积为：；
（3）∵，
∴直线，设，
则，
∵使的面积等于的面积的2倍，
∴，
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据抛物线对称轴得到关于、的一个方程，再把点、的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出、、的值，即可得解；
（2）设点D的坐标，根据的面积为8列出方程得出方程的解即可．
（3）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接交对称轴于点，则点就是所求的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即求出直线的解析式，再把代入直线解析式求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，经过点、，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，对称轴为且与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可得：点A与点B关于对称，即，，
，
设点D的坐标为：，
，
，
，
或（无实数根），
，
，．
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，则点就是所求的点，
设直线的解析式为，
、，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用轴对称确定最短路线问题，确定出点的位置是解题的关键．
【变式2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，若使得的点恰好只有三个，求的值；
(3)请使用圆规和无刻度直尺，在轴下方的抛物线上确定一点，使得，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)
(2)9
(3)详见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）若使得的点恰好只有三个，则点在下方时，只有一个点，进而求解；
（3）证明，得到，进而求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：若使得的点P恰好只有三个，则点P在AB下方时，只有一个P点，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：，过点P作PN交y轴于点N使，
则设直线PN的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
则，则，
则点，则，
过点N作交于点H，
由直线AB的表达式知，，
则，
则，，
则；
（3）解：设，则，在线段AO上取点H，使，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
则，
即，
∵，即，
设非常接近2，令、，
则以点A为圆心，以的长度为半径作弧，交x轴于点H，以点H为圆心，以，长度为半径作弧，交抛物线于点D，
则点D为所求点．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到函数作图、解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中．
【变式3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值；
(3)过点Q作交抛物线的第三象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)10
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．证明四边形是正方形．则点O关于直线的对称点坐标为．连接，与交于点Q．由是的垂直平分线得到，则，在上任取一点异于点Q的点，连接．则（在三角形中，两边之和大于第三边），即可得到的最小值为．
（3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．得到．设点，则，解得或．当时，，当时，，即得到点P的坐标．
【详解】（1）解：将，分别代入，得方程组
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．
∵，，
∴平分，
∴垂直平分．
又∵垂直平分，且，
∴四边形是正方形．
∴点O关于直线的对称点坐标为．
连接，与交于点Q．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
在上任取一点异于点Q的点，连接．
（在三角形中，两边之和大于第三边），
∴的最小值为．
（3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．
∵，
∴（同底等高），
∴．
设点，
则，
，
．
∴，
解得或．
当时，，
当时，，
∴或．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
考点13：二次函数的综合应用——存在性问题
典例13：（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，可推出，进入即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或
（3）解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点．
【变式1】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
(2)过定点（1，3）的直线：与二次函数的图像相交于M，N两点．
①若，求k的值；
②证明：无论k为何值，恒为直角三角形．
【答案】(1)，顶点为的坐标为
(2)①；②见解析
【分析】（1）把，代入，即可求解；由，可求顶点坐标；
（2）①根据题意求出，根据三角形的面积公式得到，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
②根据正切的定义得到，，进而证明，证明结论．
【详解】（1）把，代入，
得，
解得，
，
，
该抛物线的解析式为，顶点为的坐标为；
（2）①解：设，，，，
直线过定点，抛物线的顶点坐标为，
．
．
．
过定点，
，
，
联立与可得，
，．
．
；
②证明：如图，过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设，．
，在二次函数图象上，
，．
，
，，，，
，
，
由①可知，，
．
．
．
．
．
，
，即．
无论为何值，恒为直角三角形．
【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用、直角三角形的判定、正切的概念，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【变式2】（2023·福建泉州·统考二模）已知抛物线经过．
(1)求与的关系式；
(2)若点在抛物线上，求的取值范围；
(3)当时，如图，将抛物线平移，且平移后的抛物线的顶点与原点重合．若点是抛物线上分别位于轴两侧的两个点，直线交轴于点，过作轴的垂线，交轴于点，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）将点的坐标值代入抛物线的解析式即可得到答案；
（2）利用（1）的结果，将抛物线的解析式化简为，得到抛物线的顶点为，再分别根据和两种情况进行分析，利用二次函数的性质建立不等式，即可得到答案；
（3）过点A作轴于点，设直线的解析式为，，，根据平移的性质得到，根据一次函数和二次函数的解析式可以得到，进一步推算出，证得，再结合即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∴顶点为.
∵点在抛物线上，
∴当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：.
综上所述，的取值范围是或；
（3）证明：如下图所示，过点A作轴于点，
∵将抛物线平移后顶点与原点重合，
∴平移后的抛物为，
设直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
又轴，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式和平移的性质．
【变式3】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点和，连接，点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(3)当Р点在运动过程中，在y轴上是否存在点，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点Р与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)存在，，或，或，或，
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分，三种请况讨论求解即可；
（3）分点在点左侧和右侧，以及分，，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
设，
把，代入得：，解得：，
∴；
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
①当时：，解得：（负值已舍去）；
②当时：，解得：（舍去）或；
③当时：，解得：；
综上：或或；
（3）存在；
∵点Р与点C相对应
∴或；
①当点在点左侧时，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
当时，，
∴，
∴，即：，解得：（负值已舍掉）；
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
当时，，
在点上方时，过点作轴，则：，
∴，，
∴，即：，
解得：（不合题意，舍去）；
当在点下方时，如图，
则：，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），且满足分式方程；
∴，；
②当点在点右侧时：则：，，
当，，
∴，
∴，即：，解得：（负值已舍掉）；
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
当时，，
过点作轴，则：，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），且满足分式方程；
∴，；
综上：，或，或，或，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
考点14：二次函数的综合应用——几何综合问题
典例14：（2023春·福建漳州·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将、代入，用待定系数法即可得抛物线的解析式为，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解；
（3）过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，由，知，是满足条件的点，即得，根据，可求，，根据，可求，，即得，而、关于对称，故是的中点，，直线与抛物线交点是满足条件的点，可得，直线为，由即得．
【详解】（1）解：将、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
由（1）可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，的值最大，
．
（3）解：过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，如图：
，
，是满足条件的点，
，、关于直线对称，
，
，
，，
，
而，，
，
，即，
，
，
又，，
，
，即，
，，
，
，
、关于对称，
是的中点，，
直线与抛物线交点是满足条件的点，
而，
，
设直线为，
则，
解得，
直线为，
由得(舍去)或，
，
综上所述，若，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、对称变换等知识，解题的关键是求出关于的对称点的坐标．
【变式1】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考二模）抛物线交x轴于A，B两点，C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，当时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接与直线交于点N．设和的面积分别为和，求的最大值．
(3)如图2，直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据交点式解答即可；
（2）先求出直线的解析式，然后和抛物线的解析式联立求出点C的坐标，可得点D的坐标，作交直线于点E，如图，利用点M的坐标表示出点E的坐标，再利用相似三角形的判定和性质得出，然后根据二次函数的性质解答即可；
（3）先求出直线的解析式，得出点P坐标，然后求出直线的解析式，和抛物线的解析式联立求出点E坐标，再求出直线的解析式，得出点F的坐标，然后代入所求式子求解即可．
【详解】（1）∵抛物线交x轴于A，B两点，
∴抛物线的解析式是；
（2）∵A，
∴当时，，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴，
∴，
作交直线于点E，如图，
∴，
∴，
∵M是抛物线上的动点，它的横坐标为，
∴，
当时，对直线，，
解得，
∴点，
∴，
∴；
∵，
∴当时，的最大值是；
（3）∵点C的横坐标为n．
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴点F的坐标是，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定和性质以及方程组的求解问题，计算量较大，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合思想、准确计算是解题的关键．
【变式2】（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，可得，，，故，再用待定系数法得抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，由，得直线解析式为，设，可得，根据，有，由二次函数性质即得的最大值为；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，由，知，故，，可得，根据，得，即可解得答案．
【详解】（1）解：在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，如图：
由，得直线解析式为，
设，
在中，令得：
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
当时，中，随的增大而增大，
，
，
在（其中）范围内，
当时，取最大值，即，
当时，取最小值．即，
，
，
，
解得，
，
的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式3】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．
(3)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于点E，设，求m的最大值及此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为，，，
(3)最大值为；
【分析】（1）把，两点代入解析式，计算即可．
（2）根据两点间距离公式表示出BC、MB、MC的长度，再根据三个顶点分别为直角顶点进行分类讨论．
（3）先求出，得到，进而表示出，转化为顶点式求出最值即可．
【详解】（1）解：把，两点代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线对称轴为
故设，
根据两点间距离公式可得，
，，
若C为直角顶点，则有
则
解得；
若B为直角顶点，
则
解得；
若M为直角顶点，
则
解得；
综上所述，点M的坐标为，，，．
（3）解：如图，设PD与x轴的交点为F，点，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
直线BC的解析式为，
，
，
连接AD，
抛物线开口向下，
m有最大值，且当时，且为，
此时，
故点
【点睛】此题考查了二次函数的解析式、两点间距离公式及最值的求法，一次函数解析式的求法，解题的关键是熟练掌握解析式的求解与函数的性质．
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