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题组突破02 期中解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2023春·福建厦门·八年级厦门市第十一中学校考期末）（1）
（2）
（3）
2．（2022秋·八年级课时练习）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
3．（2022·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度 …… 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量 …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请说明理由．
4．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
(1)请画出关于原点对称的；
(2)设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围．
5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A（－2，0），B（3，－1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
(1)请在图中作出△ABC．
(2)将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为，，请作出平移后的，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
(3)将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到，点B、C的对应点分别为、，请作出，并直接写出点，的坐标．
6．（2022秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知二次函数的顶点为（1，﹣4），且图象经过A（0，-3），图象与x轴交于B、C两点．
(1)求该函数的解析式；
(2)连接AB、AC，求△ABC面积．
7．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）．
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
8．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的知行点．
(1)若一元二次方程为﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为 ；
(2)若关于x的一元二次方程为﹣2（m﹣1）x＋﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线：y＝x＋5与x轴交于点A，直线过点B（1，0），且与相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
10．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长；
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．
（3）求CD的长．
11．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知二次函数的图像经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图像．
12．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的长．
13．（2022·福建福州·福建省福州第十六中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
14．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4．
(1)尺规作图：将△ABC绕AC的中点O为旋转180°，点B的对应点为B′（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)求点B与点B′之间的距离．
15．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为），设矩形花圃的宽为，面积为．
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)当花圃的面积为时，求的长；
(3)当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
16．（2022秋·福建漳州·九年级统考期中）已知二次函数图象的顶点为，且与轴交于点，
(1)求该函数的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
17．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．
（1）求的度数；
（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．
①试探究，的数量关系，并证明你的结论；
②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．
18．（2022·福建·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
19．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十一中学校考期中）如图，在中，半径OC过弦AB的中点E，，．
（1）求弦AB的长；
（2）求的度数．
20．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两种商品的进货单价；
(2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？
21．（2022·福建·统考一模）已知、、是等腰的三条边，其中，如果、是关于x的一元二次方程的两个根，求的值．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB＝10，AC＝6，求BC、BD的长．
23．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）已知二次函数.
（1）证明：无论m为何值，函数图象与x轴都有交点；
（2）当图象的对称轴为直线时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．
24．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根
(2)若该方程有两根为，，且，求的值
25．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上一点，∠EAF=45°．将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，连接EF，求证EF=FG．
26．（2022秋·九年级单元测试）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件） n=50﹣x
销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，
当21≤x≤30时，
（1）请计算第15天该商品单价为多少元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
27．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）抛物线与x轴交于点A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，且点D为抛物线的顶点，连接BD，CD．求的面积．
28．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）已知关于的方程.
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
29．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．
30．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出劣弧的中点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
31．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形处，求顶点O经过的路线总长．
32．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）解方程：
(1)﹣2x﹣2＝0；
(2)＝4x+6．
33．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取何值方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程有一根等于2，求的值及另一个根.
34．（2022·福建·九年级专题练习）如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
35．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）某文具店经营某种品牌的文具盒，购进时的单价是30元，根据统计调查：在一段时间内，销售单价是40元时，文具盒销售量是600个，而销售单价每涨2元，就会少售出20个文具盒.
（1）不妨设该种品牌文具盒的销售单价为元（），请你分别用的代数式来表示销售量个和销售该品牌文具盒获得利润元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
销售量（个） __________________
销售文具盒获得利润（元） ____________________
（2）在（1）问条件下，若该文具店获得了6000元销售利润，求该文具盒销售单价应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若厂家规定该品牌文具盒销售单价不低于44元，且文具店要完成不少于380个的销售目标，求该文具店销售该品牌文具盒获得的最大利润是多少元？
36．（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）已知二次函数（，为常数）.
（1）若该抛物线的顶点坐标为，求二次函数的解析式；
（2）若该函数在的情况下，只有一个自变量的值与其对应，
①求的最小值；
②当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为6，求此时二次函数的解析式.
37．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校联考期中）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
38．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出向右平移4个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点的对称点；
(3)可视为绕点旋转 _________ °得到，所以和关于旋转中心成 _________ 对称．
39．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数解析式；
（2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？
40．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
41．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是BC边的中点，E为直线AD上一动点以CE为边作等边三角形CEF，且CF由CE绕点C顺时针旋转得到，连接AF
(1)当E为线段AD的中点时，求线段CE的长；
(2)判断△AEF的形状，并说明你的理由；
(3)连接DF，求线段DF的最小值
42．（2022·福建龙岩·统考一模）设方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．
设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）；
（2）．
43．（2022秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考阶段练习）某企业安排75名工人生产甲、乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品．
(1)用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 名；每件乙产品可获利润 元；
(2)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等，已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出x的值．
44．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，在中，为直径，在上，为中点，过作于，
（1）求证：为的切线；
（2）如图2，连接并延长交于，交于，连接，若，求．
45．（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门第二中学校考期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，连接，，以为直角边作等腰，，分别交于点G，交于F，连接．
(1)求证：；
(2)猜想和的数量关系，并说明理由．
46．（2022春·九年级课时练习）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
47．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
求抛物线的解析式；
点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合，过点P作直线轴于点D，交直线AB于点E．
当时，求P点坐标；
是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2022春·九年级单元测试）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
(1)求证：BM=CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
49．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，平均每天的销售量增加30千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元
(1)方法1:设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为：___.
方法2:设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得方程为：___.
(2)请你选择一种方法完成解答.
50．（2022秋·福建厦门·八年级大同中学校考期中）利用面积关系，研究方程，提出问题：怎样图解一元二次方程（）？
几何建模：
（1）将原方程变形为：．
（2）如图，画四个长为，宽为的长方形．
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即
（4）求关于的一元一次方程（，，）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm黑色签字笔画图，并注明相关线段的长）
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题组突破02 期中解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2023春·福建厦门·八年级厦门市第十一中学校考期末）（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2），
（3），
【分析】（1）先去绝对符号，并进行乘方与开方计算，再计算加减即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）运算直接开平方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，
或，
∴，；
（3），
，
或，
∴，．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握实数运算法则和一无二次方程解法是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
【答案】（1）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=﹣x2+7x﹣23；（2）最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣x+5，
∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，
当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣x+5）﹣3=﹣x2+7x﹣23；
（2）当4≤x≤6时，
w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，
∴当x=6时，w1取最大值是1，
当6≤x≤8时，
w2=﹣x2+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，
当x=7时，w2取最大值是1.5，
∴==6，
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
【点睛】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
3．（2022·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度 …… 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量 …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请说明理由．
【答案】（1）选择二次函数，，理由见解析；（2）-6℃＜x＜4℃，理由见解析
【分析】（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a≠0），然后选择x=-2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据一次函数的点都在一条直线上排除一次函数；
（2）求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）选择二次函数，设，
∵时，，时，，时，，
∴，解得，
所以，关于的函数关系式为；
不选另外一个函数的理由：
∵点，，不在同一直线上，
∴不是的一次函数；
（2）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过，
∴平均每天该植物高度增长量超过，
当时，，
整理得，，解得，，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，实验室的温度应保持在-6℃＜x＜4℃.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
(1)请画出关于原点对称的；
(2)设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)(-2,-3)，
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据轴对称的特征写出点B2的坐标，再根据图形确定出点B3到A1C1与B1的距离，由此可求出h的取值范围．
【详解】（1）解：画图如下：
（2）解：画图如下：
B2的坐标为(-2,-3)
点B2到A1C1的距离为4，到B1的距离6
故点落在的内部时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了关于原点及y轴对称的点的坐标特征，图形的平移，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A（－2，0），B（3，－1），C（2，2），网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
(1)请在图中作出△ABC．
(2)将△ABC平移，使得平移后点C的对应点为原点，点A、B的对应点分别为，，请作出平移后的，并直接写出△ABC在CO方向上平移的距离．
(3)将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到，点B、C的对应点分别为、，请作出，并直接写出点，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析，（-4，4），（-1，5）
【分析】（1）利用描点法确定位置，后依次连接A、B、C，则△ABC即为所求．
（2）根据平移后点C的对应点为原点，确定平移规律为向下平移2个单位长度，后向左平移2个单位长度，按照规律确定，的坐标，描点连接即可；利用勾股定理计算OC的长即可．
（3）利用三角形全等法，确定旋转的对应点，描点，连线画图即可．
【详解】（1）因为A（－2，0），B（3，－1），C（2，2），描点，连线，画图如下：
则△ABC即为所求．
（2）因为平移后点C的对应点为原点，
所以平移规律为向下平移2个单位长度，后向左平移2个单位长度，
因为A（－2，0），B（3，－1），
所以（－4，-2），（1，－3），
描点，连线，画图如下：
则即为所求．
因为C（2，2），
所以OC=．
（3）根据旋转的全等性质，得到（-4，4），（-1，5），描点，连线，画图如下：
则即为所求．
【点睛】本题考查了坐标的确定，平移规律，旋转的性质，熟练掌握根据坐标变化确定平移规律是解题的关键．
6．（2022秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知二次函数的顶点为（1，﹣4），且图象经过A（0，-3），图象与x轴交于B、C两点．
(1)求该函数的解析式；
(2)连接AB、AC，求△ABC面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）设该二次函数的解析式为（a≠0）．将顶点坐标和点A的坐标代入求得系数的值即可；
（2）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B、C的坐标，易得线段BC=2，结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为（a≠0）．
∵顶点为（1，﹣4），
∴．
又∵图象经过A（0，-3），
∴，即a＝1，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当y＝0时，，
解得，
∴BC＝4，
∴＝BC OA＝×4×3＝6．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法确定函数解析式时，需要根据已知条件设抛物线的函数表达式．
7．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）．
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)；，
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；
（2）令，求出或，则可求出，两点的坐标，由图像可求出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：将代入得，
，
二次函数的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：令得，
解得，，
，，
当时，自变量的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图像与轴的交点．
8．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的知行点．
(1)若一元二次方程为﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为 ；
(2)若关于x的一元二次方程为﹣2（m﹣1）x＋﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线：y＝x＋5与x轴交于点A，直线过点B（1，0），且与相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)存在，
【分析】（1）先根据因式分解法解一元二次方程，进而根据定义即可求解；
（2）①由①，即可得出结论；
②先确定出点M的坐标，进而判断出点M在直线y=x+2上，借助图象即可得出结论；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，
∴该方程的知行点M的坐标为；
（2）①
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
解得：，
方程的知行点为．
②∵直线与x轴交于点A，
∴A（-5，0），
由①得，M（m-2，m），
令m-2=x，m=y，
∴y=x+2，
∴点M在直线y=x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）
令y=0，则x+2=0，
∴x=-2，
∴；
∴；
（3）存在．
直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解新定义，综合运用以上知识．
9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣2x＋180
(2)w＝﹣2x2＋260x﹣7200
(3)55元，1050元
【分析】（1）销售价x（元/箱）时，则每天减小2(x-50) 箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，
（3）根据二次函数的性质求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）
化简得：y＝﹣2x＋180；
（2）解：由题意得：w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x＋180）
＝﹣2x2＋260x﹣7200；
（3）解：w＝﹣2x2＋260x﹣7200=-2（x-65）2+1250
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．当x＝65时，w有最大值．
又∵x＜65，w随x的增大而增大．
∵40∴当x＝55元时，w的最大值为1050元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
10．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长；
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．
（3）求CD的长．
【答案】（1）；（2）△ABD是等腰直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）由题意根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC的长；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义AD=BD，进而即可判断△ABD为等腰直角三角形；
（3）由题意过点A作AE⊥CD，垂足为E，可知，分别求出CE和DE的长即可求出CD的长．
【详解】解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90o
在Rt△ABC中，.
（2）连接AD和BD，
∵CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∴即有AD=BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形 .
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，
在Rt△ACE中，
∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90o
∴CE=AE=AC=
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ，得出
在Rt△ADE中，
∴.
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及其推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径进行分析．
11．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知二次函数的图像经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图像．
【答案】（1）；（2）画图象见解析．
【分析】(1)根据二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(0，-3)，B(1，0)可以求得该函数的解析式，
(2)根据(1)中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；
【详解】（1）依题意，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(0，-3)，B(1，0)
得，解得
∴所求二次函数的解析式为：
（2）∵
∴该抛物线的顶点为，对称轴为x=2
再利用图像的对称性列表：
…… 0 1 2 3 4 ……
…… -3 0 1 0 -3 ……
然后描点画图，得到的图像．
【点睛】本题考查求抛物线的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想.
12．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而可得，由此可得是等腰三角形；
（2）连接，过点D作于点H．先利用圆周角定理和勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：如图，连接，过点D作于点H，
是直径，
，
，
，
即，
．
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等，难度一般，解（1）的关键是根据同弧所对的圆周角相等得出，解（2）的关键是通过推导得出．
13．（2022·福建福州·福建省福州第十六中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）AC＝．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP的度数，则可求出答案；
（2）连接BC，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∵CA＝CP，
∴∠A＝∠P＝30°，
∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝1，
∴AB＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝1，
∴AC＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
14．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4．
(1)尺规作图：将△ABC绕AC的中点O为旋转180°，点B的对应点为B′（保留作图痕迹，不写做法）；
(2)求点B与点B′之间的距离．
【答案】(1)作图见解析；(2)4.
【分析】（1）先作出AC的中点O，再根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；
（2）先根据勾股定理求出OB的长，再由旋转的性质求出OB′的长，进而可得出结论．
【详解】（1）作线段AC的垂直平分线EF，EF交AC于点O，则O为线段AC的中点，作射线BO，以O为圆心，OB为半径作⊙O交射线BO于B和B′，连接AB′，CB′．则△AB′C就是△ABC绕点O旋转180°后得到的三角形；
（2）∵点O是AC边中点，∴OC=AC=2．
∵∠ACB=90°，∴OB===．
∵△ABC绕AC中点O旋转180°得到△AB′C，∴点B，O，B′在同一直线上，OB′=OB=，∴BB′=，即点B与点B′之间的距离为．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解答此题的关键．
15．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为），设矩形花圃的宽为，面积为．
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)当花圃的面积为时，求的长；
(3)当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】(1)，
(2)
(3)当的长是7米时，围成的花圃的面积最大
【分析】（1）利用矩形的面积等于长乘宽，列出函数关系式，根据墙的最大可用长度为，求出的取值范围；
（2）令，求出的值即可；
（3）根据二次函数性质，进行求解即可。
【详解】（1）解：依题意，得．
∵，
∴．
（2）由得，
整理，得，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（3）由（1）得．
∵，对称轴为，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，S的值最大．
答：当的长是7米时，围成的花圃的面积最大．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
16．（2022秋·福建漳州·九年级统考期中）已知二次函数图象的顶点为，且与轴交于点，
(1)求该函数的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为，设解析式为，将代入即得答案；
（2）①根据二次函数的性质，若，则，则推出即可求解；②将看作一个整体，利用配方法求解．
【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为
设，
将代入得：
解得：
．
（2）解：①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
②
=
=，
当=1时，的最小值为
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
17．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．
（1）求的度数；
（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．
①试探究，的数量关系，并证明你的结论；
②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．
【答案】（1）60°；（2）①CE＋CF=2，理由见详解；②的周长会发生改变，周长最小值=2+．
【分析】（1）根据菱形的性质，可得∠BAD=120°，∠ABC=60°，进而即可求解；
（2）①先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再证明△BAE≌△CAF，可得BE＝CF，进而即可得到结论；②连接EF，可得是等边三角形，从而得周长=2+AE，即当AE最小时，周长最小，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）在菱形中，，
∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，即：=60°；
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．
∵∠EAF＝=60°，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC ∠EAC＝∠EAF ∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE= BC=AB=2；
②连接EF，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴是等边三角形，
∴EF=AE，
∵周长=CE+CF+EF=2+EF=2+AE，
∴的周长会发生改变，当AE最小时，周长最小，
∵AE⊥BC时，AE最小=BE= ×AB=××2=，
∴周长最小值=2+．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线，构造等边三角形是解题的关键．
18．（2022·福建·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
19．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十一中学校考期中）如图，在中，半径OC过弦AB的中点E，，．
（1）求弦AB的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）AB=2；（2）∠CAB=．
【分析】（1）连结OB，根据半径OC过弦AB的中点E，利用垂径定理可得OC⊥AB，根据圆的半径相等可得OB=OC=2，然后利用勾股定理，根据点E为AB中点，可得AB=2BE=2；
（2）根据EB=，，可得OE=EB=可得△OBE为等腰直角三角形，可求∠EOB=∠B=，然后利用圆周角定理可求∠CAB=∠COB=即可．
【详解】解：（1）连结OB，
∵半径OC过弦AB的中点E，
∴根据垂径定理可得OC⊥AB，
∵OB=OC=2，
在Rt△OEB中，根据勾股定理得，
∵点E为AB的中点，
∴AB=2BE=2；
（2）∵EB=，，
∴OE=EB=，
∵OC⊥AB，
∴∠OEB=90°，
∴∠EOB=∠B=，
∴∠CAB=∠COB=．
【点睛】本题考查垂径定理，线段中点，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，圆周角定理，掌握垂径定理，线段中点，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，圆周角定理是解题关键．
20．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两种商品的进货单价；
(2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？
【答案】(1)甲、乙进货单价为1元和2元
(2)甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元
【分析】（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元，根据信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：件，每件降价后每件利润为：元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
【详解】（1）解：假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元，
根据题意得：，
解得：，
甲、乙进货单价为1元和2元；
（2）解：设甲种商品降价元，
根据题意得出：
，
即，
解得：．
故甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
21．（2022·福建·统考一模）已知、、是等腰的三条边，其中，如果、是关于x的一元二次方程的两个根，求的值．
【答案】或.
【分析】分a为腰和底两种情况根据三角形三边关系定理及等腰三角形的特点，确定另两边的长，从而确定m的值．
【详解】①若为底，则，即方程有两个相等的实数根.
∴，解得：, ，，符合题意.
②若为腰，则方程必有一根为，则解得
三角形三边为，，符合题意.
∴综上：或
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质分类讨论，难度不大．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB＝10，AC＝6，求BC、BD的长．
【答案】BC＝8，BD＝5
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，即BC＝8；
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×10＝5，即BD＝5．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
23．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）已知二次函数.
（1）证明：无论m为何值，函数图象与x轴都有交点；
（2）当图象的对称轴为直线时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）60．
【详解】试题分析：（1）判断函数图象与x轴的交点情况，就要列出判别式，用配方法确定判别式大于0；
（2）已知对称轴，可以用对称轴的公式求出本题中的待定系数，确定函数解析式，再根据图象求面积．
试题解析：（1）∵b2﹣4ac=，
∴无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点；
（2）由对称轴得：，解得，∴二次函数为．
∴与x轴的两交点是（－3，0），（5，0）；与y轴交点是（0，﹣15），
∴面积为：．
考点：抛物线与x轴的交点．
24．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根
(2)若该方程有两根为，，且，求的值
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）先计算 再利用配方的方法证明，从而可得结论；
（2）由根与系数的关系可得：，再把已知条件化为：，再解方程即可.
【详解】（1）由题意：，
∴
，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）方程的两个实数根
∵，
∴，
即，
解的或，
经检验：或符合题意.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键.
25．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上一点，∠EAF=45°．将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，连接EF，求证EF=FG．
【答案】证明见解析.
【分析】首先证明FG=BE+DF；其次证明AE=AG，∠EAF=∠FAG，此为解题的关键性结论；证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，即可解决问题．
【详解】证明：如图，
由题意得：△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，BE=DG；
∴FG=BE+DF；
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG；
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG；
在△EAF与△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG．
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质等知识点；解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变量．
26．（2022秋·九年级单元测试）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件） n=50﹣x
销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，
当21≤x≤30时，
（1）请计算第15天该商品单价为多少元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）第10天或第28天时该商品为25元/件；
（2）；
（3）第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
【详解】试题分析：（1）分两种情形分别代入解方程即可．
（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．
（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．
试题解析：（1）分两种情况
①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10
②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28
经检验x=28是方程的解
∴x=28
答：第10天或第28天时该商品为25元/件．
（2）分两种情况
①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，
②当21≤x≤30时，y=（10+﹣10）（50﹣x）=
综上所述：
（3）①当1≤x≤20时
由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当x=15时，y最大值=，
②当21≤x≤30时
由y=，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值==580元
∵
∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
考点：二次函数的应用．
27．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）抛物线与x轴交于点A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，且点D为抛物线的顶点，连接BD，CD．求的面积．
【答案】3
【分析】根据二次函数的解析式求得的坐标，根据解析式作出二次函数的对称轴，根据两点求得的解析式，进而求得与对称轴的交点的坐标，根据即可求解．
【详解】如图，作交于点
，对称轴为
由，令，解得
令
即
解得
点A在B右侧
的直线解析式为，将代入得
解得
当时，
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次次函数解析式，二次函数化为顶点式，二次函数的性质，根据是解题的关键．
28．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）已知关于的方程.
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）10．
【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让即可求得k的值．
（3）分，两种情况做．
【详解】解：（1）∵△=，
∴方程总有实根；
（2）∵两实数根互为相反数，
∴，
解得；
（3）①当时，则△=0，
即，
∴，
方程可化为，
∴，
∴，∴不适合题意舍去；
②当，则，
∴，
方程化为，
解得，，
∴c=2，C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．
29．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证明．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，
又∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
30．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出劣弧的中点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图作平分，根据圆周角定理可证明作法成立；
（2）连接交于F，连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，则，然后在中利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）解：如图，AE为所作；
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：连接交于F，连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查了基本作图-作角的平分线，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理等知识．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质推理．
31．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形处，求顶点O经过的路线总长．
【答案】
【分析】仔细观察顶点经过的路线可得，顶点经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可．
【详解】解：顶点经过的路线可以分为三段，当弧切直线于点时，有直线，此时点绕不动点转过了；
第二段：直线到直线，点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线的，所以与转动点的连线始终直线，所以点在水平运动，此时点经过的路线长的弧长
第三段：直线到点落在直线上，点绕不动点转过了
所以，点经过的路线总长．
【点睛】本题考查了求弧长，解题的关键是理解顶点经过的路线可得，则顶点经过的路线总长为三个扇形的弧长．
32．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）解方程：
(1)﹣2x﹣2＝0；
(2)＝4x+6．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：-2x=2，
-2x+1=3，
=3，
x-1=±，
∴，；
（2）解：＝2(2x+3)，
-2(2x+3)=0，
(2x+3)(2x+1)=0，
2x+3=0或2x+1=0，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特征，选择恰当解法是解题的关键．
33．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取何值方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程有一根等于2，求的值及另一个根.
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】（1）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入求出k，得到原方程，再解方程即可.
【详解】解：（1）证明：由已知，，，
∴，
∵，
∴，
∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根.
（2）依题意得，，解得，
则原方程为，解得，，
∴另一根为.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键.
34．（2022·福建·九年级专题练习）如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角为120°，证明见详解．
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以CE、BE为半径画弧，则两弧交于一点D，进而问题可求解；
（2）连接OA、OB、OC、OD、OE，由题意易得，，由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得OD=OE，最后问题可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：能，理由如下：
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图所示：
∵O是等边三角形ABC的中心，是以为斜边的直角三角形，且，
∴，，
由（1）可知：，
∴，
∴，即，
∵OB=OB，
∴，
∴，
∵OA=OB=OC，∠BOC=∠AOB=120°，
∴能由绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角度为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
35．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）某文具店经营某种品牌的文具盒，购进时的单价是30元，根据统计调查：在一段时间内，销售单价是40元时，文具盒销售量是600个，而销售单价每涨2元，就会少售出20个文具盒.
（1）不妨设该种品牌文具盒的销售单价为元（），请你分别用的代数式来表示销售量个和销售该品牌文具盒获得利润元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
销售量（个） __________________
销售文具盒获得利润（元） ____________________
（2）在（1）问条件下，若该文具店获得了6000元销售利润，求该文具盒销售单价应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若厂家规定该品牌文具盒销售单价不低于44元，且文具店要完成不少于380个的销售目标，求该文具店销售该品牌文具盒获得的最大利润是多少元？
【答案】(1) ，；（2）90；（3）12160
【分析】（1）根据销售单价每涨2元，就会少售出20个文具盒，可用的代数式表示销售量；根据利润＝单个利润×销售量来用x表示；
（2）令，解方程舍去不合题意的值即可；
（3）根据销售单价不低于44元，且文具店要完成不少于380个的销售目标列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据二次函数的性质求最大利润即可.
【详解】解：（1）由题意得：，
；
（2）依题意得，，
解得，，，
∵，
∴，
答：该文具店获得了6000元销售利润，求该文具盒销售单价应定为90元
（3）依题意得，，
解得：，且为整数，
∵，
∴抛物线开口向下且对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，利润最大为12160元，
答：该文具店销售该品牌文具盒获得的最大利润是12160元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找出合适的等量关系列出函数关系式.
36．（2022秋·福建莆田·九年级校联考期中）已知二次函数（，为常数）.
（1）若该抛物线的顶点坐标为，求二次函数的解析式；
（2）若该函数在的情况下，只有一个自变量的值与其对应，
①求的最小值；
②当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为6，求此时二次函数的解析式.
【答案】(1) 函数的解析式为或;(2) ①-3; ②
【分析】待定系数法求函数解析式；
①利用根与系数关系及数形结合思想求解
②利用对称轴，函数增减性及数形结合思想是解题关键
【详解】（1）
∵该抛物线的顶点坐标为
∴
解得：或
∴函数的解析式为或
（2）①∵该函数在的情况下，只有一个自变量的值与其对应
即方程有两相等的实数根，
∴
∴
∴
∴
∴
∴的最小值为
（3）解: 由①得，即二次函数解析式为，
图象开口向上，对称轴为直线，
① 当，即时，
在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大，
∴当时，的最小值为：
∴，解得，（舍去），；
②当时，即
∴，的最小值为：
∴不满足题意
【点睛】此题属于二次函数综合题，待定系数法的考查，及数形结合思想的应用是本题的考核重点
37．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校联考期中）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)半径的长为3
【分析】（1）连接，易得，，，根据等量代换可得，证明可得结论；
（2）设半径为，则，，在中用勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）证明：连接．
∴是的切线；
（2）解：设半径为，则
∵
∴，
在中，
∴
解得
即半径的长为．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
38．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出向右平移4个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点的对称点；
(3)可视为绕点旋转 _________ °得到，所以和关于旋转中心成 _________ 对称．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)，中心；
【分析】（1）分别确定A，B，C，平移后的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（2）分别确定A，B，C，关于原点对称的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（3）由，，的对应点分别为，，，结合其位置与坐标可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
（2）如图，即为所求作的三角形，
（3）由作图可得：可视为绕点旋转得到，所以和关于旋转中心成中心对称．
【点睛】本题考查的是画平移图形，画关于原点对称的图形，熟练的掌握平移的性质与中心对称的性质是解本题的关键．
39．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数解析式；
（2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1）；（2）65元
【分析】（1）设与的函数解析式为，把，代入，得解得即可；
（2）设销售利润为元，先求出每件销售利润，再乘以销售量，根据题意， ，由，时，有最大值，最大值为1225．
【详解】解：（1）设与的函数解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴与的函数解析式为；
（2）设销售利润为元，根据题意，得，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1225．
∴要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克65元．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，列二次函数，利用配方法转化为顶点式，掌握一次函数的解析式的求法，列二次函数方法，会利用配方法将二次函数转化为顶点式，根据开口向下有最大值是解题关键．
40．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x≤1或x≥3；（3）k＜2
【分析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为方程的根；
（2）根据函数图象写出x轴下方部分和与x轴交点的x的取值范围即可；
（3）能与函数图象有两个交点的所有k值即为所求的范围．
【详解】解：（1）∵函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0），
∴方程的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤0的解集为x≤1或x≥3；
（3）∵二次函数 的顶点坐标为（2，2），
∴二次函数 的顶点坐标为（3，2），
∴若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
41．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是BC边的中点，E为直线AD上一动点以CE为边作等边三角形CEF，且CF由CE绕点C顺时针旋转得到，连接AF
(1)当E为线段AD的中点时，求线段CE的长；
(2)判断△AEF的形状，并说明你的理由；
(3)连接DF，求线段DF的最小值
【答案】(1)
(2)等腰三角形
(3)1
【分析】（1）在Rt△ECD中，利用勾股定理即可求解；
（2）连接AF，BE，证明△ACF≌△BCE（SAS），则可得AF=CE=CF=EF，可判断△AEF是等腰三角形；
（3）取AC的中点M，连接BM，由题可知，F点在BM所在直线上运动，当DF⊥BM时，DF最小，再由含30度角的直角三角形的性质，可得DF=BD=1，即可求DF的最小值为1．
【详解】（1）解：∵D是BC的中点，BC=4，
∴CD=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=2，
∵E为线段AD的中点，
∴DE=，
∴CE==；
（2）如图1，连接AF，BE，
∵△CEF是正三角形，
∴∠ECF=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECD=∠ACF，
∵CA=BC，CF=EC，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∵BE=CE，
∴AF=CE=CF=EF，
∴△AEF是等腰三角形；
（3）如图2，取AC的中点M，连接BM，
由题可知，F点在BM所在直线上运动，
∴当DF⊥BM时，DF最小，
∵
∴DF= =1，
∴DF的最小值为1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，图形的旋转，最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，根据点E的运动情况确定点F的运动轨迹是解题的关键．
42．（2022·福建龙岩·统考一模）设方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．
设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）31
【详解】【分析】是方程的两根，根据韦达定理可得α+β=5，αβ=3，由一元二次方程根的定义可得α2=5α-3；
（1）由，将上述数值代入进行计算即可得；
（2）由，将上述数值代入进行计算即可得.
【详解】（1）依题意得，
；
（2）因为是方程的根，所以，
，
.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系——韦达定理的应用，掌握韦达定理的内容、能根据代数式的特点进行变形是解题的关键.
43．（2022秋·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考阶段练习）某企业安排75名工人生产甲、乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品．
(1)用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 名；每件乙产品可获利润 元；
(2)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等，已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设安排a名工人生产甲产品，则安排2a名工人生产丙产品，求出a用x表达的代数式，根据题意将利润表示出来，最后根据二次函数的性质即可进行解答．
【详解】（1）解：每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品，则每天生产甲产品的工人有名，
∵乙产品每天生产增加一件，平均利润少2元，
∴每件乙产品获利元．
故答案为：，．
（2）解：设安排a名工人生产甲产品，则安排2a名工人生产丙产品，
，
，
设获得利润为w，
，
∴对称轴：，
∵x为整数，
∴当或时，函数有最大值，
当时，（舍），
当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
44．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，在中，为直径，在上，为中点，过作于，
（1）求证：为的切线；
（2）如图2，连接并延长交于，交于，连接，若，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，证明即可得出结论；
（2）连接，延长交于，证明四边形为矩形得，，得出为中位线，求得AB的长，再运用勾股定理解和即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接
∴
∴
∵为中点
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴半径于
∴为切线
（2）连接，延长交于
∵为直径
∴
∵
∴
∴四边形为矩形
∴，
设
∴
∵于
∴
∵
∴为中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵∴
∴
∴
在中，根据勾股定理得：
∴
在中，根据勾股定理得：，
即
解得：
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
45．（2022秋·福建厦门·九年级福建省厦门第二中学校考期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，连接，，以为直角边作等腰，，分别交于点G，交于F，连接．
(1)求证：；
(2)猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】(1)利用垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆的性质证明．
（2）延长，过点E作于点M，运用一线三直角模型证明是等腰直角三角形即可．
【详解】（1）如图，连接AD，
因为是的直径，是的弦，，垂足为H，
所以，
所以直线是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
因为是上的圆周角，
所以，
所以．
（2）如图，延长，过点E作于点M，
因为等腰，，
所以，，，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为是的直径，是的弦，，垂足为H，
所以，
所以，
因为，
所以即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线性质，一线三直角模型，熟练掌握垂径定理，勾股定理，三角形全等判定和性质是解题的关键．
46．（2022春·九年级课时练习）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
【答案】解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x1=﹣3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．
证明：∵直线l：，
当x=﹣3时，，
∴点A在直线l上．
（2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，，
∴顶点，
代入二次函数解析式，解得，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为．
（3）解：直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由，
解得，
即，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴HN+MN的最小值是MB，，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．
【详解】（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
47．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
求抛物线的解析式；
点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合，过点P作直线轴于点D，交直线AB于点E．
当时，求P点坐标；
是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）点P坐标为或或或．
【详解】分析：（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．
详解：点在直线上，
，
，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线解析式为；
设，则，，
则，，
，
，
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
；
综上可知P点坐标为或；
设，则，且，，
，，，
当为等腰三角形时，则有、或三种情况，
当时，则，解得，此时P点坐标为；
当时，则，解得或，此时P点坐标为或；
当时，则，解得或，当时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
48．（2022春·九年级单元测试）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
(1)求证：BM=CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=CD，从而有，进一步得到 ，从而得到结论；
（2）连接OM，OB，OC．由，得到∠BOM=∠COM，由正方形ABCD内接于⊙O，得到∠BOC=90，进而得到∠BOM=135°，由弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴，
∵M 为中点，
∴ ，
∴ ，
∴BM＝CM；
（2）连接OM，OB，OC．
∵，
∴∠BOM=∠COM，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BOC=360°÷4=90°，
∴∠BOM=135°，
∴ = ．
49．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，平均每天的销售量增加30千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元
(1)方法1:设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为：___.
方法2:设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得方程为：___.
(2)请你选择一种方法完成解答.
【答案】（1）;;（2）见解析；
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可．
（2）选择方法1进行解答即可.
【详解】（1）方法1:设每千克核桃应降价x元. 根据题意，得
.
方法2:设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（2）方法1:设每千克核桃应降价x元. 根据题意，得
.
解得
销量尽可能大，只能取x=6，
60 6=54元，
答：每千克特产应定价54元
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列一元二次方程求解即可.
50．（2022秋·福建厦门·八年级大同中学校考期中）利用面积关系，研究方程，提出问题：怎样图解一元二次方程（）？
几何建模：
（1）将原方程变形为：．
（2）如图，画四个长为，宽为的长方形．
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即
（4）求关于的一元一次方程（，，）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm黑色签字笔画图，并注明相关线段的长）
【答案】（1）；（2）图形见详解；（3）．
【分析】（1）将原方程化为乘积形为：；
（2）用四个长为，宽为的长方形拼成正方形即可；
（3）图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．得出，然后开平方即可．
【详解】解：几何建模：
（1）原方程为：；
（2）如图，画四个长为，宽为的长方形；
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．
即，
，
，
，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的面积解法，掌握方程特征乘积形，用四个长方形拼成大正方形，用两种方法求面积列方程，然后开平方求边长是解题关键．
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