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期中押题预测卷01
考试范围：第21-24章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，，根据五边形是正五边形，可求出的度数，由，可得的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可．
【详解】如图，连接，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题的关键．
4．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】先整理，再求出判别式，判断其的符号就即可．
【详解】解：方程化成一般式为，
，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
5．如图，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．则∠BDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质得，AD=AB，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论．
【详解】解：∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，熟练掌握是解本题的关键．
6．抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7．如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由切线性质可得，根据及锐角的三角函数可求得，易求得，由可求得，则，根据圆周角定理即可求得的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
则，
∵与相切于点D，
∴，
在中，，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得是解答的关键．
8．如图，在长为，宽的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设道路的宽度为，根据题意，剩余田地的面积为，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设道路的宽度为，根据题意得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9．如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为，．记，将绕点顺时针旋转，使三角板的两个直角边贴合，则边扫过的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可知，旋转角是或，先求出，再用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：如下图所示，将原来的画出如下：
根据旋转的方式可知，图中阴影部分就是边扫过的部分．
∵，
∴
由题意可知：，
依题意可知，旋转角是或，
∴
又∵，
∴
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，扇形的面积公式等知识，掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图像得出结论．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，且其对称轴为，
∵，
∴比离函数的对称轴远，
∴当时，，
关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，
则与有两个交点，
如图所示，
由图像可得：实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为 ．
【答案】
【分析】把所求一元二次方程变形，再与原一元二次方程比较即可求出答案．
【详解】解：∵有一根为，
将一元二次方程变形得，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，掌握一元二次方程未知数的变化规律是解题的关键．
12．若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ．
【答案】2022
【分析】根据关于原点成中心对称点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，计算求解即可．
【详解】解：由题意得
解得
∴
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了关于原点成中心对称点坐标的特征．解题的关键在于求出的值．
13．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝ ．
【答案】30°
【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
【详解】连接 OB，AD，BD，
∵多边形 ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
14．已知，是方程的两个根，则代数式的值等于 ．
【答案】
【分析】将代入方程中可得，根据根与系数的关系可得，原式可变形为，最后整体代入即可求解．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
15．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，，
汽车刹车后到停下来前进了米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
16．如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．
【答案】5
【分析】连接，根据正方形的性质可得根据旋转的性质可得从而可得然后可证从而利用全等三角形的性质可得进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，最后可得当点Q在的延长线时，的值最大，进行解答即可.
【详解】
连接，
∵四边形是正方形，
由旋转得：
即
∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，
∴当点Q在的延长线时，的值最大，如图所示：
∴的最大值=
故答案为：5
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键.
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
，；
（2）
，，，
∵，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．
18．在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)将向下平移5个单位再向左平移1个单位得到，作出平移后的．
(2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的．
(3)可由旋转得到，旋转中心是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作出△ABC向下平移5个单位再向左平移1个单位后三个顶点的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点即可得出平移后的图形；
（2）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点即可得出平移后的图形；
（3）结合图形找出旋转中心即可．
【详解】（1）解：作出△ABC向下平移5个单位再向左平移1个单位后三个顶点的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点，则为所求作的三角形，如图所示：
（2）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点，则为所求作的三角形，如图所示：
（3）∵连接、，、、、，如图所示：
∵，，，
∴绕点P顺时针旋转可以得到，
旋转中心是P（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
【点睛】本题主要考查了图形的平移与旋转作图，根据要求作出平移或旋转后的位置，是解题的关键．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值，
【答案】(1)证明见解析
(2)k的值为或
【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值．
【详解】（1）证明：∵
∴不论k为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：原方程的两根为，
即，
∵方程的根为整数，k为整数，
∴k的值为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程， ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
20．小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 …
(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的____________；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是____________．（直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：从表格可以看出，当或时，，
可以判断，是抛物线上的两个对称点，
就是顶点，设抛物线顶点式，
把代入解析式，，解得，
所以，抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
所以这个错算的值所对应的，
故答案为：2；
（2）解：画出这个二次函数的图象如图：
（3）解：由图象可知：当时，随着增大而减小，
当时，随着增大而增大，
当时，取到最小值，
当时，，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与轴轴）的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键．
21．如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．
(1)求的大小；
(2)若点在的延长线上，且，求证：与相切．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据与相切得出，然后求出，进而得出，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）连接，根据“”证明即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
【点睛】本题考查了圆切线的判定与性质，同弧所对的圆周角和圆心角的关系，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆切线的判定与性质是解本题的关键．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B和点D对应，点C和点E对应（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）取点A关于点C的对称点F，求证：F、B、E、D四点共线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接由旋转的性质，得出对应点的位置即可得出答案；
（2）先作出点关于点的对称点，根据对称的性质和等腰三角形的性质，可得，再结合旋转的性质得出，，即可证明F、B、E、D四点共线．
【详解】（1）解：如图，△AED即为所求；
（2）证明：∵AC＝CF，BC⊥AF，
∴BF＝BA，
∴∠ABC＝∠CBF＝60°，
∴∠ABF＝120°，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ABF+∠ABD＝180°，
∴F，B，D共线，
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴点E在线段DF上，
∴F、B、E、D四点共线．
【点睛】本题考查了旋转作图，以及旋转的性质和垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，熟练运用这些性质是解题关键．
23．石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x的值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
【答案】(1)75
(2)①当提价6元时，商店获得利润1152元；②当时，w取得最大，最大值为1200元
【分析】（1）根据题意，“售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱”，求解即可；
（2）①根据题意，求得提价x（元）后的利润，列出方程求解即可；②求得利润w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：每箱销售价55元，销售量为（箱）
（2）①由已知得，，
整理得：
解得，，，
∵售价每箱不得高于60元，
∴
经检验：符合题意
答：当提价6元时，商店获得利润1152元．
②，
∴当时，w有最大值，最大值为1200，且，符合题意
答：当时，w取得最大，最大值为1200元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和函数解析式．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值．
（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明．
【详解】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴AD=CD，
∵DF⊥DB，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠ADF=∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△DAF≌△DCB，
∴AF=BC．
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC=AF=a，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM=，
连接OD，则OD=，
∵是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，即，
∴．
（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，
由（1）知，，AD=CD，
∴，
∴AP=CE，，
∴，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，AF=AN，
∴，
又∵FG∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴AG=AP=CE．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
25．已知抛物线过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线在第一象限上的点，点是抛物线对称轴上的点，当，时，求点的坐标；
(3)点，为抛物线上异于点的两点，且，连接，过点作，垂足为求证：平面上存在一点，使得的长度为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）作于，作轴于，可得出，从而点、、、共圆，从而得出，从而，故，得出，设，可表示出，故，，从而得出，求得的值，进一步得出结果；
（3）作轴，作于，作于，可证得，从而得出，设，，从而得出，于是，设的解析式为：，代入，两点坐标，可求得，于是得出直线过定点，根据得出点在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，进一步得出结果．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
∵，
∴，
如图，
作于，作轴于，
，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
设，
∵D是线段的中点，
，
，，
，
，舍去，
当时，，
；
（3）证明：如图，
作轴，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
设，，
，
，
，
设的解析式为：，
，
，则
，
∴，
当时，，
直线过定点，
，
点在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
，，，
，点E的坐标是
．
∴平面上存在一点，使得的长度为定值．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是求出直线过定点．
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考试范围：第21-24章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
5．如图，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．则∠BDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在长为，宽的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为，．记，将绕点顺时针旋转，使三角板的两个直角边贴合，则边扫过的面积为( )
A． B． C． D．
10．已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为 ．
12．若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ．
13．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝ ．
14．已知，是方程的两个根，则代数式的值等于 ．
15．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
16．如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)将向下平移5个单位再向左平移1个单位得到，作出平移后的．
(2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的．
(3)可由旋转得到，旋转中心是______．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值，
20．小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 …
(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的____________；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是____________．（直接写出答案）
21．如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．
(1)求的大小；
(2)若点在的延长线上，且，求证：与相切．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B和点D对应，点C和点E对应（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）取点A关于点C的对称点F，求证：F、B、E、D四点共线．
23．石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x的值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
25．已知抛物线过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线在第一象限上的点，点是抛物线对称轴上的点，当，时，求点的坐标；
(3)点，为抛物线上异于点的两点，且，连接，过点作，垂足为求证：平面上存在一点，使得的长度为定值．
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