通用版高考数学一轮复习课时突破练31　三角函数、解三角形中的综合问题（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练31　三角函数、解三角形中的综合问题
1.(15分)(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
2.(15分)(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为a(csin C+bsin B-asin A).
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD.
3.(15分)(2024·重庆三模)已知函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,其所对应的角为A,B,C,且f(A)==2,a=,求该三角形的周长.
4.(15分)(2024·北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B=bcos B.
(1)求∠A;
(2)从以下①、②和③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
①b=7;②cos B=;③csin A=.
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
答案：
1.解 (1)由已知及正弦定理,得,∵a=,b=2,∠A=120°,
∴sin B=
(2)(方法一)由(1)及已知,得cos B=,sin C=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=cos B-sin B=由正弦定理,得c==5.
(方法二)由余弦定理,得b2+c2-2bccos A=a2,即4+c2-2×2c=39,整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).
(3)∵C为锐角,∴cos C=
∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=
2.解 (1)依题意,a(csin C+bsin B-asin A)=absin C,所以csin C+bsin B-asin A=bsin C,由正弦定理可得,c2+b2-a2=bc,由余弦定理,c2+b2-a2=2bccos A,解得cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=
(2)依题意,b+c=5-a=3,因为c2+b2-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得bc=,
因为),所以)2=,
所以AD=
3.解 (1)由函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,即ω=1,所以f(x)=sin(2x+),
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为f(A)=sin,所以sin,
因为0因为=bccos A=bc=2,所以bc=4,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得5=b2+c2-4,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+4=(2+1)2,所以b+c=2+1,则△ABC的周长为a+b+c=2+1+
4.解 (1)由题意得2sin Bcos B=bcos B,因为A为钝角,则cos B≠0,则2sin B=b,则,解得sin A=,因为A为钝角,则A=
(2)选择①b=7,则sin B=b=7=,因为A=,则B为锐角,则B=,此时A+B=π,不合题意,舍弃.
选择②cos B=,因为B为三角形内角,则sin B=,则代入2sin B=b得2b,解得b=3,sin C=sin(A+B)=sin=sincos B+cossin B=,则S△ABC=absin C=7×3
选择③csin A=,则有c,解得c=5,则由正弦定理得,即,解得sin C=,因为C为三角形内角,则cos C=,则sin B=sin(A+C)=sin=sincos C+cossin C=,则S△ABC=acsin B=7×5
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