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题组突破04 期末解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2022·福建漳州·九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)该抛物线交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
2．（2022·福建·九年级专题练习）如图，在四边形中，，过点D作于E，若．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
3．（2022·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度 …… 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量 …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请说明理由．
4．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，A的对应点分别为，，点落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
5．（2023·福建福州·统考二模）如图，是半圆O的直径，，D是上一点，，E是的中点，连接，，．
(1)求的大小；
(2)求证：．
6．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根．
(1)求的值；
(2)化简求值：．
7．（2022春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，求的值.
8．（2022秋·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）2012年4月，受“毒胶囊”事件的影响，某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价的，已知下调后每盒价格是10元/盒．
(1)该药品的原价是 元；
(2)4月底，各部门加大了对胶囊生产的管理力度，因此，药品价格开始回升，经过两个月后，该药品价格上调为14.4元/盒．问5、6月份该药品价格的月平均增长率是多少？
9．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
10．（2022·福建龙岩·统考一模）已知，如图，A，B分别在x轴和y轴上，且OA=2OB，直线y1=kx+b经过A点与抛物线y2=﹣x2+2x+3交于B，C两点，
（1）试求k，b的值及C点坐标；
（2）x取何值时y1，y2均随x的增大而增大；
（3）x取何值时y1＞y2．
11．（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D．
(1)确定△ABC外接圆的圆心O，并画出△ABC的外接圆⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若BC＝4，∠BAC＝45°，求⊙O的半径．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2，求⊙O的半径及线段PB的长．
13．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．
14．（2022·福建·统考一模）“普法知识竞赛”结束后，小张和小李将本单位所有参赛选手的正确答题数进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如图．
本次比赛参赛选手共有 人，条形统计图中“”这一组人 ；
赛前规定，每答对一题得分，求所有参赛选手的平均得分 （精确到分)
成绩前四名是名男生和名女生，若从他们中任选人作为获奖代表发言，试求选中男女的概率．
15．（2023秋·九年级课时练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．
16．（2022秋·福建三明·九年级校考阶段练习）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1．从袋中一次随机摸出两个小球，把上面标注的两个数字分别作为点M的横、纵坐标．
（1）请用列表或画树状图的方法列出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线y=-x-1上的概率．
17．（2022春·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点C（m2+2，3m﹣2），直线l经过点A（2，2），B（1，3）．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点C在直线l上，求m的值．
18．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程为
(1)求证:无论为何实数，方程总有实数根;
(2) 为何整数时，此方程的两个根都为正数.
19．（2022春·福建泉州·九年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班 (用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请 根据相关信息，回答下列问题：
（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；
（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
20．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
21．（2023春·八年级课时练习）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
22．（2022春·九年级课时练习）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
23．（2022秋·九年级单元测试）某化妆品专卖店，为了吸引顾客，准备在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有个红球和个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机中一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金卷的多少（如下表）：
甲种品牌 化妆品 球盐酸 两红 一红一白 两白
礼金卷（元） 6 12 6
乙种品牌 化妆品 球盐酸 两红 一红一白 两白
礼金卷（元） 12 6 12
（）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；
（）如果一个顾客当天在本店购物满元，若只考虑获得最多的礼品卷，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．
24．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）已知抛物线经过两点．
（1）求b的值；
（2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程的两实根，满足，且，求P的最大值．
25．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．
（1）求的度数；
（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．
①试探究，的数量关系，并证明你的结论；
②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．
26．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）写字是学生的一项基本功，为了了解某校学生的书写情况，随机对该校部分学生进行测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，回答以下问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）若该校共有2000名学生，估计该校书写等级为“D级”的学生约有 人；
（3）随机抽取了4名等级为“A级”的学生，其中有3名女生，1名男生，现从这4名学生中任意抽取2名，用列表或画树状图的方法，求抽到的两名学生都是女生的概率.
27．（2022·福建·九年级专题练习）如图，已知，∠B＝90°．
(1)作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；
(2)若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．
28．（2022秋·福建厦门·九年级福建省同安第一中学校考期中）若一个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，因为x1是x2的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．
（1）说明x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）若存在正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，求m的值．
29．（2022·福建厦门·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
30．（2022·福建·校联考中考模拟）如图，已知为等腰三角形.
(1)尺规作图：作的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若底边，腰，求(1)中的外接圆的半径.
31．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）在一个不透明的布袋里装有4个小球，球面上分别标有数字0，1，2，3，它们除数字外，没有任何区别，现将它们搅匀．
(1)随机地从袋中摸出1个小球，摸到的小球球面上数字为0的概率是多少？
(2)小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．请你运用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出满足条件的概率．
32．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，AD＝CD，∠E＝68°，求∠ABC的度数．
33．（2022秋·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设B点关于对称轴的对称点为C，抛物线L：y＝mx2（m≠0）与线段BC恰有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．
34．（2022·福建莆田·莆田第二十五中学校考一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.
35．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆 围成．已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米，若平行于墙的一边长不小 于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
36．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）观察下面一元二次方程的解法：
①；
解：这里，，，，
所以，方程的根为，即，．
②；
解：这里，，，，
所以，方程的根为，
即，．
【观察思考】
（1）方程①的两个根都是有理数（称为有理数根），而方程②的两个根是含有无理数的实数根．若一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数，应满足的条件是________；
【问题解决】
（2）若一元二次方程有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数的值．
37．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区城进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地用（空白处），求原正方形空地的边长．
38．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点.
（1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
（2）如图2，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若，，，，请直接写出的值.
39．（2023·福建泉州·统考一模）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
40．（2022春·福建福州·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点F，点C与点E分别是对应点（如图所示），观察对应点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点F，点C与点E的坐标
（2）若点P（a+9，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
41．（2022秋·福建泉州·九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装着四个完全相同的小球，分别标有数字1，﹣2，3，4，从袋中随机取出一个小球，用小球上的数字作为x（不放回），再取出一个小球，用小球上的数字作为y，确定一个点的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或者画树状图法表示点的坐标的所有可能结果；
（2）求点位于平面直角坐标系中的第二象限的概率．
42．（2022秋·九年级单元测试）已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求．
43．（2022·福建·九年级校联考阶段练习）运城菖蒲酒产于山西垣曲.莒蒲酒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪.菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化.菖蒲酒每瓶的成本价是元，某超市将售价定为元时，每天可以销售瓶，若售价每降低元，每天即可多销售瓶(售价不能高于元)，若设每瓶降价元
用含的代数式表示菖蒲酒每天的销售量.
每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？
44．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，函数和直线（k为常数，且）的图像如图所示，若函数与的图像有一个交点．
(1)求m，k的值；
(2)过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值．
45．（2022·福建三明·九年级统考期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树的高度．
46．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）若两个二次函数的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数的函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝x2+bx+c，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式．并求当0≤x≤4时，y2的取值范围．
47．（2022·福建南平·统考二模）某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t（单位：）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表：
最高气温t （单位：） 天数 每天销售量（瓶）
15 240
30 300
45 500
（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率；
（2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；
（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．
48．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）已知：抛物线的图象交x轴于点A、B(点A在点B的左侧，交y轴于点C，顶点为D．
(1)请在平面直角坐标系内画出二次函数的草图．
(2)连接AD、CD、AC，试判断的形状．
49．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某市为落实房地产调控政策，加快了廉租房的建设力度．第一年投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，累计连续三年共投资9.5亿元人民币建设廉租房.设每年投资的增长率均为．
（1）求每年投资的增长率；
（2）若每年建设成本不变，求第三年建设了多少万平方米廉租房．
50．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期末）知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：
时间 0 1 2 4 5 6 9 13 14 16 19 24 …
离地高度 0 24 96 386 514 616 850 994 1000 976 850 400 …
已知导弹在第分钟（为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面100千米时进入第三阶段．
（1）该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
（2）请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出的值．
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
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题组突破04 期末解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2022·福建漳州·九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)该抛物线交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
【答案】(1) y＝x2﹣6x＋5；(2) 当点P的坐标为（3，2）时，PA＋PC取最小值，最小值为5．
【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y=a（x-3）2-4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．
【详解】（1）∵当x=3时，y有最小值-4，
∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-4．
∵二次函数图象经过点（-1，12），
∴12=16a-4，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x-3）2-4=x2-6x+5．
（2）当y=0时，有x2-6x+5=0，
解得：x1=1，x2=5，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；
当x=0时，y=x2-6x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）．
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（5，0）、C（0，5）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+5．
∵B（5，0）、C（0，5），
∴BC=5．
∵当x=3时，y=-x+5=2，
∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．
2．（2022·福建·九年级专题练习）如图，在四边形中，，过点D作于E，若．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可．
【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四边形BEDG为正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；
（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE==，
∵四边形BEDG为正方形，
∴BG=BE=，
BC=BG-CG=-3，
设DF=x，则EF=-x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得：x=，
即DF的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
3．（2022·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度 …… 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量 …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请说明理由．
【答案】（1）选择二次函数，，理由见解析；（2）-6℃＜x＜4℃，理由见解析
【分析】（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a≠0），然后选择x=-2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据一次函数的点都在一条直线上排除一次函数；
（2）求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）选择二次函数，设，
∵时，，时，，时，，
∴，解得，
所以，关于的函数关系式为；
不选另外一个函数的理由：
∵点，，不在同一直线上，
∴不是的一次函数；
（2）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过，
∴平均每天该植物高度增长量超过，
当时，，
整理得，，解得，，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，实验室的温度应保持在-6℃＜x＜4℃.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，A的对应点分别为，，点落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出根据旋转的性质可得，，最后根据等边对等角即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长度，再根据旋转的性质可得，，即可求出的长度，最后根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：在中，，，
，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
，，
．
（2）∵，，，
，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等；在等腰三角形种，等边对等角；在直角三角形种，两直角边的平方和等于斜边的平方．
5．（2023·福建福州·统考二模）如图，是半圆O的直径，，D是上一点，，E是的中点，连接，，．
(1)求的大小；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由，得到是等边三角形，因此；
（2）延长交延长线于P，由等边三角形的性质，推出，得到，而，因此，即可证明是的中位线，因此．
【详解】（1）∵
∴
∴是等边三角形
∴
（2）延长交延长线于P
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴是的中位线
∴
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是延长交延长线于P，构造三角形的中位线．
6．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根．
(1)求的值；
(2)化简求值：．
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）根据题意可得，代入原式计算即可；
（2）根据题意确定的值及取值范围，化简原式并代入求值即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意，可得，
，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵是一元二次方程的两个实数根中较小的根，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及二次根式的化简求值，熟练掌握相关计算法则是解题关键．
7．（2022春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，求的值.
【答案】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，求出m的范围；
再根据m为正整数得出m的值即可．
【详解】解：∵一元二次方程+3x+m=0有两个不相等的实数根，
，
∴ ，
∵为正整数，
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
8．（2022秋·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）2012年4月，受“毒胶囊”事件的影响，某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价的，已知下调后每盒价格是10元/盒．
(1)该药品的原价是 元；
(2)4月底，各部门加大了对胶囊生产的管理力度，因此，药品价格开始回升，经过两个月后，该药品价格上调为14.4元/盒．问5、6月份该药品价格的月平均增长率是多少？
【答案】(1)15
(2)20%
【分析】（1）该药品的原价格=下调后每盒价格÷，依此列式即可求解；
（2）设5、6月份药品价格的月平均增长率是，由题意列出方程求出其解，检验其根是否使实际问题有意义就可以了．
【详解】（1）解：10÷=15（元）
答：该药品的原价是15元；
（2）设：5、6月份该药品价格的月平均增长率是x，
依题意，得：
解得：=20%，（不合题意，舍去）
答：5、6月份药品价格的月平均增长率是20%．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解增长率问题的运用，在解答中要注意一元二次方程的根要检验是否使实际问题有意义．
9．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）将A、B的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A、B的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，可得方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而得一次函数的表达式；（2）抛物线y=x2的顶点是原点O，设直线AB与x轴的交点为D，先根据直线AB的解析式求出D点坐标，然后根据△ADO的面积减去△OBD的面积=△OAB的面积即可求得．
△OAB的面积．
试题解析：解：（1）设A点坐标为（3，m）；B点坐标为（-1，n）．
∵A、B两点在y=x2的图象上，∴m=×9=3，
n=×1=．
∴A（3，3），B（-1，）．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，可得，
，解得
∴一次函数的表达式是．
（2）如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为（,0）,
S△ABC=S△ADC-S△BDC=××3-××1=2．
考点：二次函数与一次函数综合题．
10．（2022·福建龙岩·统考一模）已知，如图，A，B分别在x轴和y轴上，且OA=2OB，直线y1=kx+b经过A点与抛物线y2=﹣x2+2x+3交于B，C两点，
（1）试求k，b的值及C点坐标；
（2）x取何值时y1，y2均随x的增大而增大；
（3）x取何值时y1＞y2．
【答案】（1）y1=x+3，（，）（2）x＜1（3）当y1＞y2时，x＜0或x＞
【详解】（1）先求出B点的坐标，然后根据OA=2OB，继而求出A点的坐标，然后利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴，然后根据题给图形求解即可；
（3）根据图形及B和C点的坐标，然后进行求解即可．
11．（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D．
(1)确定△ABC外接圆的圆心O，并画出△ABC的外接圆⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若BC＝4，∠BAC＝45°，求⊙O的半径．
【答案】(1)作图见解析；(2)⊙O的半径为．
【分析】（1）作AB边的垂直平分线，相交于AD于点O，再以O为圆心，以OA长为半径画圆，⊙O即为所求的三角形的外接圆．
（2）连接BO，CO，由圆心角等于圆周角的二倍，可得∠BOC==2∠A=90°，得到△BOC是等腰直角三角形，在Rt△BOC中，利用勾股定理得⊙O的半径．
【详解】(1)如图，
(2)连接BO，CO，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC=4，OB=OC
根据勾股定理得OB2+OC2=BC2
即2OB2=42．
∴OB=
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了作三角形外接圆，主要利用了线段垂直平分线的作法，还考查了勾股定理解直角三角形，综合题．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2，求⊙O的半径及线段PB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为3，线段PB的长为．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，在Rt△OAB中根据勾股定理求出r，再证△DPB∽△CPA，得出＝，代入求出即可．
【详解】证明：（1）如图1，连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，
则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，
AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（5﹣r）2，
∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，
解得：r＝3，
∴AB＝AC＝4，
∵PD是直径，
∴∠PBD＝90°＝∠PAC，
又∵∠DPB＝∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴＝，
∴＝，
解得：PB＝．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.
13．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B=∠C=60°，由∠ADB＋∠EDC＝120°，根据等式性质求出∠BAD=∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；
（2）由（1）知道△ABD∽△DCE，对应边成比例得出，列方程解答即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
又∵∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE.
（2）由（1）△ABD∽△DCE可得：，
∴，
∴4(AB-4)=3AB，
∴AB=16.
过点A作AF⊥BC于F，则BF=BC=8，
在Rt△ABF中，AF==，
∴△ABC的面积为：.
【点睛】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．能够证明△ABD∽△DCE是解决问题的关键．
14．（2022·福建·统考一模）“普法知识竞赛”结束后，小张和小李将本单位所有参赛选手的正确答题数进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如图．
本次比赛参赛选手共有 人，条形统计图中“”这一组人 ；
赛前规定，每答对一题得分，求所有参赛选手的平均得分 （精确到分)
成绩前四名是名男生和名女生，若从他们中任选人作为获奖代表发言，试求选中男女的概率．
【答案】50，8；69.4分；
【分析】（1）用前两组的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“6.5～8.5”这两组的人数，然后计算“7.5～8.5”这一组的人数；
（2）根据加权平均数计算方法求解即可；
（3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1）（2+3）÷10%=50（人）
“6.5～8.5”两组的人数为：50×36%=18（人）
“7.5～8.5”这组的人数为：18-10=8（人）
故答案为：50，8；
（2）
（分）
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
15．（2023秋·九年级课时练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．
【答案】(1)详见解析
(2)旗杆的高度为9.6m
【分析】（1）根据相似三角形画出图形；
（2）根据相似三角形的性质求出的长度．
【详解】（1）影子，如图所示；
（2）∵，
∴，
∵．
∴，
∴，即，解得，
∴旗杆的高度为9.6m．
【点睛】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是证明三角形相似．
16．（2022秋·福建三明·九年级校考阶段练习）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1．从袋中一次随机摸出两个小球，把上面标注的两个数字分别作为点M的横、纵坐标．
（1）请用列表或画树状图的方法列出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线y=-x-1上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）应用列表法即可解决问题；
（2）根据概率公式计算即可；
【详解】（1）由题意：列表法可得：
点M的坐标为（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，1），（1，-1），（1，0）；
（2）∵（0，-1），（-1，0）在直线y=-x-1上，
∴P（点M在直线y=-x-1上）==．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，一次函数的应用、概率公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2022春·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点C（m2+2，3m﹣2），直线l经过点A（2，2），B（1，3）．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点C在直线l上，求m的值．
【答案】(1)直线l的解析式为y＝﹣x+4
(2)m1＝-4，m2=1
【分析】(1)设直线l解析式为：y＝kx+b，把A、B两点的坐标代入得一个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值，即可写出直线l的解析式．
(2)由于C点在直线l上，所以C点的坐标满足直线l的解析式．把C点坐标代入直线l的解析式中，求出m的值即可．
（1）设直线l解析式为：y＝kx+b，∵直线l经过点A（2，2），B（1，3）∴，解得：∴直线l的解析式为y＝﹣x+4；
（2）将C点坐标代入得3m﹣2＝﹣（m2+2）+4，解得m1＝-4，m2=1
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和点的坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程为
(1)求证:无论为何实数，方程总有实数根;
(2) 为何整数时，此方程的两个根都为正数.
【答案】（1）为任何实数方程总有实数根；（2）.
【分析】（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系列出方程，结合题目条件求解即可.
【详解】（1）
∴为任何实数方程总有实数根．
（2）设方程两根为，，则
由题可得，
∴或
∴
∵是整数，∴
【点睛】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
19．（2022春·福建泉州·九年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班 (用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请 根据相关信息，回答下列问题：
（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；
（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）图形见解析，216件；（2）
【分析】（1）由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图,再用36乘四个班的平均数即估计全校的作品数;
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）4个班作品总数为：件，所以D班级作品数量为：36-6-12-10=8;
∴估计全校共征集作品×36=324件．
条形图如图所示，
（2）男生有3名，分别记为A1，A2，A3，女生记为B，
列表如下：
A1 A2 A3 B
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B）
A2 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B）
A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B）
B （B，A1） （B，A2） （B，A3）
由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种．
所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为．
【点睛】考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
【答案】（1），；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【分析】（1）根据销售单价上涨x元，每天销售量减少瓶即可得，再根据“每瓶的利润售价成本价”即可得；
（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y达到300元”可建立关于x的一元二次方程，再解方程即可得；
（3）根据“每天的利润（每瓶的售价每瓶的成本价）每天的销售量”可得y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得．
【详解】（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少瓶，
则每天的销售量为瓶，
每瓶洗手液的利润是（元），
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得，，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）由题意得：，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．
21．（2023春·八年级课时练习）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．
22．（2022春·九年级课时练习）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【答案】（1）a=4；（2）①6；②（﹣1，）
【详解】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：，
解得：a=4．
（2）①由（1）抛物线解析式，
当y=0时，得：，解得：．
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0）．
当x=0时，得：y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
∴S△BCE=×6×2=6．
②∵，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．
连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：
，解得：．
∴直线BE解析式为．
将x=﹣1代入得：，
∴H（﹣1，）．
23．（2022秋·九年级单元测试）某化妆品专卖店，为了吸引顾客，准备在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有个红球和个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机中一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金卷的多少（如下表）：
甲种品牌 化妆品 球盐酸 两红 一红一白 两白
礼金卷（元） 6 12 6
乙种品牌 化妆品 球盐酸 两红 一红一白 两白
礼金卷（元） 12 6 12
（）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；
（）如果一个顾客当天在本店购物满元，若只考虑获得最多的礼品卷，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．
【答案】（）树状图见解析，；（）甲，理由见解析．
【分析】（1）摇奖机内有两红两白球，标记为红1，红2，白1，白2，连续摇出一红一白，先出来的球有四种情况，且概率相等，分别为红1，红2，白1，白2，画出树状图，再写出后出来球的情况，如上图所示进而找出一红一白的结果有8种，占所有可能出现的结果12种的三分之二；
（2）先在（1）的基础上再算出另外两种情况出现的概率，根据算出的概率，依据甲乙化妆品获得礼品卷的方案分别算出获得礼品卷，即可得到取获得礼品卷多的品牌化妆品．
【详解】解：（1）用树状图列出所有可能的结果：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好连续摇出一红一白的结果有8种，
所以P（一红一白）= ．
∴一次连续摇出一红一白两球的概率为．
（2）若顾客在本店购物满88元，由（1）得：P（两红）=， P（两白）= ．
若购买甲品牌化妆品，则获得礼品卷为6×+12×+6×=10（元）；
若购买乙品牌化妆品，则获得礼品卷为12×+6×+12×=8（元）．
∵10＞8，
∴顾客应选择购买甲品牌的化妆品．
【点睛】此题考查了概率的计算，列举法求事件的概率，熟练掌握列树状图的方法是解题的关键．
24．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）已知抛物线经过两点．
（1）求b的值；
（2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程的两实根，满足，且，求P的最大值．
【答案】（1）；（2）或；（3）17．
【分析】（1）根据点可得抛物线的对称轴为直线，由此即可得；
（2）先求出二次函数的增减性，再根据对称性可得时的函数值与的函数值相同，然后根据“当时，抛物线与轴有且只有一个公共点”分①这个公共点是顶点，②这个公共点不是顶点两种情况，分别建立关于的方程和一元一次不等式组，解方程和不等式组即可得；
（3）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，再将代入可得关于函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得最大值．
【详解】解：（1）抛物线经过两点，
此抛物线的对称轴为直线，
解得；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，
则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
由对称性可知，时的函数值与的函数值相同，
要使得当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，
①当这个公共点是顶点时，
则关于的一元二次方程只有一个实数根，
所以其根的判别式，
解得；
②当这个公共点不是顶点时，
则当时，；当时，，
即，
解得，
综上，的取值范围是或；
（3）方程的两实根为，且，
，即，
，
解得，
，
整理得：，
则在内，随的增大而减小，
所以当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
25．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．
（1）求的度数；
（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．
①试探究，的数量关系，并证明你的结论；
②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．
【答案】（1）60°；（2）①CE＋CF=2，理由见详解；②的周长会发生改变，周长最小值=2+．
【分析】（1）根据菱形的性质，可得∠BAD=120°，∠ABC=60°，进而即可求解；
（2）①先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再证明△BAE≌△CAF，可得BE＝CF，进而即可得到结论；②连接EF，可得是等边三角形，从而得周长=2+AE，即当AE最小时，周长最小，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）在菱形中，，
∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，即：=60°；
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．
∵∠EAF＝=60°，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC ∠EAC＝∠EAF ∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE= BC=AB=2；
②连接EF，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴是等边三角形，
∴EF=AE，
∵周长=CE+CF+EF=2+EF=2+AE，
∴的周长会发生改变，当AE最小时，周长最小，
∵AE⊥BC时，AE最小=BE= ×AB=××2=，
∴周长最小值=2+．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线，构造等边三角形是解题的关键．
26．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）写字是学生的一项基本功，为了了解某校学生的书写情况，随机对该校部分学生进行测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，回答以下问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）若该校共有2000名学生，估计该校书写等级为“D级”的学生约有 人；
（3）随机抽取了4名等级为“A级”的学生，其中有3名女生，1名男生，现从这4名学生中任意抽取2名，用列表或画树状图的方法，求抽到的两名学生都是女生的概率.
【答案】（1）补图见解析；（2）360；（3）P(抽到两名女生)=
【详解】【分析】（1）根据A级有8人，所占百分比为16%，用8除以16%得到参与测试的学生数，然后减去A级、C级、D级的人数得到B级的人数，据此即可补全条形统计图；
（2）用2000乘以D级所占的比例即可得；
（3）列表得到所有可能的结果，然后从中找到抽到的两名学生都是女生的情况数，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）8÷16%=50，
B级的人数：50-8-17-9=16，
条形图如图所示；
（2）估计该校书写等级为“D级”的学生约有：=360（人）；
（3）列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 (女1，女2) (女1，女2) (女1，男)
女2 (女2，女1) (女2，女3) (女2，男)
女3 (女3，女2) (女3，女2) (女3，男)
男 (男，女1) (男，女2) (男，女3)
由上表可知，总共有12种等可能结果，其中符合要求有6种，
所以P(抽到两名女生)=.
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率等，准确识图，能从统计图中得到相关信息是解题的关键.
27．（2022·福建·九年级专题练习）如图，已知，∠B＝90°．
(1)作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；
(2)若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线交AB于D，过点D作交AC于点O，以O为圆心，OD为半径作即可；
（2）利用勾股定理求出OA，再利用平行线分线段成比例定理求出BC即可．
【详解】（1）解：如图，⊙O即为所求作．
（2）解：∵AB是的切线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找圆心O的位置．
28．（2022秋·福建厦门·九年级福建省同安第一中学校考期中）若一个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，因为x1是x2的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．
（1）说明x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）若存在正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）m＝3．
【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可；
（2）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义，以及根的判别式求出m的值．
【详解】（1）∵x2+10x﹣75＝0，
（x﹣5）（x+15）＝0，
x1＝5，x2＝﹣15，
∵﹣15是5的﹣3倍，
∴x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）x2﹣（m+3）x+2m+2＝0
x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0
（x﹣2）（x﹣m﹣1）＝0
x1＝2，x2＝m+1，
∵x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×3m＝36﹣12m≥0，
解得m≤3，
∵正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，
∴m＝3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
29．（2022·福建厦门·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为；（3）AE=．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，应用等腰三角形的三线合一证得点D为BC的中点；
（2）应用等腰三角形的性质和判定证得BD=DE=3，进而求得BD=3，AD=1，应用勾股定理求得AB的长，即可得到半径的长；
（3）通过证明△CAB∽△CDE，应用相似三角形的性质解得CE的长，再求AE的长；
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴D是BC的中点．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠C=∠E，则DC=DE，
∴BD=DE=3，
又BD-AD=2，
∴AD=1，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=1，
∴AB=，
则⊙O的半径为；
（3）在△CAB和△CDE中，
∠B=∠E，∠C=∠C（公共角），
∴△CAB∽△CDE，
∴，
∵CA=AB=，
∴，
∴AE=CE-AC=-=．
30．（2022·福建·校联考中考模拟）如图，已知为等腰三角形.
(1)尺规作图：作的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若底边，腰，求(1)中的外接圆的半径.
【答案】(1)作图见解析；(2) .
【分析】（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．
（2）连接OB，连接OA交BC于点E．利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】(1)如图所示.
如图是所求作的的外接圆.
(2)连结，连结交于点，
∵是等腰三角形，底边，腰，
∴，.在中，
.
在中，.
∴
【点睛】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，勾股定理等知识，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心，重合利用参数构建方程解决问题．
31．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）在一个不透明的布袋里装有4个小球，球面上分别标有数字0，1，2，3，它们除数字外，没有任何区别，现将它们搅匀．
(1)随机地从袋中摸出1个小球，摸到的小球球面上数字为0的概率是多少？
(2)小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．请你运用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出满足条件的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据概率公式计算即可；
对于（2），画出树状图表示出所有可能，再确定符合条件的结果，最后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：一共有4个球，摸到的小球面上的数字是0有1种．
所以摸到的小球面上的数字是0的概率是；
（2）解：用树状图表示所有等可能的结果：
共有12种等可能的情况，其中满足y=x-2，即y-x=-2，
1-0=1，2-0=2，3-0=3，0-1=-1，2-1=1，3-1=2，0-2=-2，1-2=-1，3-2=1，0-3=-3，1-3=-2，2-3=-1，
满足条件的有2种结果．
则．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
32．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，AD＝CD，∠E＝68°，求∠ABC的度数．
【答案】44°
【分析】连接DB，由圆周角定理得∠A＝∠E＝68°，∠ADB＝90°，则∠ABD＝90°﹣∠A＝22°，再由圆周角定理得到∠DBC＝∠DBA＝22°，进而求出∠ABC的度数．
【详解】连接DB，如图所示：
∵∠E＝68°，
∴∠A＝68°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣68°＝22°，
∵AD＝CD，
∴，
∴∠DBC＝∠DBA＝22°，
∴∠ABC＝∠DBC＋∠DBA＝22°＋22°＝44°．
故答案为44°
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键
33．（2022秋·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设B点关于对称轴的对称点为C，抛物线L：y＝mx2（m≠0）与线段BC恰有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）由于BC∥x轴，把B、C两点坐标代入y=mx2可计算出对应的m的值，然后根据抛物线L：y＝mx2（m≠0）与线段BC恰有一个公共点可确定m的范围．
【详解】（1）把A（2，-3）和B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3．
（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4．
∴对称轴为直线x=1，
∵B（4，5），
∴B点关于对称轴的对称点C点坐标为（-2，5），
当L：y＝mx2过C点时，代入C（-2，5），则，此时二次函数解析式为，与直线交点为（-2，5）（2，5），与线段BC有两个交点；
当L：y＝mx2过B点时，代入B（4，5），则，此时二次函数解析式为，与直线交点为（-4，5）（4，5），与线段BC只有一个交点；
所以m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
34．（2022·福建莆田·莆田第二十五中学校考一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（l） ， ；（2）、 ， ，
【分析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.
（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.
【详解】（l）过点作轴于点
∵
∴
∴
∵∴
在中，
∴∴
∵经过点 ∴ ∴
∴反比例函数表达式为
∵经过点，点
∴解得
∴一次函数表达式为
（2）本题分三种情况
①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、
②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点
③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求
由（1）得，
在中，
∵
∴∴∴∴
∴
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.
35．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆 围成．已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米，若平行于墙的一边长不小 于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】最大值是 m2,最小值是88m2,理由见解析.
【分析】由“平行于墙的一边长不小于8米、墙长为18米”可得x的范围，根据矩形的面积公式得出S关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质可得最值情况．
【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边长为30-2x米，
根据题意得
∵S=x（30-2x）=-2x2+30x=-2
8≤30-2x≤18，
解得：6≤x≤11，
∴当x＞时，S随x的增大而减小，
∴当x=7.5时，S最大值=；
当x=11时，S最小值=11×（30-22）=88．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式得出函数解析式是解题的根本，由题意求得x的范围，结合函数的性质求得最值是解题的关键．
36．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）观察下面一元二次方程的解法：
①；
解：这里，，，，
所以，方程的根为，即，．
②；
解：这里，，，，
所以，方程的根为，
即，．
【观察思考】
（1）方程①的两个根都是有理数（称为有理数根），而方程②的两个根是含有无理数的实数根．若一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数，应满足的条件是________；
【问题解决】
（2）若一元二次方程有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数的值．
【答案】（1）的值能够从二次根号内开尽方；（2）满足条件的正整数的值为2或3
【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式，只有当为完全平方数时，一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数；
（2）先利用根的判别式的意义得到，则或2或3，然后依次进行判断，最后得出符合条件的值．
【详解】解：（1）的值能够从二次根号内开尽方．
（或者的值能够化成某个有理数平方的形式）；
（2）因为，
所以，．
又因为是正整数，所以或2或3．
经验证，当时，开不尽方，不符合条件；
当时，；当时，，都符合条件，
因此，满足条件的正整数的值为2或3．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若是一元二次方程 的两根时，．也考查了根的判别式的意义和解一元二次方程．
37．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区城进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地用（空白处），求原正方形空地的边长．
【答案】
【分析】设正方形边长为x，根据剩余一块面积为的矩形列式求解即可得到答案；
【详解】解：设正方形边长为x，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
答：原正方形空地的边长；
【点睛】本题考查一元二次方程实际应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式．
38．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点.
（1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
（2）如图2，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若，，，，请直接写出的值.
【答案】（1）详见解析；（2）当时，成立.（3）
【分析】（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程，求出，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴
（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
即当∠B+∠EGC=180°时，成立.
（3）解：
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
在Rt△CMB中，，BM=AM-AB=x-6，
由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，
x=0（舍去），
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
39．（2023·福建泉州·统考一模）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即．
【详解】（1）证明：∵AB∥EF
∴．
∵CD∥EF
∴，
∴，
∴；
（2）关系式为：，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即．
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
40．（2022春·福建福州·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点F，点C与点E分别是对应点（如图所示），观察对应点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点F，点C与点E的坐标
（2）若点P（a+9，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
【答案】（1）（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（4，2），点F的坐标为（﹣4，﹣2），点C的坐标为（1，1），点E的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）a=﹣3，b=﹣1．
【详解】试题分析：（1）根据坐标与图形的性质写出各点的坐标；
（2）找出对应点的横纵坐标之间的关系，列式计算即可．
解：（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（4，2），点F的坐标为（﹣4，﹣2），点C的坐标为（1，1），点E的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由对应点的坐标可知，对应点的横、纵坐标互为相反数，
∴a+9+2a=0，4﹣b+2b﹣3=0，
解得，a=﹣3，b=﹣1．
【点评】本题考查的是几何变换的类型，根据题意找出对应点的横纵坐标之间的关系是解题的关键．
41．（2022秋·福建泉州·九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装着四个完全相同的小球，分别标有数字1，﹣2，3，4，从袋中随机取出一个小球，用小球上的数字作为x（不放回），再取出一个小球，用小球上的数字作为y，确定一个点的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或者画树状图法表示点的坐标的所有可能结果；
（2）求点位于平面直角坐标系中的第二象限的概率．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中树状图求得点位于平面直角坐标系中的第二象限的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵点位于平面直角坐标系中的第二象限的有：（﹣2，1），（﹣2，3），（﹣2，4），
∴P（在第二象限）==．
考点：列表法与树状图法．
42．（2022秋·九年级单元测试）已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求．
【答案】
【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出的取值范围，然后由得出或，再运用一元二次方程根与系数的关系求出的值，由的几何意义，可知．如果过作于，则．易证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，最后由，得出结果．
【详解】解：有两根，
，
即．
由得：．
当时，，解得，不合题意，舍去；
当时，，，
解得：符合题意．
，
双曲线的解析式为：．
过作于，则．
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
43．（2022·福建·九年级校联考阶段练习）运城菖蒲酒产于山西垣曲.莒蒲酒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪.菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化.菖蒲酒每瓶的成本价是元，某超市将售价定为元时，每天可以销售瓶，若售价每降低元，每天即可多销售瓶(售价不能高于元)，若设每瓶降价元
用含的代数式表示菖蒲酒每天的销售量.
每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）售价定为元时，有最大利润，最大利润为元.
【分析】 ⑴ 依据题意列出式子即可；
⑵ 依据题意可以得到y=-5（x-4）2+1280 解出x=4时，利润最大，算出售价及最大利润即可.
【详解】解： 莒蒲酒每天的销售量为.
设每天销售菖蒲酒获得的利润为元
由题意，得.
当时，利润有最大值，即售价定为元时，有最大利润，最大利润为元.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程实际生活中的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键.
44．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，函数和直线（k为常数，且）的图像如图所示，若函数与的图像有一个交点．
(1)求m，k的值；
(2)过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）把交点的坐标代入函数的解析式，先计算m的值，再代入解析式计算即可．
（2）根据，得到，，分类利用中点坐标公式建立等式计算求解即可．
【详解】（1）∵函数和直线（k为常数，且）的图像有一个交点，
∴，
∴，
把点代入，得，
，
解得，
故．
（2）∵点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，且数和直线，
∴，，
当点B是线段的中点时，根据题意，得，整理，得，
∵，
∴方程无解；
当点C是线段的中点时，根据题意，得，整理，得，
解得，；
当点P是线段的中点时，根据题意，得，整理，得，
解得，（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，方程的解法，熟练掌握待定系数法，交点的意义是解题的关键．
45．（2022·福建三明·九年级统考期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树的高度．
【答案】树高5.5m．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【详解】解：在△DEF和△DCB中，
，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
即树高5.5m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
46．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）若两个二次函数的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数的函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝x2+bx+c，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式．并求当0≤x≤4时，y2的取值范围．
【答案】（1）y＝2(x﹣3)2+4与y＝3(x﹣3)2+4；（2）函数y2的表达式为：y2＝x2﹣2x+1；当0≤x≤4时y2的取值范围为0≤y2≤9
【分析】（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，根据“同簇二次函数”的含义，取h=3，k=4，a分别取2和3即可；
（2）由y1的图象经过点A(1，1)，可求得y1的函数解析式，再由y1+y2与y1为“同簇二次函数”，可求得y1+y2的函数解析式，从而可求得y2的函数解析式；根据所求y2的解析式并结合函数的图象与性质，即可求得当0≤x≤4时，y2的取值范围．
【详解】（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
当a＝2，h＝3，k＝4时，
二次函数的关系式为y＝2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a＝3，h＝3，k＝4时，
二次函数的关系式为y＝3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y＝2（x﹣3）2+4与y＝3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1＝1．
整理得：m2﹣2m+1＝0．
解得：m1＝m2＝1．
∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+x2+bx+c＝3x2+（b﹣4）x+（c+3），
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2＝3（x﹣1）2+1＝3x2﹣6x+4，
∴函数y2的表达式为：y2＝x2﹣2x+1．
∴y2＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴函数y2的图象的对称轴为x＝1．
∵a＝1＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
当0≤x≤4时，x＝1时，y＝0最小，x＝4时，y＝9最大，
∴y2的取值范围为0≤y2≤9．
【点睛】本题是一个新定义问题，考查了二次函数的图象与性质，关键是弄懂“同簇二次函数”的含义，掌握二次函数的图象与性质，并数形结合．
47．（2022·福建南平·统考二模）某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t（单位：）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表：
最高气温t （单位：） 天数 每天销售量（瓶）
15 240
30 300
45 500
（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率；
（2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；
（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．
【答案】（1）这种乳制品一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.5；（2）六月份一天需求量的平均数为390瓶；（3）估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润是23400元
【分析】（1）求得最高气温低于25℃的频率后利用频率估计概率即可求得答案；
（2）用平均数公式计算即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】解：（1）这种乳制品一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于，由表格数据知，最高气温低于的频率为，
所以这种乳制品一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.5；
（2）六月份一天需求量的平均数（瓶）
答：六月份一天需求量的平均数为390瓶；
（3）（元）
答：估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润是23400元
【点睛】本题考查了用频率估计概率以及统计的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率，难度不大．
48．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）已知：抛物线的图象交x轴于点A、B(点A在点B的左侧，交y轴于点C，顶点为D．
(1)请在平面直角坐标系内画出二次函数的草图．
(2)连接AD、CD、AC，试判断的形状．
【答案】(1)见解析；(2)是直角三角形．
【分析】（1）根据图象与x轴的交点坐标求法，即y=0，求出x即可，根据图象y轴的交点坐标求法，即x=0，求出y即可，顶点为D，可以配方法求出解析式；
（2）因为的三边长满足，即可得为直角三角形．
【详解】(1)如图所示，正确标出点A、B、C、D的位置，并画出抛物线的对称轴、用平滑曲线画出抛物线
(2)∵
∴ 是直角三角形
【点睛】此题考查二次函数图象，解题关键在于利用配方法确定特殊点．
49．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）某市为落实房地产调控政策，加快了廉租房的建设力度．第一年投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，累计连续三年共投资9.5亿元人民币建设廉租房.设每年投资的增长率均为．
（1）求每年投资的增长率；
（2）若每年建设成本不变，求第三年建设了多少万平方米廉租房．
【答案】（1）50%；（2）18．
【详解】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2013年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；
（2）根据题意可得2（1+）2×4=18（万平方米）．
试题解析：（1）依题意，得2+2（1+）+2（1+）2=9.5，
整理得：，解得x1 = 0.5=50%，x2 =-3.5（不合题意舍去）．
答：每年投资的增长率为50%；
(2) 2（1+50%）2×4=18（万平方米）．
答：第三年建设了18万平方米廉租房．
考点: 一元二次方程的应用.
50．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期末）知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：
时间 0 1 2 4 5 6 9 13 14 16 19 24 …
离地高度 0 24 96 386 514 616 850 994 1000 976 850 400 …
已知导弹在第分钟（为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面100千米时进入第三阶段．
（1）该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
（2）请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出的值．
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
【答案】（1）发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米；（2），；（3）导弹发射分钟熄火．
【分析】（1）根据表格的数据，即可得到答案；
（2）结合表格中的数据，设函数解析式为，利用待定系数法进行解题，即可求出答案；
（3）令，代入函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据表格中的数据可知，发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米．
（2）根据表中数据可知第二阶段的曲线为抛物线，
可设抛物线为，将点代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当，1，2，4，5时，依次为，，136，400，514．
∴．
∴导弹在第5分钟开始进入飞行第二阶段；
（3）令，则，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：导弹发射分钟熄火．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的求出抛物线的解析式
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