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题组突破03 期末选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．3x+2y＝12 C．+y＝0 D．
2．（2023·山东青岛·统考一模）剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．下列剪纸图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
5．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A．x﹣y2=1 B．﹣1=0
C．5（x﹣1）2=3（x+2）2+2x2 D．=0
6．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东聊城·统考三模）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考期中）用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东佛山·统考二模）关于反比例函数，在下列说法中，错误的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．的值随值的增大而减小
C．点在函数图象上 D．函数图象与轴没有交点
11．（2022秋·九年级单元测试）如图，在⊙O中，半径r=10，弦AB=16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（ ）
A．10 B．16 C．6 D．8
12．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，则的度数为（ ）
A．130° B．140° C．145° D．150°
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．14cm B．16cm C．25cm D．32cm
14．（2023·广东广州·校考一模）从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）在平面直角坐标系内，将抛物线经过两次平移后，得到的新抛物线为.下列对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝－2 B．m＝-3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
17．（2022秋·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知中点的坐标为（4，2），以坐标原点为位似中心，在第三象限内，将边长放大2倍得到了，则点对应点的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（8，4）
18．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（ ）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上， 连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长． ：如图，∵，∴． ∵，，，，∴． ：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．
结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
19．（2022秋·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点，，在圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022春·四川成都·八年级成都实外校考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．“买一张彩票中奖”发生的概率是0
B．“软木塞沉入水底”发生的概率是0
C．“太阳东升西落”发生的概率是1
D．“投掷一枚骰子点数为8”是确定事件
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ）
A． B．2 C． D．3
22．（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
23．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面宽8米时，水面下降了（ ）
A．米 B．2米 C．米 D．米
25．（2022·浙江金华·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．2
26．（2022春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
27．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，当时自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
28．（2022·广东茂名·校考模拟预测）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
29．（2022秋·九年级单元测试）△ABC∽△A,B,C,，相似比为3：4，那么面积的比是_____．
A．3:4 B．9:16 C．6:8 D．4:5
30．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．（2022春·八年级单元测试）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20
32．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）二次函数的图象与轴交点的横坐标是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
33．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
34．（2022秋·九年级课时练习）“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为【 】
A． B． C． D．
35．（2022春·九年级课时练习）如果L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )
A．AB经过圆心O B．AB是直径
C．AB是直径,B是切点 D．AB是直线,B是切点
36．（2022秋·青海海东·九年级统考期末）下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·浙江杭州·九年级）如图，在梯形中，，，，，，若，且梯形与梯形的周长相等，则的长为（ ）
A． B． C． D．
38．（2022·山东威海·统考一模）如图，AB，CD是圆O的两条弦，两弦相交于点P，OP平分∠BPD，则与的大小关系为（ ）
A．= B．＜ C．＞ D．无法确定
39．（2022·河南焦作·统考模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
40．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝35°，则∠OBA的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．55°
41．（2022秋·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
42．（2022秋·海南·九年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=70°，那么∠CEF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．45°
43．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知点A(x1，y1)，B (x2，y2)是反比例函数(k＜0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
44．（2022秋·九年级单元测试）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
45．（2022春·广东·八年级校考期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B、A、C′在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是( ).
A．90° B．120° C．150° D．160°
46．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（ ）
A．3 B． C．或3 D．1或
47．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
48．（2022春·八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（ ）
A． B． C． D．
49．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期末）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10πcm2 B．14πcm2 C．20πcm2 D．28πcm2
50．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
51．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
52．（2022秋·九年级课时练习）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
53．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣） D．（1，﹣）
54．（2022·河北·九年级专题练习）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=，弧AB的长为12cm，则该圆锥的侧面积为( )
A．12 B．56 C．108 D．144
55．（2022秋·辽宁营口·九年级阶段练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
56．（2022·安徽·九年级专题练习）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
57．（2022·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点坐标为，连结、，有以下说法：
①；
②当时，的值随的增大而增大；
③当时，；
④面积的最小值为．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
58．（2022春·重庆万州·九年级统考期中）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（ ）
A． B． C．D．
59．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
60．（2022秋·浙江温州·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
61．（2022春·海南海口·九年级阶段练习）已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a= ．
62．（2022春·云南曲靖·八年级校考阶段练习）设、是反比例函数图象上的两点，且当<<0 时， >>0，则k 0 （填“>”或“<”）．
63．（2022秋·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，与交于点，要使，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
64．（2022·广东佛山·校联考一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
65．（2022春·上海·八年级专题练习）方程的解是 ．
66．（2022·内蒙古赤峰·统考一模）如图，已知⊙O内切于边长为2的正方形ABCD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
67．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
68．（2022秋·九年级单元测试）如图，在中，如果，，，则的值为 ．
69．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，则弦的长度是 .
70．（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是 ．
71．（2022秋·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考阶段练习）一元二次方程配方后的结果是，则的值为 ．
72．（2022·全国·九年级专题练习）若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是 ．
73．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A( 6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
74．（2023·广西南宁·统考一模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm．
75．（2022秋·上海·八年级专题练习）若是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m ，n＝ ．
76．（2022春·九年级单元测试）若圆锥底面圆的直径和母线长均为4cm，则它的侧面展开图的面积等于 cm2 .
77．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．
78．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，若正方形的边长是一元二次方程的一个根，点在边上若四边形是边长为的正方形，则阴影部分的面积是
79．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期末）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．则y与x之间的函数关系式是 ．
80．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知是关于的方程的一个根，则 ．
81．（2022秋·九年级单元测试）一个袋中装有6个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
82．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ．
83．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是 .
84．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，若，添加一个条件使，则添加的条件是 ．
85．（2022春·九年级单元测试）已知 = ，那么 的值是 ．
86．（2022秋·陕西西安·九年级阶段练习）如果反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该函数的图象在第 象限．
87．（2022秋·九年级单元测试）已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为9，△DEF的面积为1，则△ABC与△DEF的周长之比为 .
88．（2022春·八年级课时练习）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则 0； 0．（填“＞”，“＝”，或“＜”）
89．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
90．（2022·江苏无锡·九年级校联考期末）在中，， ，，若P是以为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接，过P向下作，且有，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是 ．
91．（2023春·八年级单元测试）已知，与成正比例，与成反比例；并且当时，；当时，，则当时的值为 ．
92．（2023·广东珠海·统考一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．过点作轴平行线与过点作轴平行线交于点，则的面积为 ．
93．（2022秋·九年级单元测试）从、、、、这个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程中有两个相等的实数根的概率是 ．
94．（2023·山东青岛·统考二模）如图，是等腰三角形，是底边上的一点，半圆与交于，两点，与相切于点，若＝，则的长为 ．
95．（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）如图，在中，，的半径为4，点P是上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则的最小值为 ．
96．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）从一副洗匀的普通扑克牌中随机抽取一张，则抽出红桃的概率是 ．
97．（2022春·北京西城·八年级统考期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大原来的倍，使，得到；将绕原点旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到．如此下去，得到．
（）的值为 ．
（）在中，点的坐标是 ．
98．（2011·四川广元·中考真题）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程的两根，且O1O2=1，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ．
99．（2022春·江苏盐城·九年级校联考期中）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为 米（精确到0.1米）．
100．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．
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题组突破03 期末选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．3x+2y＝12 C．+y＝0 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】A．当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次方程的定义，熟记定义是解题关键．
2．（2023·山东青岛·统考一模）剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．下列剪纸图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
4．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这一事件是随机事件，即不确定事件，
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A．x﹣y2=1 B．﹣1=0
C．5（x﹣1）2=3（x+2）2+2x2 D．=0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的概念(只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程)判断即可．
【详解】A选项：
∵x-y2=1含有两个未知数，
∴x-y2=1不是一元二次方程；
B选项：
∵﹣1=0是分式方程，
∴﹣1=0不是一元二次方程；
C选项：
由5（x-1）2=3（x+2）2+2x2，
可得22x+7=0，
∵22x+7=0的未知数的最高次数是1，
∴5（x-1）2=3（x+2）2+2x2不是一元二次方程；
D选项：
∵=0中只有一个未知数且未知数最高次数为2，
∴＝0是一元二次方程．
故选D.
【点睛】考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
6．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【详解】A. 图形绕着圆心旋转与原图形重合，故此项正确；
B. 图形绕着圆心旋转与原图形不重合，故此项错误；
C. 图形绕着圆心旋转与原图形不重合，故此项错误；
D. 图形绕着圆心旋转与原图形不重合，故此项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，掌握定义是解题的关键．
7．（2022·山东聊城·统考三模）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【详解】试题分析：根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
解：如图所示：
∵OE⊥AB，∴AE=AB=4．
在直角△AOE中，AE=4，OE=3，
根据勾股定理得到OA==5，
则⊙O的半径是5．
故选C．
考点：垂径定理；勾股定理．
8．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【详解】解：设设纸带的宽为x cm，
所以整个挂画的长为cm，宽为，
根据题意，得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，再列出一元二次方程．
9．（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考期中）用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，
合并得：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．
10．（2023·广东佛山·统考二模）关于反比例函数，在下列说法中，错误的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．的值随值的增大而减小
C．点在函数图象上 D．函数图象与轴没有交点
【答案】B
【分析】直接利用反比例函数的增减性、图象分布、图象上点的坐标特点分别分析得出答案．
【详解】解：A、∵，∴图象位于第一、三象限，正确，故此选项不合题意；
B、反比例函数，每个象限内，y的值随x的值增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意；
C、点在函数图象上，正确，故此选项不合题意；
D、函数图象与轴没有交点，正确，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关反比例函数的性质是解题关键．
11．（2022秋·九年级单元测试）如图，在⊙O中，半径r=10，弦AB=16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（ ）
A．10 B．16 C．6 D．8
【答案】C
【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的求得AC=8，由勾股定理求出OC=6，由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短为6即可．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴AC=AB=×16=8，
∵⊙O的半径r=10，
∴OA=10，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC==6，
由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短=OC=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，则的度数为（ ）
A．130° B．140° C．145° D．150°
【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．14cm B．16cm C．25cm D．32cm
【答案】B
【分析】如图，过作于 过作于再利用相似三角形的对应高之比等于相似比列方程，再解方程即可.
【详解】解：如图，过作于 过作于
由小孔成像原理可得：
而
所以（cm），经检验符合题意.
故选B
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应高之比等于相似比”是解本题的关键.
14．（2023·广东广州·校考一模）从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列举法求出所有和的个数，以及和为奇数的个数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】任意取出2个数做加法，出现答案有3，4，5，5，6，7，共6种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种，
∴和为奇数的概率；
故选C．
【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法求概率的方法，是解题的关键．
15．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）在平面直角坐标系内，将抛物线经过两次平移后，得到的新抛物线为.下列对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律去判断即可.
【详解】∵2-3=-1，
∴将抛物线向右平移3个单位；
∵-3-1=-4，
∴将抛物线向下平移1个单位；
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，熟记平移规律，牢记平移的位置，准确计算平移距离是解题的关键.
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝－2 B．m＝-3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
【答案】A
【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2代入即可；
【详解】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴Δ＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2+m，
∵两个实数根的平方和为12，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系，灵活运用完全平方公式．
17．（2022秋·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知中点的坐标为（4，2），以坐标原点为位似中心，在第三象限内，将边长放大2倍得到了，则点对应点的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（8，4）
【答案】B
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，
∴点B对应点B′的坐标为：[4×（-2），2×（-2）]即（-8，-4）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
18．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（ ）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上， 连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长． ：如图，∵，∴． ∵，，，，∴． ：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．
结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
【答案】D
【分析】分两种情况分析；，，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图所示：
∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅰ正确；
第二种情况：如图所示：
∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅱ正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用相似三角形的性质求解，结合图形进行分类讨论是解题关键．
19．（2022秋·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点，，在圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在等腰△AOB中求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求出∠ACB．
【详解】∵OA=OB
∴∠OAB=∠ABO=65°
∴∠AOB=180°-65°-65°=50°
∴∠ACB=∠AOB=25°
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
20．（2022春·四川成都·八年级成都实外校考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．“买一张彩票中奖”发生的概率是0
B．“软木塞沉入水底”发生的概率是0
C．“太阳东升西落”发生的概率是1
D．“投掷一枚骰子点数为8”是确定事件
【答案】A
【分析】直接利用概率的意义以及事件的确定方法分别分析得出答案．
【详解】A、“买一张彩票中奖”发生的概率是0，错误，符合题意；
B、“软木塞沉入水底”发生的概率是0，正确，不合题意；
C、“太阳东升西落”发生的概率是1，正确，不合题意；
D、“投掷一枚骰子点数为8”是确定事件，正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率的意义以及事件的确定方法，解题关键是正确理解概率的意义．
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】设方程的另一个解为，根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得.
【详解】解：设方程的另一个解为，
根据根与系数的关系可得：，
解得：；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两根，则.
22．（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴；
∴k的取值范围为且；
故选：C
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
23．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据试验结果发生的可能性判断即可．
【详解】解：①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”，可能性相同；
②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”， 可能性相同；
③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”， 摸出“红球”的可能性大，可能性不同．
故选：C．
【点睛】本题考查了试验结果的可能性大小，解题关键是准确理解试验，判断发生的可能性大小．
24．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面宽8米时，水面下降了（ ）
A．米 B．2米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标，求出二次函数解析式，再根据把代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
由题意可得：米，C坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点A点坐标代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得．
∴水面下降米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
25．（2022·浙江金华·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】直接利用圆周角定理得到∠BOC=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，牢记一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半是解题的关键．
26．（2022春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【分析】直接利用圆周角定理可求得∠ACB的度数．
【详解】∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，
∴∠ACB=∠AOB=100°=50．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．
27．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，当时自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据图象，写出函数图象在x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，当或时，
故选：C
【点睛】本题考查了利用二次函数图像解不等式，正确利用数形结合的思想求解 是解题关键．
28．（2022·广东茂名·校考模拟预测）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可．
【详解】解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm,
∴=cm．
故选择B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键．
29．（2022秋·九年级单元测试）△ABC∽△A,B,C,，相似比为3：4，那么面积的比是_____．
A．3:4 B．9:16 C．6:8 D．4:5
【答案】B
【详解】试题分析：由题意分析，相似比是3:4，所以面积比=相似比的平方=3:16，故选B
考点：相似三角形
点评：本题属于对三角形相似比和相似三角形面积的基本知识和考点的运用
30．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．
31．（2022春·八年级单元测试）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20
【答案】B
【详解】解：设有n人参加聚会，
则每人送出（n﹣1）件礼物，
由题意得：n（n﹣1）=20．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
32．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）二次函数的图象与轴交点的横坐标是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【详解】试题分析：令y=0,把函数转化为方程,根据十字相乘法求出方程的根 ,从而求出二次函数的图象与x轴交点的横坐标和．
故选B．
考点：抛物线与x轴的交点．
33．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：一共有6个数，偶数有3个，所以抽到的座位号是偶数的概率是=．故选C．
考点：概率公式．
34．（2022秋·九年级课时练习）“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为【 】
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：1﹣﹣=．故选D．
35．（2022春·九年级课时练习）如果L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )
A．AB经过圆心O B．AB是直径
C．AB是直径,B是切点 D．AB是直线,B是切点
【答案】C
【详解】试题分析：根据切线垂直于经过切点的半径即可得到结果.
由题意得还需要添加的条件是AB是直径，B是切点，故选C.
考点：切线的判定
点评：切线的判定是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.
36．（2022秋·青海海东·九年级统考期末）下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断即可；
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，正确掌握知识点是解题的关键；
37．（2022·浙江杭州·九年级）如图，在梯形中，，，，，，若，且梯形与梯形的周长相等，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两梯形的周长相等可得AD＋AE＋EF＋FD＝EF＋EB＋BC＋CF继而可得：AD＋AE＋FD＝EB＋BC＋CF＝(AD＋AB＋BC＋CD)＝11，设＝k，则AE，DF，都可用k表示出来，从而可得出k的值，再运用平行线分线段成比例的性质定理即可解出EF的长．
【详解】解：由已知AD＋AE＋EF＋FD＝EF＋EB＋BC＋CF，
∴AD＋AE＋FD＝EB＋BC＋CF＝(AD＋AB＋BC＋CD)＝11
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴
设=k
AE＝ ，
DF＝，
AD＋AE＋FD＝3＋+=
∴=11
∴解得：k＝4，
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC CH＝9 3＝6，
∵，
∴EG＝BH＝，
∴EF＝EG＋GF＝+3=．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例的知识、比例的性质，综合性较强，注意平行线分线段成比例定理的理解及运用．
38．（2022·山东威海·统考一模）如图，AB，CD是圆O的两条弦，两弦相交于点P，OP平分∠BPD，则与的大小关系为（ ）
A．= B．＜ C．＞ D．无法确定
【答案】A
【分析】由角平分线的性质得到OM=ON，再根据垂径定理可以得到AB=CD，再根据同圆中等弦对的劣弧相等的性质，可求解.
【详解】
如图过O作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，连接OD、OB，
∵OP平分∠BPD，
∴OM=ON，
在Rt△DMO和Rt△BON中，
由勾股定理得：DM2=OD2﹣OM2，BN2=OB2﹣ON2，
∵OB=OD，
∴BN=DM，
由垂径定理得：CD=2DM，AB=2BN，
∴AB=CD．
∴=，
∴，
即.
故选A.
39．（2022·河南焦作·统考模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点D作DT⊥x轴于点T，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D的坐标，发现规律，进而求出第2025次旋转结束时，点D的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2025次旋转结束时，点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转及点的坐标、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
40．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝35°，则∠OBA的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．55°
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝70°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OBA的度数．
【详解】∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
41．（2022秋·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC．
【详解】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力．
42．（2022秋·海南·九年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=70°，那么∠CEF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．45°
【答案】D
【详解】试题分析：由旋转的性质可得∠BCE=∠DCF=90°，且CE=CF，可得∠CEF=45°，
故选D．
考点：1、旋转的性质；2、正方形的性质
43．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知点A(x1，y1)，B (x2，y2)是反比例函数(k＜0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【答案】B
【分析】首先根据系数判定函数的图象在二、四象限，再根据x1＜0＜x2，可比较出y1、y2的大小，进而得到答案．
【详解】解：由反比例函数(k＜0)，可知函数的图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限，y1＞0，B（x2，y2）在第四象限，y2＜0，
∴y2＜0＜y1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.
44．（2022秋·九年级单元测试）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【答案】D
【分析】先把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得m=2，则方程为x2-10x+24=0，利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【详解】把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0，解得m=2，
则方程为x2-10x+24=0，
（x-4）（x-6）=0，
所以x1=4，x2=6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周长为14或16．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
45．（2022春·广东·八年级校考期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B、A、C′在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是( ).
A．90° B．120° C．150° D．160°
【答案】C
【分析】根据旋转角的定义，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可求解．
【详解】旋转角是∠BAB′=180°-30°=150°．
故选C．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
46．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（ ）
A．3 B． C．或3 D．1或
【答案】A
【分析】把x=0代入原方程可得关于m的方程，解关于m的方程即可得到m的值．
【详解】解：由题意可得：
，
解之可得：m=3或m=-1（不合题意，舍去），
∴m=3，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程及其根的意义和一元二次方程的解法是解题关键．
47．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
48．（2022春·八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．
【详解】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG∥BC，HF∥AD是本题的关键．
49．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期末）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10πcm2 B．14πcm2 C．20πcm2 D．28πcm2
【答案】A
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是圆锥的计算，解题关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
50．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向得到a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴为直线x=，得到a+b=0，可对②进行判断；当x=-1时，由图象可知y＜0，即可对③进行判断；根据顶点坐标为，代入函数解析式，以及抛物线的对称轴为，可对④进行判断．
【详解】①∵由图象可知抛物线开口向下
∴a<0
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方
∴c>0
∴
故①正确
②∵抛物线的对称轴为直线x=
∴
∴
故②正确
③当x=-1时，由图象可知y＜0
∴y=a-b+c＜0
∴a+c＜b
故③错误
④∵抛物线顶点坐标为
∴
∵b=-a
∴
∴
故④正确
综上所述①②④正确
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，通过图象性质可判定二次函数的系数之间关系．
51．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出∠B＝∠CDO，得出∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，再根据CD＝10，CO＝5，得出DO＝5，进而得出答案．
【详解】解：连接CA并延长到圆上一点D，
∵CD为直径，
∴∠COD＝∠yOx＝90°，
∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD＝10，CO＝5，
∴DO＝5，
∵∠B＝∠CDO，
∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，
∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数的定义，正确得出∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值是解决问题的关键．
52．（2022秋·九年级课时练习）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【答案】B
【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
53．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣） D．（1，﹣）
【答案】A
【分析】根据图象可知函数经过点（-1，0），（3，0），（0，-1），根据待定系数法即可求得函数的解析式，再得出顶点坐标即可．
【详解】根据图象可知函数经过点（-1，0），（3，0），（0，-1），
设二次函数的解析式是：y=ax2+bx+c．
根据题意得：
．
解得：a=，b=-，c=-1．
则函数的解析式是：y=x2-x-1，
顶点坐标为（1，-）
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求解析式，掌握顶点坐标的公式是解题的关键．
54．（2022·河北·九年级专题练习）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=，弧AB的长为12cm，则该圆锥的侧面积为( )
A．12 B．56 C．108 D．144
【答案】C
【分析】首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
【详解】设AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，
∴=12π，
解得：R=18，
∴圆锥的侧面积为lR=×12π×18=108π，
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
55．（2022秋·辽宁营口·九年级阶段练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：正确画出树状图（或列表）：
所以任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是，故选A．
考点：简单事件的概率
56．（2022·安徽·九年级专题练习）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算一元二次方程根的判别式，进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、，所以方程有两个不相等的实数根；
B、，所以方程有两个相等的实数根；
C、，所以方程没有实数根；
D、，所以方程有两个不相等的实数根；
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式.
错因分析 中等难度题.失分的原因是没有掌握根的判别式.
57．（2022·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点坐标为，连结、，有以下说法：
①；
②当时，的值随的增大而增大；
③当时，；
④面积的最小值为．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系逐一进行判断即可.
【详解】设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=x2-2与y=kx得：x2-2=kx，即x2-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：
，
解得a= ，b=-4，
∴PA的解析式为：y=（）x-4．
令y=0，得x= ，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理：直线PB的解析式为y=（）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（ ，0）．
∵+=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称，
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．
假设结论：PO2=PA PB成立，即PO2=PA′ PB，
∴= ，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：，
∴OB=-OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴，
∴PB=-PA，
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-PA-（-OA）]=-（PA+AO）（PA-OA）=- （PA2-AO2）
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km，PD=4+km．
∴PA2-AO2=（PD2+AD2）-（OD2+AD2）=PD2-OD2=（4+km）2-（-km）2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k= （m+n），
∴PA2-AO2=8 （m+n） m+16=m2+mn+16=m2+×（-6）+16=m2．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-（PA2-AO2）=- m2=- mn=-×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k=-时，联立方程组： ，
解得：A（-3，1），B（2，-），
∴BP2=；BO=；AB=，
BO BA=
∴BP2≠BO BA，故说法③错误．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP （-m）+OP n
=OP （n-m）
=2（n-m）
=2
=2 ，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2 =4，
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：②③④．
故选D．
【点睛】本题是代数几何综合题，解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．熟练掌握相关知识 是解题关键.
58．（2022春·重庆万州·九年级统考期中）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：把G延长交AB于H，
由题意可得△ADE≌△BAF∠FAB=∠EDA
∵∠FAB+∠DAG=90°，
∴∠EDA+∠DAG=90°，
∴AF⊥DE，
∴△AEG∽△DAG∽△DEA，
∵AE：AD=1：2，
∴EG：DG=1：4，
∵AB∥CD，
∴△HEG∽△CDG，
∴HE：CD=HG：CG=EG：DG=1：4，
∵CD=AB=2AE，
∴HE：AE=1：2，
∴H为AE的中点，
∴在Rt△AGE中，HG=AE，∠HEG=∠HE
∴∠HEG=∠HGE=∠DGC
设AB= 则AE= DE=
又EG：DG=1：4，EG=
cos∠CGD=cos∠AEG=
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.正方形的性质．
59．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAG＋∠DEF＝90°从而判断①；由∠DAG＋∠DEF＝90°，可得∠BGC＝90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出，可以判断③；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过证明△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
【详解】解：是绕点逆时针旋转得到的，
，
，，，
又四边形是矩形，
，
，
即，
，
即，
故①正确；
，
，
即是直角三角形，而显然不是直角三角形，
故②错误；
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
故③正确；
在线段上取并连接，如图，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
60．（2022秋·浙江温州·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于H，证明，得=定值，则点G在射线HF上运动，故当时，CG的值最小，再证，可知，利用等积法求出HE的长即可．
【详解】解：如图，作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴=定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CG的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题的关键．
二、填空题
61．（2022春·海南海口·九年级阶段练习）已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a= ．
【答案】2．
【详解】试题分析：把点（2，8）代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可．
解：∵抛物线y=ax2经过点（2，8），
∴4a=8，
∴a=2．
故答案为2．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
62．（2022春·云南曲靖·八年级校考阶段练习）设、是反比例函数图象上的两点，且当<<0 时， >>0，则k 0 （填“>”或“<”）．
【答案】＜
【分析】根据反比例函数的图象性质判断即可.
【详解】∵<<0, >>0,
∴此函数经过第二象限,
∴k＜0,
故答案为:＜.
【点睛】本题考查反比例函数的图象性质,熟记图形性质是解题关键.
63．（2022秋·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，与交于点，要使，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，即可得到答案．
【详解】根据图象可知，与为对顶角，
∴，
∴根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，
得到，即可证明．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
64．（2022·广东佛山·校联考一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． ∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0， 解得：m＜9．
考点：根的判别式．
65．（2022春·上海·八年级专题练习）方程的解是 ．
【答案】x＝3．
【分析】两边同平方可以去掉根号，然后解一元二次方程，求解验根即可．
【详解】移项得，＝x﹣3，
方程两边平方得，3﹣x＝x2﹣6x+9，
移项得，x2﹣5x+6＝0，
则（x﹣3）（x-2）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣2＝0，
x1＝3，x2＝2，
经检验，x＝3是原方程的解，
所以，原方程的解为：x＝3，
故答案为：x＝3．
【点睛】本题主要考查无理方程以及解一元二次方程，将原方程转换为一元二次方程是解题关键．
66．（2022·内蒙古赤峰·统考一模）如图，已知⊙O内切于边长为2的正方形ABCD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：设AD、AB于⊙O切于点E、F，连接OE、OF，
则OE⊥AD，OF⊥AB，
又∠A＝90°，
∴四边形AFOE为矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AFOE为正方形，
∴AE＝OE，
同理可得，DE＝OE，
∴AE＝ED，
∴图中阴影部分的面积＝
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质、扇形面积计算，掌握正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
67．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】2
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键．
68．（2022秋·九年级单元测试）如图，在中，如果，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答.
【详解】∵DE // BC，
∴，
∵AD=3，BD=4，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键.
69．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，则弦的长度是 .
【答案】2
【分析】根据圆周角定理可得，继而可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，掌握圆周角定理是解题的关键．
70．（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在轴下方，即可求出的范围．
【详解】解：，
化为顶点式为：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于时，顶点位于轴下方．
71．（2022秋·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考阶段练习）一元二次方程配方后的结果是，则的值为 ．
【答案】4
【分析】将展开后，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是将展开．
72．（2022·全国·九年级专题练习）若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由双曲线与直线y=-3x无交点，于是得到k-1与-3异号，解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵双曲线与直线y=-3x无交点，
∴k-1与-3异号，
∴k-1>0，
∴k＞1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的图象特点．
73．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A( 6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
【答案】
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（-6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6，
∴OP=AB=3，
∵OQ=2，
∴PQ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
74．（2023·广西南宁·统考一模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm．
【答案】8
【分析】连接OC、OA；由切线的性质知：OC⊥AB；在Rt△OAC中，可由勾股定理求得AC的长；根据垂径定理知：AB=2AC，由此得解．
【详解】解：连接OC、OA，
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC；
∵在Rt△OAC中，OA=5cm，OC=3cm，
∴AC==4cm，
∴AB=2AC=8cm．
故答案为：8
【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握切线的性质、垂径定理是解答的关键.
75．（2022秋·上海·八年级专题练习）若是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m ，n＝ ．
【答案】 7
【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0．
【详解】解：由，整理得
．
根据题意知，，
解得．
故答案是：，7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
76．（2022春·九年级单元测试）若圆锥底面圆的直径和母线长均为4cm，则它的侧面展开图的面积等于 cm2 .
【答案】
【详解】由侧面积公式得 .
77．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】抛物线开口向上，因此a大于0，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大，因此抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值，由此可解．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，找到a取最大值和最小值时与正方形的交点是解题的关键．
78．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，若正方形的边长是一元二次方程的一个根，点在边上若四边形是边长为的正方形，则阴影部分的面积是
【答案】50
【分析】首先解一元二次方程得到正方形ABCD的边长，然后利用阴影部分面积等于图形总面积减去两个直角三角形的面积即可得出答案．
【详解】∵
∴
∴，（舍）
∴正方形ABCD的边长为10
S阴影部分=S梯形ABFE+S正方形ABCD-S△CEF-S△ACD
=
=
=50
故答案为：50．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用正方形的性质求面积，解题的关键是将阴影部分面积转换为规则图形面积之差．
79．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期末）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】利用销量×每件利润＝总利润列出函数关系式，进而利用二次函数的性质求出答案．
【详解】解：由题意得：
商品每件降价x元时售价为：元
销售量为：件
∴
∴函数解析式为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键．
80．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知是关于的方程的一个根，则 ．
【答案】－2或1
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于A的方程，即可求得A的值．
【详解】根据题意得：2+A-A2=0
解得A=2或-1．
故答案为：2或-1．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
81．（2022秋·九年级单元测试）一个袋中装有6个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【答案】红
【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【详解】解：任意摸出一球，摸到红球的概率= ，摸到黄球的概率=，摸到白球的概率=，所以摸到红球的可能性最大．
故答案为：红．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率.
82．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ．
【答案】-4
【分析】利用二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，即可解得．
【详解】解：因为抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，
所以 ＝1,
b＝－4,
故答案为－4
【点睛】本题考查二次函数的对称轴，熟记公式是解题关键.
83．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是 .
【答案】20%
【分析】根据增长率问题公式：变化前的量×变化后的量，列方程求解即可.
【详解】设每次降价百分率为x，由题意得，解得x=0.2，故百分率为20%.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率问题方程的形式是关键.
84．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，若，添加一个条件使，则添加的条件是 ．
【答案】或者∠DAB=∠CAE，∠DAE=∠BAC．
【分析】由已知及相似三角形的判定可以从边和角两方面考虑解答．（1）由边解答，已知两组对应边成比例，只要添加第三组对应边成比例即可．（2）由角解答，只要添加已知两组对应边的夹角∠DAB和∠BAC相等即可，又由∠DAB=∠CAE也能推出∠DAB和∠BAC相等即△ADE∽△ACB．
【详解】由已知，
若 ，则△ADE∽△ACB．
若，∠DAE=∠BAC，则△ADE∽△ACB．
若∠DAB=∠CAE，则∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即，∠DAE=∠BAC，又，则△ADE∽△ACB．
故答案为：或者∠DAB=∠CAE，∠DAE=∠BAC．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，解题关键在于从边和角来考虑．
85．（2022春·九年级单元测试）已知 = ，那么 的值是 ．
【答案】﹣
【分析】根据比例设x=2k，y=3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】∵ = ，
∴设x=2k，y=3k（k≠0），
则 = =﹣ ．
故答案为﹣ ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
86．（2022秋·陕西西安·九年级阶段练习）如果反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该函数的图象在第 象限．
【答案】二、四．
【分析】设反比例函数函数解析式为y=（k≠0），然后将点代入求出k的值，再根据反比例函数的性质解答．
【详解】设反比例函数函数解析式为y=（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（-1，2），
∴k=xy=（-1）×2=-2，
∴该函数的图象在第二、四象限．
故答案为二、四．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，主要利用了待定系数法求反比例函数解析式．
87．（2022秋·九年级单元测试）已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为9，△DEF的面积为1，则△ABC与△DEF的周长之比为 .
【答案】3∶1
【详解】分析:根据相似三角形的性质,相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长之比等于相似比.
详解:因为△ABC∽△DEF,△ABC的面积为9,△DEF的面积为1,
所以,
所以△ABC与△DEF的相似比是3:1,
所以△ABC与△DEF的周长比是3:1,
故答案为: 3:1.
点睛:本题主要考查相似三角形的性质,解决本题的关键是要掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长之比等于相似比.
88．（2022春·八年级课时练习）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则 0； 0．（填“＞”，“＝”，或“＜”）
【答案】 ＝ ＞
【分析】由图象可得当x=-1时y=0；由图象可判断出当x=2时，y＞0，可求得答案．
【详解】解：∵对称轴为直线，一交点为(3，0)，则另一交点为(-1，0)
∴当x=-1时，y=0，
∴=0；
∵当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0；
故答案为：＝，>．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），熟练掌握二次函数的性质是关键．
89．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
【答案】6
【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值．
【详解】解：延长交x轴于点F，如图，
由点D在反比例函数的图象上，则设，
∵矩形的边平行于轴，，，
∴轴，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．
90．（2022·江苏无锡·九年级校联考期末）在中，， ，，若P是以为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接，过P向下作，且有，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是 ．
【答案】
【分析】∵点的运动轨迹是半圆，，且有，可见点的运动轨迹是半圆．利用弧长公式计算即可解决问题．
【详解】如图，
∵点的运动轨迹是半圆，，且有，
可见点的运动轨迹是半圆．
当是直径时，也是的直径，
∴时，，
∴＝＝，
∴的长＝，
故答案为：π．
【点睛】本题考查轨迹、圆周角定理、勾股定理、弧长公式等知识.解题的关键是准确寻找点M的运动轨迹，属于中考填空题的压轴题．
91．（2023春·八年级单元测试）已知，与成正比例，与成反比例；并且当时，；当时，，则当时的值为 ．
【答案】/8.5
【分析】与成正比例，与成反比例，设，，当时，；当时，，求出，的值，由此可求出，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，设，，
∴，当时，；当时，，
∴，解方程组得，，
∴，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的综合运用，掌握正比例函数，反比例函数的解析式的计算方法是解题的关键．
92．（2023·广东珠海·统考一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．过点作轴平行线与过点作轴平行线交于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】令交轴于，由题意可得，即，由可得，从而得到，再由反比例函数的几何意义可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，令交轴于，
，
根据题意可得：关于原点对称，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数中的的几何意义，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
93．（2022秋·九年级单元测试）从、、、、这个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程中有两个相等的实数根的概率是 ．
【答案】
【分析】先根据判别式的意义得到△=k2-4×4=0，解得k=±4，再判断所给5个数中-4，4满足条件，然后根据概率公式求解．
【详解】根据题意得△=k2-4×4=0，
解得 k=±4，
所以-4，-2，0，2，4这5个数中有-4，4满足条件，
所以所得的方程中有两个相等的实数根的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了概率公式．
94．（2023·山东青岛·统考二模）如图，是等腰三角形，是底边上的一点，半圆与交于，两点，与相切于点，若＝，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得出，设,则，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，求得，进而根据已知条件得出，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
设,
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
又
∴
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握是解题的关键．
95．（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）如图，在中，，的半径为4，点P是上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最小值．
【详解】解：连接OP，OQ，
∵PQ与圆O相切，
∴∠PQO=90°，
∵OQ不变，
∴当OP最小时，PQ最小，
此时OP与AB垂直，
∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∴OP==，
∴PQ==，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
96．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）从一副洗匀的普通扑克牌中随机抽取一张，则抽出红桃的概率是 ．
【答案】
【分析】让红桃的张数除以扑克牌的总张数即为所求的概率．
【详解】∵一副扑克牌共54张，其中红桃13张，
∴随机抽出一张牌得到红桃的概率是.
故答案是：.
【点睛】考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
97．（2022春·北京西城·八年级统考期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大原来的倍，使，得到；将绕原点旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到．如此下去，得到．
（）的值为 ．
（）在中，点的坐标是 ．
【答案】 ,
【详解】（）在中，
∵，，
∴，．
∵．
∴．
（）每次旋转．
∴旋转次后，正好是一周，
∴余，
∴在第一象限，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、坐标与图形性质，找出规律是解决问题的关键．
98．（2011·四川广元·中考真题）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程的两根，且O1O2=1，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】∵x2﹣2x+=0，
解得：x=或x=，
又∵⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2﹣2x+=0的两根，
∴⊙O1和⊙O2的半径分别是与，
∵+=2，﹣=，且O1O2=1，
∴⊙O1和⊙O2的位置关系是相交．
故答案为相交．
99．（2022春·江苏盐城·九年级校联考期中）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为 米（精确到0.1米）．
【答案】5.6
【详解】解：根据镜面反射的性质可得：∠CED=∠AEB，又∠CDE=∠ABE=90°，所以△ABE∽△CDE，所以，即，
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6．
【点睛】本题考查相似三角形的应用．
100．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．
【答案】/
【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求出x以及FE的值，此题得解．
【详解】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF==x，
∴6-3x=x，
x=3-，
∴DE=x=3-3．
故答案为3-3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，通过勾股定理找出方程是解题的关键．
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