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专题03 旋转
考点类型
考点一遍过
考点1：旋转的概念
典例1：（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下
【变式1】（2022春·福建厦门·七年级校考期中）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A． B． C． D．
考点2：旋转的性质——求角
典例2：（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若以点为旋转中心，将旋转到的位置，点在边上，则旋转角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点3：旋转的性质——求线段
典例3：（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，，，，绕点A顺时针旋转，得到，点B，E之间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，四边形 中， ，连接，将绕点B逆时针数转60°，点C的对应点与点D重合，得到，，，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，中，，，，以B点为中心，将旋转至，点C的对应点为点E，若点E恰好在上，则的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
考点4：旋转的性质——规律探究
典例4：（2022秋·福建三明·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )
A．2016+671 B．2016+672
C．2017+671 D．2017+672
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
【变式3】（2022春·福建三明·八年级三明市列东中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( )
A． B． C． D．
考点5：旋转作图——坐标系
典例5：（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）
【变式1】（2022春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，等边三角形OAB，O是坐标原点，A(2，0)，将OAB绕点A顺时针旋转60°，点B的对应点的坐标是（ ）
A．(1，) B．(3，) C．(0，0) D．(4，)
【变式2】（2022春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3）
C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
考点6：旋转的综合——最值问题
典例6：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，旋转角为，得到，P，Q分别是、的中点，，连接，则旋转时长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022春·福建福州·八年级统考期中）如图，平面内三点、、， ，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 （ ）
A．5 B．7 C． D．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
考点7：旋转变换综合应用
典例7：（2023春·福建漳州·八年级统考期中）如图，在中，，将绕点C旋转一定的角度得到，点D恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．
（1）求证：
①的面积；
②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
考点8：中心对称图形
典例8：（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考期中）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考开学考试）下列图案中，既是抽对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·福建厦门·校联考二模）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点9：中心对称的性质——求坐标
典例9：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知平面直角坐标系中有一点，以点为圆心的上有一点．平移得到，若点与其对应点关于原点对称，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【变式3】（2022春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D．2
考点10：中心对称的性质——求角
典例10：（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】（2022春·山东潍坊·八年级统考期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，AC=，BC=1，则BB′长为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式3】（2023秋·九年级课时练习）如图，中，与关于点成中心对称，连接，当（ ）时，四边形为矩形.
A． B．
C． D．
考点11：中心对称的性质——找对称中心
典例11：（2023春·七年级课时练习）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【变式2】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【变式3】（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I
考点12：中心对称的性质——规律探究
典例12：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）以对角线交点为旋转中心旋转正方形，要想使旋转之后的图形与原图形重合，则至少应该旋转（ ）
A． B． C．120° D．
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专题03 旋转
考点类型
考点一遍过
考点1：旋转的概念
典例1：（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下
【答案】B
【分析】根据旋转的定义，即可求解．
【详解】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；
B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；
C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；
D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键．
【变式1】（2022春·福建厦门·七年级校考期中）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的意义“在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转”，求解即可．
【详解】解：根据旋转的定义可知，能由图经过旋转得到的是
故选：D
【点睛】此题考查了旋转的定义，解题的关键是掌握旋转的定义．
【变式2】（2023春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．
【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，
即旋转中心为M点．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解．
【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的，
∴旋转角为，
∵，，
∴，
即旋转角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
考点2：旋转的性质——求角
典例2：（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可知，根据，因此可算出，又因为旋转的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若以点为旋转中心，将旋转到的位置，点在边上，则旋转角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用旋转的性质得出，进而利用三角形内角和定理得出，即可得出的度数，根据旋转的定义即可求解．
【详解】∵，，
∴
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即旋转角的度数是，
故选：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，得出的度数是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，得到，进一步证明，即可判断A；根据大角对大边即可判定B；根据三角形三边的关系即可判断C；根据现有条件无法证明，即可判断D．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
当A，D，E共线时，则，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故A符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，故C不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形三边的关系，证明是等边三角形是解题的关键．
【变式3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，即旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．
考点3：旋转的性质——求线段
典例3：（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，，，，绕点A顺时针旋转，得到，点B，E之间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】连接，根据含30度的直角三角形的性质可得，根据旋转得到，，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是由旋转得到，．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，四边形 中， ，连接，将绕点B逆时针数转60°，点C的对应点与点D重合，得到，，，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转角得到是等边三角形，结合 ，得到是直角三角形，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵绕点B逆时针数转60度得到，，
∴ ， ，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴ ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质及勾股定理，解题的关键是根据旋转角得到是直角三角形．
【变式2】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，中，，，，以B点为中心，将旋转至，点C的对应点为点E，若点E恰好在上，则的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先根据勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，由此即可求得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点为中心，将旋转至，使点恰好在上，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握勾股定理以及对应点到旋转中心的距离相等是解决本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得出∠=60°，，求出∠=90°，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转60°得到，AB=，，
∴∠=60°，，
∵∠BAC=30°，
∴∠=30°+60°=90°，
在Rt 中，
由勾股定理得：=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出∠的度数是解此题的关键．
考点4：旋转的性质——规律探究
典例4：（2022秋·福建三明·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=( )
A．2016+671 B．2016+672
C．2017+671 D．2017+672
【答案】B
【分析】利用题意得AP3＝3+，则易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+，然后由2016＝3×672即可得到AP2016的长度．
【详解】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+，
∴AP6＝2（3+），
AP9＝3（3+），
而2016＝3×672，
∴AP2016＝672（3+）＝2016+6
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则，
解得，，
，
由图可知，抛物线在轴上方，
相当于抛物线向右平移个单位得到，
抛物线的解析式为，
∵在第13段抛物线上，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得：，
由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（－1，1），B3(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0）， B8（1，1），……，
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵，
∴点B2020与点B4重合，
∴点B2020的坐标为（－1，－1），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．
【变式3】（2022春·福建三明·八年级三明市列东中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．
【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为(600，0)．
故选B．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
考点5：旋转作图——坐标系
典例5：（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）
【答案】C
【分析】利用矩形的特点和旋转的性质解答即可．
【详解】解：矩形的对边相等，B′C′＝OA＝4，A′B′＝OC＝2，
∴点B′的坐标为（4，2）
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和坐标在象限内的符合，熟练掌握坐标在象限内的特点为解题的关键．
【变式1】（2022春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，等边三角形OAB，O是坐标原点，A(2，0)，将OAB绕点A顺时针旋转60°，点B的对应点的坐标是（ ）
A．(1，) B．(3，) C．(0，0) D．(4，)
【答案】B
【分析】根据题意作出旋转轴的图形，得出四边形为菱形，然后结合菱形的性质推出结论即可．
【详解】将OAB绕点A顺时针旋转60°后，如图所示，作BC⊥x轴于C点，
∵△OAB为等边三角形，
∴四边形为菱形，
∵等边三角形边长OA=OB=2，
∴OC=1，，
∴，
根据菱形的性质，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质以及等边三角形的性质等，理解旋转的定义，确定对应图形，熟记基本图形的性质是解题关键．
【变式2】（2022春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转得出∠NCE＝75°，求出∠NCO，设OC＝a，则CN＝2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM＝MN＝x，由勾股定理得出x2+x2＝（2a）2，求出x＝a，得出CD＝a，代入求出即可．
【详解】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，
∴∠ECN＝75°，
∵∠ECD＝45°，
∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ONC＝30°，
设OC＝a，则CN＝2a，
∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，
∴△CMN也是等腰直角三角形，
设CM＝MN＝x，则由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2，
x＝a，
即CD＝CM＝a，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
【变式3】（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3）
C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
【答案】A
【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】解：如图，
∵将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴A′B′＝AB＝2，OB′＝OB＝
∴A′（2， 3）．
故选A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是能够根据题意画出图形．
考点6：旋转的综合——最值问题
典例6：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】连接，作于点，作于点，则四边形为矩形，所以，由题意可知是等腰直角三角形，，，，推出，因此，则平分，点在射线上运动，当时，最短，据此解答即可．
【详解】如图，连接，作于点，作于点，
，
四边形为矩形，
，
绕点顺时针旋转得到，
∴是等腰直角三角形，
是的中点，
，，
，
，
∴，
，
平分，点在射线上运动，
当时，最短，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段最小值问题，推出点在平分线上运动是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，旋转角为，得到，P，Q分别是、的中点，，连接，则旋转时长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当P、C、Q三点共线时，最长，根据图形求出此时的旋转角即可求出的长．
【详解】解：如图，当旋转到P、C、Q三点共线时，最长，
，，Q是的中点，
，
是等边三角形，
，
P、C、Q三点共线，
，
，
，，
中点为P，中点为Q，，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，旋转的性质的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形角所对的边是斜边的一半，熟练运用旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
【变式2】（2022春·福建福州·八年级统考期中）如图，平面内三点、、， ，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 （ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转的性质可得△ADM是等腰直角三角形，推出AD=AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．
【详解】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
∴AB=CM=4，DA=DM，∠ADM=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD=AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD的最大值为．
故选D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及三角形三边长的关系，通过旋转变化，构造等腰直角三角形，是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，,设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值．
【详解】解：如图示：过点作交于点，过点作交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，,
设，则，， ，
在中，，
即当时，有最小值，
∴当时，最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
考点7：旋转变换综合应用
典例7：（2023春·福建漳州·八年级统考期中）如图，在中，，将绕点C旋转一定的角度得到，点D恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，再由“等边对等角”可得，因此可得，即可得出平分．
（2）连接，根据全等三角形的性质可得，由此可得．再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”可得，又由即可证是等边三角形，可得，再证，由此可得，根据SAS证明，则可知，在中，根据勾股定理求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）∵绕点C旋转一定的角度得到，
∴，
，
，
∴平分．
（2）
如图，连接，
，
．
又，
，
．
又，
，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
在和中，
，，,
，
，
，
．
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，综合性较强．正确的作出辅助线，且证明出是解题的关键．
【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)小颖的结论正确，理由见详解．
【分析】（1）根据SAS证明，即可得到．
（2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
又
即
∴
（2）解：小颖的结论正确，理由如下：
如图，过A点作于M，于N，
∵
又
∵
又
∴
在和 中
∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
【答案】(1)见解析
(2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析
(3)DE＝BD
【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；
（3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC，
∴AD＝A，∠CA＝∠BAD，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAE＝∠AE，
在△ADE和△AE中，
∵，
∴△ADE≌△AE（SAS），
∴DE＝E；
（2）解：∠DAE＝∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AE中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE＝∠AE，
∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BAC；
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°，
∴∠CE＝45°＋45°＝90°，
∵△EC是等腰直角三角形，
∴E＝C，
由（2）DE＝E，
∵△ABD绕点A旋转得到△AC，
∴BD＝ ，
∴DE＝BD．
【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．
（1）求证：
①的面积；
②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明，结合，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．
【详解】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴（AAS），
∴FG=PD，
∴的面积；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴（AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得：，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴，
∴；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得：，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN=EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值=，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，
∴的取值范围是：4≤MN＜．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
考点8：中心对称图形
典例8：（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考期中）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐项分析即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，该选项是符合题意的；
B、不是中心对称图形，该选项是不符合题意的；
C、不是中心对称图形，该选项是不符合题意的；
D、不是中心对称图形，该选项是不符合题意的；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，正确掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【变式1】（2023秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考开学考试）下列图案中，既是抽对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
【变式2】（2023·福建厦门·校联考二模）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义是解题关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解： A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合是解题的关键．
考点9：中心对称的性质——求坐标
典例9：（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称的定义求解：关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；
【详解】解：根据中心对称的定义，关于原点对称点的坐标为；
故选：D
【点睛】本题考查中心对称的定义；理解中心对称的定义是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知平面直角坐标系中有一点，以点为圆心的上有一点．平移得到，若点与其对应点关于原点对称，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得的坐标为，根据平移的性质可知，点与点的横坐标之差与点与点的横坐标之差相等，点与点的纵坐标之差与点与点的纵坐标之差相等，由此可得答案．
【详解】解：平移后，点与其对应点关于原点对称，点，
的坐标为，
设点的坐标为，
由平移的性质可得，，，
，，
点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】直接利用关于原点中心对称的性质得出m，n的值，代入求解即可．
【详解】解：点与点关于原点成中心对称，
，，
解得：，，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点中心对称的性质，关于原点中心对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【变式3】（2022春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根据关于原点对称点的性质（横纵坐标都互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
考点10：中心对称的性质——求角
典例10：（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．
【详解】∵和关于点O成中心对称
∴
∴错误，其他选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．
【变式2】（2022春·山东潍坊·八年级统考期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，AC=，BC=1，则BB′长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：先根据∠C=90°，AC=，BC=1，求出边BA的长度，再根据该图形为中心对称图形得出BA=B′A，然后由BB′=BA+B′A求解即可．
解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，
∴根据勾股定理可得：BA===，
∵该图形为中心对称图形，
∴BA=B′A，
∴BB′=BA+B′A=2×=．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形和勾股定理的知识，解答本题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念和勾股定理的运算法则．
【变式3】（2023秋·九年级课时练习）如图，中，与关于点成中心对称，连接，当（ ）时，四边形为矩形.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由对称性质可先证得四边形AEFB是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，得到AF=BE，进而得到△BCA为等边三角形，得到角度为60°
【详解】∵与关于点成中心对称
∴AC=CF,BC=EC
∴四边形AEFB是平行四边形
当AF=BE时，即BC=AC，四边形AEFB是矩形
又∵
∴△BCA为等边三角形，故
选C
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与矩形的判定性质，解题关键在于能够证明出三角形BCA是等边三角形
考点11：中心对称的性质——找对称中心
典例11：（2023春·七年级课时练习）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【答案】C
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：
∵与关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【答案】D
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【详解】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
【点睛】本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
【变式2】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心.
【详解】如图，连接HC和DE交于O1，
故选A．
【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大．
【变式3】（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I
【答案】D
【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
故选D．
【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置．
考点12：中心对称的性质——规律探究
典例12：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，
点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，
∴点A4的坐标是，
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的坐标是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，，，，，，，， ……
可得每6次为一个循环，
∵，
∴点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）以对角线交点为旋转中心旋转正方形，要想使旋转之后的图形与原图形重合，则至少应该旋转（ ）
A． B． C．120° D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义，分析各图形的特征求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，解题的关键是知道中心对称图形的概念．
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