通用版高考数学一轮复习课时突破练29　正弦定理和余弦定理（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练29　正弦定理和余弦定理
基础达标练
1.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2025·八省联考,7)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
A.6 B.8 C.24 D.48
3.在△ABC中,已知4S△ABC=a2+b2-c2,则角C的度数为(　　)
A.135° B.45°
C.60° D.120°
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,A=,b=1,则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
6.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(　　)
A.5 B. C.2 D.1
7.(多选)(2024·安徽池州模拟)在△ABC中,AB=,B=60°,若满足条件的三角形有两个,则AC边的取值可能是(　　)
A.1.5 B.1.6
C.1.7 D.1.8
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=,则b=　　　　　.
9.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=　　　　　.
10.(13分)(2024·江苏南通二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=sin Asin B.
(1)若A=,求cos B;
(2)若c=,求△ABC的面积.
能力提升练
11.(2024·湖南株洲模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acos C-3bcos C=3ccos B,则角C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　)
A. B.
C. D.
13.(多选)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b2=ac,sin2B=3sin Asin C,则(　　)
A.B=
B.ac=
C.△ABC的面积为
D.△ABC的周长为+1
14.(2024·浙江嘉兴模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,c=2,ab=8,则a+b的值是　　　　　.
15.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
素养拔高练
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,a,a=2.若b∈[1,3],则c的最小值为　　　　　.
17.(15分)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且acos C+c=b.
(1)求A;
(2)若a=1,求△ABC的周长L的取值范围.
答案：
1.A　在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2×3b,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.
2.C　设AB=x,在△ABC中,
根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,将BC=8,AC=10,cos∠BAC=代入,可得82=102+x2-2×10×x,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S△ABC=6×8=24.
3.B　由4S△ABC=a2+b2-c2,得4absin C=2abcos C,解得tan C=1.又角C为△ABC的内角,所以C=45°.
4.B　由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,设a=3t,b=4t,c=5t(t>0),则a2+b2=25t2=c2,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.故选B.
5.B　由正弦定理可得又A=,b=1,所以a=1,B=,所以△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的面积为12
6.B　S△ABC=AB·BCsin B=1sin B=,
∴sin B=,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1=5,∴AC=故选B.
7.BC　满足条件的△ABC有两个,可得AB·sin B8　在△ABC中,cos A=,则sin A=,故sin C=sin(A+B)=sin Acos 45°+cos Asin 45°=,故由正弦定理得b=
9.4　由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3=16,所以c=4.
10.解 (1)在△ABC中,A=,所以C=π-(A+B)=-B.因为sin C=sin Asin B,所以sinsin B,所以cos B+sin B=sin B,即sin B=cos B(*),又sin2B+cos2B=1,所以+cos2B=1,即cos2B=,又B∈(0,π),所以sin B>0,由(*)知,cos B>0,所以cos B=
(2)因为sin C=sin Asin B,由正弦定理,得c=asin B.又c=,所以asin B=所以△ABC的面积为S=acsin B=
11.A　由正弦定理得2sin Acos C-3sin Bcos C=3sin Ccos B,即2sin Acos C=3(sin Bcos C+cos Bsin C)=3sin(B+C)=3sin A.因为sin A≠0,所以cos C=又因为C∈(0,π),所以C=
12.C　∵acos B-bcos A=c,∴sin Acos B-sin Bcos A=sin C,∴sin(A-B)=sin C,∴A-B=C(A-B+C=π舍去),又C=,∴A-B=,又A+B=,∴B=,故选C.
13.ABD　由a2+c2-b2=ac,有cos B=,得B=,选项A正确;因为sin2B=3sin Asin C,由正弦定理有b2=3ac,b=1,得ac=,选项B正确;△ABC的面积为acsin B=,选项C错误;因为a2+c2-b2=ac,所以b2=1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,解得a+c=,故△ABC的周长为+1,选项D正确.故选ABD.
14.6　∵csin A=acos C,根据正弦定理得sin Csin A=sin Acos C,∵sin A≠0,故tan C=,∵C∈(0,π),
∴C=,再由余弦定理得cos C=,代入c=2,ab=8,得a+b=6.
15.解 (1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.由sin B=,得cos B=或cos B=-(舍去),所以ac=,则△ABC的面积S=acsin B=
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知,即b2=,得b=
16.3　由a,得sin C.由余弦定理可得cos C=,即3cos C=sin C,所以tan C=,故cos C=,所以c2=b2-2b+12=(b-)2+9.因为b∈[1,3],所以当b=时,c取最小值3.
17.解 (1)因为acos C+c=b,所以由正弦定理得sin Acos C+sin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C,
因为sin C≠0,所以cos A=,
又因为0(2)由正弦定理得b=,c=,所以L=a+b+c=1+(sin B+sin C)=1+[sin B+sin(A+B)]=1+2sin B+cos B=1+2sinB+,因为A=,所以B∈0,,所以B+,所以sinB+∈,1,则L∈(2,3].故△ABC的周长L的取值范围是(2,3].
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