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重难突破03 一元二次方程的实际应用
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的， 设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河南洛阳·九年级校考阶段练习）如图，要设计一幅宽为，长为的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为.若要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条的宽为（ ）
A． B． C． D．或
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染（）鸡
A．只 B．只 C．只 D．只
4．（2022秋·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
5．（2022秋·九年级单元测试）某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校“信息化”建设，计划用三年时间对全县学校的信息化设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资2.5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预设2018年投资3.6亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）
A．20%、-220% B．40% C．-220% D．20%
6．（2022秋·四川自贡·九年级校考阶段练习）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为600万元，如果平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+x）2=600
B．200+200x=600
C．200+200×2x=600
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=600
7．（2022秋·九年级单元测试）某县政府2013年投资0.5亿元用于保障性住房建设，计划到2015年投资保障性住房建设的资金为0.98亿元，如果从2013年到2015年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( )
A．30% B．40% C．50% D．10%
8．（2022春·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）某直播带货公司去年12月份的营业额为a元，春节期间该公司营业额一直增长，若该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为x，则该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了（ ）
A．a（2+x）x元 B．a（1+x）2元 C．a（1+x）元 D．a（1+x）x元
9．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份时营业额增长到288万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·广东广州·九年级专题练习）某商品原价180元，连续两次涨价后，售价为200元．若平均每次增长率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）新能源汽车因节能环保，越来越受消费者喜爱．我国新能源汽车近几年销量逐年增加，2020年销量为120万辆，到2022年预计销量为180万辆，设年平均增长率为，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了36次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023春·八年级课时练习）某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）受国际原油及其他因素影响，河南省四月底“号”油价为元升，六月底“号”油价为元升，设五月份和六月份“号”油价的月平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·湖南衡阳·校考二模）某种商品售价200元/件，经过两次降价后的价格为128元/件,则平均每次降价的百分率为（ ）
A．6.4% B．12.8% C．16% D．20%
16．（2023秋·新疆·九年级校考期末）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共133．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·贵州遵义·校考一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”受广大群众的喜爱，某官方旗舰店首日上架3000个销售，很快就被消费者一抢而空，为了满足消费者的需求，上架个数逐日增加，到第三天共上架了10920个“冰墩墩”，设平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022秋·四川·九年级射洪中学校考阶段练习）已知直角三角形两边长分别是方程x2-14x+48=0的两根，则此三角形的第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无
19．（2022秋·四川德阳·九年级德阳五中校考阶段练习）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2
20．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100
C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500
二、填空题
21．（2022秋·九年级课时练习）某公司4月份的利润是100万元，要使6月份的利润达到121万元，则平均每月增长的百分率是 ．
22．（2022秋·全国·九年级统考期末）用竹篱笆围成一块长方形菜地,其中一面靠墙,且在平行于墙的一边开一宽为2 m的门.若墙长46 m,现有竹篱笆91 m,菜地面积需1 080 m2,则菜地的宽为 ,长为 .
23．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 元．
24．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若=BM AB，=AN AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n= ．
25．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期中）某市体育局要组织一次篮球赛，每两队之间都赛一场，计划安排5天，每天4场比赛，设邀请x支球队参加比赛，则可以列出方程为 ．
26．（2023秋·九年级课时练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于 ．
27．（2022春·八年级单元测试）用厘米长的铁丝，折成一个面积为厘米2的矩形，则这个矩形的长、宽分别为 ．
28．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是 ．
29．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）某商品原价169元，经连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
30．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年年收入5万元，预计2022年年收入将达到7万元，设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为 ．
31．（2022秋·广东·九年级统考期中）宿城区2011年生产总值约185亿元，2013年生产总值约215亿元，求该区生产总值的年平均增长率．设宿城区生产总值的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
32．（2022春·全国·八年级统考期中）如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布． 铺成图1时，四周垂下的桌布长度均为20cm；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 cm.
33．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件150件，第三天揽件216件，则该快递店揽件的日平均增长率为 ．
34．（2022秋·江苏南京·九年级统考期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 ．（方程不需化简）
35．（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为 ．
三、解答题
36．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件，已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
(1)当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
37．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元． 经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．
(1)设每件降价x元，则每天将销售 件；(用含x的代数式表示)
(2)如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？
38．（2022秋·九年级课时练习）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？
39．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．
（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？
（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a元，求a的值．
40．（2022秋·九年级单元测试）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动．
若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？
若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
41．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）我市希望小学的师生在春节上街参加“写春联、迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动．师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元．后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价．调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副．
(1)设每副春联降价元，每天春联的销量为副，求与的函数关系；
(2)参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？
42．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）某果农计划在一片向阳的坡地上种植棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种棵桃树，则每亩地多种4棵．
(1)求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
(2)果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过棵，如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树．
43．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
44．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价元，商场每天获利元．
(1)若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
(2)写出与的函数关系式；并求出销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
45．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为40元．这种取暖器的销售价为每台52元时，每周可售出180台．经调查发现，销售定价每增加1元时，每周的销售量将减少10台，若商店准备把这种取暖器销售价定为每台x元，每周的销售获利为y元．
(1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；
(2)若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，求x的值．
46．（2023秋·湖南怀化·九年级校考开学考试）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？
(3)如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
47．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）已知一长方形的面积为，且长与宽的比为，求该长方形的长和宽分别为多少？
48．（2022秋·九年级课时练习）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
49．（2022秋·江西上饶·九年级统考期中）（1）一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有多少人．
（2）从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
50．（2023秋·全国·九年级专题练习）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
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重难突破03 一元二次方程的实际应用
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期末）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的， 设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，即矩形绿地的面积=矩形空地面积，可列方程．
【详解】解：人行通道的宽度为x千米，则矩形绿地的长为：千米，宽为千米，
由题意可列方程：
＋，
即：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确分析，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2022秋·河南洛阳·九年级校考阶段练习）如图，要设计一幅宽为，长为的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为.若要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条的宽为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据题意，可设竖彩条的宽是x cm，则横彩条的宽是2x cm，分别计算出彩条和长方形图案的面积,根据彩条所占面积是图案面积的可列方程求解.
【详解】设竖彩条的宽为x cm，则横彩条的宽为2x cm，则，
整理得：
解得：（不合题意，舍去）
所以竖彩条的宽是1cm
故答案是：A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，设出未知数，找出关系式，解方程，最后对解做出一个判断，舍去不合题意的.
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染（）鸡
A．只 B．只 C．只 D．只
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一只鸡传染x只，那么经过第一轮传染后有只鸡被感染，第二轮后有只鸡被感染，又知经过两轮传染后共有只鸡患了禽流感，列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一只鸡传染x只，那么经过第一轮传染后有只鸡被感染，第二轮后有只鸡被感染，
由题意可得：，
解得：（舍去）
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
4．（2022秋·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC．
【详解】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力．
5．（2022秋·九年级单元测试）某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校“信息化”建设，计划用三年时间对全县学校的信息化设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资2.5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预设2018年投资3.6亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）
A．20%、-220% B．40% C．-220% D．20%
【答案】D
【详解】试题分析：设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：5（1+x）2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
故每年投资的增长率为为20%．
故选D．
6．（2022秋·四川自贡·九年级校考阶段练习）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为600万元，如果平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+x）2=600
B．200+200x=600
C．200+200×2x=600
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=600
【答案】A
【详解】试题分析：设平均每月的增长率为x，根据一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为600万元，可列出方程．
解：设平均每月的增长率为x，
200（1+x）2=600．
故选A．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
7．（2022秋·九年级单元测试）某县政府2013年投资0.5亿元用于保障性住房建设，计划到2015年投资保障性住房建设的资金为0.98亿元，如果从2013年到2015年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( )
A．30% B．40% C．50% D．10%
【答案】B
【详解】设年增长率是x，根据题意可得：
0.5（1+x）2=0.98，
解得x1=-2.4（不合题意舍去），x2=0.4=40%，
故年增长率是40%，
故选B．
8．（2022春·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）某直播带货公司去年12月份的营业额为a元，春节期间该公司营业额一直增长，若该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为x，则该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了（ ）
A．a（2+x）x元 B．a（1+x）2元 C．a（1+x）元 D．a（1+x）x元
【答案】A
【分析】由该公司去年12月份的营业额及连续两个月的营业额的月平均增长率，可得出该公司今年2月份营业额为，再减去去年12月份的营业额即可得出结论．
【详解】解：该公司去年12月份的营业额为元，且该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为，
该公司今年2月份营业额为，
该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了元．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据各数量之间的关系，解题的关键是掌握用含的代数式表示出该公司今年2月份营业额．
9．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份时营业额增长到288万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别表示出二月份的营业额和三月份的营业额即可求解．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1＋x）万元，
∴三月份营业额为200×（1＋x）×（1＋x），
∴可列方程为，
故选A．
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．（2023春·广东广州·九年级专题练习）某商品原价180元，连续两次涨价后，售价为200元．若平均每次增长率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解决此类两次变化（增长）问题，可利用公式，那么两次涨价后售价为，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：根据题意可列方程：，
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用-增长率问题，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是两次变化后的量，表示平均每次的增长率．
11．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）新能源汽车因节能环保，越来越受消费者喜爱．我国新能源汽车近几年销量逐年增加，2020年销量为120万辆，到2022年预计销量为180万辆，设年平均增长率为，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用2022年预计销量年销量销量的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了36次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设到会的人数为x人，则每个人握手次，根据总共握手36次，列方程即可．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2023春·八年级课时练习）某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;
【详解】解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程
14．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）受国际原油及其他因素影响，河南省四月底“号”油价为元升，六月底“号”油价为元升，设五月份和六月份“号”油价的月平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用河南省六月底“号”油价河南省四月底“号”油价为五月份和六月份“号”油价的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2023·湖南衡阳·校考二模）某种商品售价200元/件，经过两次降价后的价格为128元/件,则平均每次降价的百分率为（ ）
A．6.4% B．12.8% C．16% D．20%
【答案】D
【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论
【详解】设该商品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：200(1 x)2=128，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
∴该商品每次降价的百分率为20%．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2023秋·新疆·九年级校考期末）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共133．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共133，列出方程即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出个小分支，
根据题意，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022·贵州遵义·校考一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”受广大群众的喜爱，某官方旗舰店首日上架3000个销售，很快就被消费者一抢而空，为了满足消费者的需求，上架个数逐日增加，到第三天共上架了10920个“冰墩墩”，设平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设平均增长率为x，根据题意，分别求得三天的上架个数，根据到第三天共上架了10920个“冰墩墩”，列出方程即可．
【详解】解：设平均增长率为x，根据题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18．（2022秋·四川·九年级射洪中学校考阶段练习）已知直角三角形两边长分别是方程x2-14x+48=0的两根，则此三角形的第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无
【答案】C
【分析】先解一元二次方程，即可求出直角三角形的两边，然后根据斜边的情况分类讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：x2-14x+48=0
解得：x1=6，x2=8
∴直角三角形的两边长分别是6和8
若第三边为斜边，
∴第三边的长为：；
若8为斜边的长
∴第三边的长为：；
故选C．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程的应用和勾股定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是解题关键．
19．（2022秋·四川德阳·九年级德阳五中校考阶段练习）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2
【答案】B
【分析】设原来正方形的边长为xcm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．
【详解】解：设原来正方形的边长为xcm，
依题意得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
20．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100
C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500
【答案】B
【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．
【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
二、填空题
21．（2022秋·九年级课时练习）某公司4月份的利润是100万元，要使6月份的利润达到121万元，则平均每月增长的百分率是 ．
【答案】10%
【详解】试题分析：首先设平均每月增长的百分率是x，根据题意可得4月份的利润是100万元×（1+x）2=6月份的利润达到121万元，再解方程即可得到答案．
试题解析：设平均每月增长的百分率是x，由题意得：
100（1+x）2=121，
解得：x1=10%，x2=-2.1（不合题意舍去）
考点：一元二次方程的应用．
22．（2022秋·全国·九年级统考期末）用竹篱笆围成一块长方形菜地,其中一面靠墙,且在平行于墙的一边开一宽为2 m的门.若墙长46 m,现有竹篱笆91 m,菜地面积需1 080 m2,则菜地的宽为 ,长为 .
【答案】 24m 45m
【分析】设出一边的长，然后表示出另一边的长，利用面积的公式列出方程求解即可．
【详解】设一边为x米,则另一边长为(93 2x)米，根据题意得：
x(93 2x)=1080，
解得：x=22.5(舍去)或x=24，
则93 2x=93 48=45.
答：长为45米，宽为24米．
故答案为24，45.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
23．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 元．
【答案】
【分析】设房价的下降率为x，根据“商品房成交价由今年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设房价的下降率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
∴房价的下降率为，
∴12月份的房价单价为每平方米元．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若=BM AB，=AN AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n= ．
【答案】2-4
【分析】设AM=x，根据AM2=BM AB列一元二次方程，求出x，得出AM=BN=-1，从而求出MN的长，即m-n的长．
【详解】解：由题意得：AB=b-a=2
设AM=x，则BM=2-x
x2=2（2-x）
x=-1±
x1=-1+，x2=-1-（舍）
则AM=BN=-1
∴MN=m-n=AM+BN-2=2（-1）-2=2-4
故答案为：2-4
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示xA、B表示xB，则AB=|xB-xA|；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系．
25．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期中）某市体育局要组织一次篮球赛，每两队之间都赛一场，计划安排5天，每天4场比赛，设邀请x支球队参加比赛，则可以列出方程为 ．
【答案】 x（x﹣1）＝20
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=x（x-1），由此可得出方程．
【详解】解：设邀请x个队，每个队都要赛(x﹣1)场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，x(x﹣1)＝20，
故答案为：x(x﹣1)＝20．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26．（2023秋·九年级课时练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于 ．
【答案】6
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：x1=6，x2=﹣7（不合题意，舍去）．
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
27．（2022春·八年级单元测试）用厘米长的铁丝，折成一个面积为厘米2的矩形，则这个矩形的长、宽分别为 ．
【答案】，
【分析】设长是x厘米，则宽是（11-x）cm，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】设长是x厘米，则宽是（11-x）cm，
根据题意得：x（11-x）=28，
解得：x1=4，x2=7，
则当x=4时，11-x=7（cm）；
当x=7时，11-x=4（cm），
则长是7cm，宽是4cm，
故答案为7cm，4cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握长方形的面积公式、正确理解相等关系是解题的关键．
28．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是 ．
【答案】x（x-1）=132
【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，根据总标本132件列等量关系即可．
【详解】解：设全组共有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
则x（x-1）=132,
故答案为：x（x-1）=132．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
29．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）某商品原价169元，经连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】利用增长率模型即可求得答案．
【详解】∵原价169元，经连续两次降价后售价为121元，
∴设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为169（1-x）2=121，
故答案为169（1-x）2=121．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2=b．
30．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年年收入5万元，预计2022年年收入将达到7万元，设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意列出2022年人均收入的代数式即可解答．
【详解】解：设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
根据题意，可得
2021年人均收入将达到万元，
2022年人均收入将达到万元，
即为．
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，审清题意、列出2022人均收入达到的代数式是解答本题的关键．
31．（2022秋·广东·九年级统考期中）宿城区2011年生产总值约185亿元，2013年生产总值约215亿元，求该区生产总值的年平均增长率．设宿城区生产总值的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
【答案】185（1+x）2=215.
【详解】试题分析：2013年生产总值="2" 011年生产总值×（1+平均增长率）2，把相关数值代入即可求解．
试题解析：∵2 011年生产总值约185亿元，生产总值的平均增长率为x，
∴2012年生产总值约为185（1+x），
∴2013年生产总值为185（1+x）（1+x），
∴可列方程为185（1+x）2=215.
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
32．（2022春·全国·八年级统考期中）如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布． 铺成图1时，四周垂下的桌布长度均为20cm；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 cm.
【答案】（80+40）
【分析】设桌面的边长为xcm,根据图1可知桌布的边长等于桌面加上202，根据图2可知桌布的边长等于桌面的对角线的长度，故可列出方程，再求出桌布的边长即可.
【详解】设桌面的边长为xcm,则桌布的边长可表示为x+202=x+40，
也可以表示为=x，
∴可列方程x= x+40，
解得x=40+40，
故桌布的边长为x=（40+40）=80+40（cm）.
【点睛】此题主要考查正方形的性质.
33．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件150件，第三天揽件216件，则该快递店揽件的日平均增长率为 ．
【答案】
【分析】利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×（1+设该快递店揽件日平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：该快递店揽件的日平均增长率为x：则，
解得：，（不符合题意舍去），
答：该快递店揽件的日平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（2022秋·江苏南京·九年级统考期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 ．（方程不需化简）
【答案】
【分析】根据利润=每件利润×销售数量，建立方程即可．
【详解】解：根据题意可知：
销售件数为：件，
销售一件所获的利润为：元，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程问题，解题的关键是设售价，分别表示销售量及每件的利润，根据求利润的公式列出方程．
35．（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为 ．
【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450
【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程．
【详解】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得：
（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，
故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程．
三、解答题
36．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件，已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
(1)当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润
(2)当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是2250元
【分析】（1）根据获得2210元的利润，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设每星期的销售利润为W元，根据题意，得到二次函数的解析式，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
整理得，
解得或，
∴当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润；
（2）设每星期的销售利润为W元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，W取最大值，最大值为，
答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是2250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，二次函数解析式，是解题的关键．
37．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元． 经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．
(1)设每件降价x元，则每天将销售 件；(用含x的代数式表示)
(2)如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？
【答案】(1)20+5x
(2)每件应降价2元
【分析】（1）直接利用销量=20+5x进而得出答案；
（2）每件应降价x元，根据“总利润=每件×销售量”列出方程求出答案即可．
【详解】（1）设每件降价x元，平均每天销售的服装为y件，
则x与y之间的函数关系（用x表示y）为：y=20+5x（0≤x≤10）；
故答案为：20+5x；
（2）由题意可得：（20-x）（20+5x）=540，
整理得，
解得：x1=2，x2=14（不合题意舍去），
答：每件应降价2元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出一元二次方程是解题关键．
38．（2022秋·九年级课时练习）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？
【答案】小路宽为1米
【分析】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为570米，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，根据实际情况取舍即可得出答案.
【详解】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：小路宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．
（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？
（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a元，求a的值．
【答案】（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．
【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；
（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：
50x+12（2000-x）≥54400，
解得：x≥800，
∴x的最小值是800，
∴至少卖出仙女山红茶800盒；
（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，
∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．
由题意得：
12×（1）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，
解得：a1=0（舍去），a2=5．
∴a的值为5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
40．（2022秋·九年级单元测试）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动．
若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？
若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
【答案】（1）经过或、两点之间的距离是；（2）经过秒或秒的面积为．
【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ=10cm，利用勾股定理得出即可．
（2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时，根据面积列方程求解即可．
【详解】过点作于．
设秒后，点和点的距离是．
根据题意得：，即，
∴，
∴，；
∴经过或、两点之间的距离是；
连接．设经过后的面积为．
①当时，则，
∴，即，
解得；
②当时，
，，则
，
解得，（舍去）；
③时，PC=3y-22，
，
∴，
解得（舍去）．
综上所述，经过秒或秒的面积为．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键．
41．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）我市希望小学的师生在春节上街参加“写春联、迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动．师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元．后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价．调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副．
(1)设每副春联降价元，每天春联的销量为副，求与的函数关系；
(2)参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？
【答案】(1)
(2)每副春联应降价0.1元
【分析】（1）先设每副春联降价x元，然后用x分别表示出降价后每天多卖出的数量，可得降价x元后每天春联的销量；
（2） 用x表示出降价后每副春联的利润，然后根据参与活动的全体师生想平均每天盈利180元列出方程，最后解方程即可
【详解】（1）解：，
即；
（2）依题意，得：，
整理得：，
解得：，，
实际生活中，最小单位是分，舍去，
每副春联应降价0.1元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
42．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）某果农计划在一片向阳的坡地上种植棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种棵桃树，则每亩地多种4棵．
(1)求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
(2)果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过棵，如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树．
【答案】(1)果农原计划每亩地种棵桃树；
(2)应多种棵桃树．
【分析】（1）设原计划每亩地种x棵桃树，根据地的数量不变列方程即可得到答案；
（2）设应多种y棵桃树，根据产量增加列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设原计划每亩地种x棵桃树，由题意可得；
，
解得：，
答：果农原计划每亩地种棵桃树；
（2）解：设应多种y棵桃树，由题意可得，
，
解得：，，
∵多种的桃树不能超过棵，
∴，
答：应多种棵桃树．
【点睛】本题考查分式方程解应用题与一元二次方程解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式．
43．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，2cm
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形,
依题意，得：．
所以可列方程：．
（2）解：能折出底面积为的有盖盒子，理由如下：
设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）；
答：能折出底面积为的有盖盒子，裁去的左侧正方形的边长为2cm．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键.
44．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价元，商场每天获利元．
(1)若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
(2)写出与的函数关系式；并求出销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件商品应降价2元或8元
(2)当销售价定为5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元
【分析】（1）根据“降价后的单件利润乘以销售量等于总利润”列方程并求解即可；
（2）根据（1）的关系式利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
整理，得，
解得．
答：每件商品应降价2元或8元；
（2）根据题意，与的函数关系式为
，
∵
，
∴当时，即当销售价定为元时，
每天的销售利润最大，利润最大值为2250．
答：与之间的函数关系式为；当销售价定为95元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练应用销售问题的数量关系．
45．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为40元．这种取暖器的销售价为每台52元时，每周可售出180台．经调查发现，销售定价每增加1元时，每周的销售量将减少10台，若商店准备把这种取暖器销售价定为每台x元，每周的销售获利为y元．
(1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；
(2)若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，求x的值．
【答案】(1)，销售定价为55元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；
(2)该商店在一周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，x的值是60
【分析】（1）由题意知，整理可得y与x的函数关系式，配方法求最值即可；
（2）由题意知，计算求出符合要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知
．
∴y与x的函数关系式是．
∴
．
∵，
∴当时，y有最大值．
∴销售定价为55元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大．
（2）解：把代入中，得．
解得．
∵，
∴．
∴该商店在一周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，x的值是60
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程．解题的关键在于根据题意列等式．
46．（2023秋·湖南怀化·九年级校考开学考试）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？
(3)如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【分析】（1）设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，把，代入，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，再建立不等式组解题即可；
（3）由每天销售利润为3750元，再建立一元二次方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，
把，代入可得：
∴，
解得：，
∴销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为．
（2）由题意可得：，
解得：；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，理解题意，熟练的建立不等式组与一元二次方程是解本题的关键．
47．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）已知一长方形的面积为，且长与宽的比为，求该长方形的长和宽分别为多少？
【答案】长为5m，宽为4m
【分析】根据长与宽的比为，设长方形的长为5xm,宽为4xm，再由长方形的面积为，根据面积公式列方程求邓可．
【详解】解：设长方形的长为5xm,宽为4xm，根据题意，得
5x4x=20
解得：x=1x=-1（不符合题意，舍去），
∴5x=5×1=5，4x=4×1=4，
答：长方形的长为5m，宽为4m．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
48．（2022秋·九年级课时练习）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【答案】（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加3个销售点．
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）设至少再增加y个销售点，
根据题意得，，
解得：，
答：至少再增加3个销售点．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系.
49．（2022秋·江西上饶·九年级统考期中）（1）一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有多少人．
（2）从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
【答案】（1）这个小组有9个人；（2）原来的正方形铁皮的边长为
【分析】（1）每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数（人数，把相关数值代入计算即可．
（2）设原来的正方形铁皮的边长是，根据余下的面积是列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）设这个小组有x个人，
由题意得：，
∴，
解得，（舍去），
∴这个小组有9个人．
（2）设原来的正方形铁皮的边长是，
根据题意，得，
解得：，（不合题意，舍）
答：原来的正方形铁皮的边长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，得到题中蕴含的等量关系是解决本题的关键，注意理解本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
50．（2023秋·全国·九年级专题练习）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；（2）2019年该贫困户能脱贫
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2018年家庭年人均纯收入=该贫困户2016年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户2019年家庭年人均纯收入=该贫困户2018年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2019年家庭年人均纯收入，再将其与4000比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得方程
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）∵3600×（1+20%）=4320（元）．
∵4320﹥4000 ．
∴2019年该贫困户能脱贫．
答：2019年该贫困户能脱贫．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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