通用版高考数学一轮复习课时突破练32　数列的概念与简单表示法（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练32　数列的概念与简单表示法
基础达标练
1.(2024·河南开封二模)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-1,则a5=(　　)
A.81 B.162
C.243 D.486
2.(2024·广东鹤华中学开学考试)已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+2n,a5=11,则k的值为(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
3.(2024·山西一模)已知数列{an}满足anan+1=2an+1-an-1,且a1=3,则a2 024=(　　)
A. B.-4
C. D.
4.(2024·江苏南通期末)已知数列{an}是递增数列,且an=则实数t的取值范围是(　　)
A.(2,3) B.[2,3)
C.,3 D.(1,3)
5.(多选)(2024·湖南开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,am+n=aman,则下列结论正确的是(　　)
A.a2 024=1
B.a2 023=1
C.若S2 024=2 024,则a1=1
D.若S2 023=-1,则a1=-1
6.(2024·贵州铜仁期末)设Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2 024,Sn+1=Sn+3n,则a4=　　　　.
能力提升练
7.(2024·山东济南期末)某赞助商在马拉松比赛沿途设置了10个饮水补给站,第一个补给站准备了1千瓶饮用水,第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶,以此类推,第n站比第n-1站多n千瓶(n≥2且n∈N*),第10站准备的饮用水的数量为(　　)
A.45千瓶 B.50千瓶
C.55千瓶 D.60千瓶
8.(2024·河南专题练习)若数列{nan}的前n项和Tn=2n(n+1)(2n+1),则数列{an}的前n项和Sn=(　　)
A.n2+11n
B.n2+n
C.6n2+6n
D.-6n2+12n
9.(多选)(2024·吉林长春模拟)已知数列{an}满足a1=1,,n∈N*,则下列结论成立的有(　　)
A.a4=2
B.数列{nan}是等比数列
C.数列{an}为递增数列
D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6
10.(多选)(2024·山东聊城期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*,下列说法正确的是(　　)
A.a2=4
B.为常数列
C.a7=15
D.Sn=n2+n
11.(多选)(2024·山西太原期中)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n(n∈N*),则下列结论正确的是(　　)
A.a4=13
B.{an}是递增数列
C.a10<1 000
D.an+1=2an+1
12.(2024·广东深圳模拟)已知a1+2a2+3a3+…+nan=1-(n∈N*),则数列an=　　　　.
13.(2024·河北沧州模拟)自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的,这种生物在生育下一代时,成对的基因相互分离形成配子,配子随机结合形成下一代的基因型.若某生物群体的基因型为Aa,在该生物个体的随机交配过程中,基因型为aa的子代基因无法适应自然环境而被自然界淘汰.例如当亲代只有Aa的基因型个体时,其子一代的基因型如下表所示:
雌 雄
A a
A AA Aa
a Aa ×
由上表可知,子一代中AA∶Aa=1∶2,子一代产生的配子中A占,a占,以此类推,子七代中Aa的个体所占的比例为　　　　.
素养拔高练
14.(2024·湖北武汉模拟)数列{Ln}为:1,3,4,7,11,18,29,…,即L1=1,L2=3,且Ln+2=Ln+1+Ln.记Sn为数列{Ln}的前n项和,则S40-L42=　　　　;记数列{Ln}的各项依次被4除所得余数所形成的数列为{an},则数列{an}的前2 024项和为　　　　.
答案：
1.B　数列{an}的前n项和为Sn=3n-1,所以a5=S5-S4=35-34=162.故选B.
2.C　由题设,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2kn-k+2,又a5=11,∴9k+2=11,可得k=1.故选C.
3.B　由题意可知3a2=2a2-3-1,解得a2=-4,同理a3=-,a4=,a5=,a6=,a7=3,a8=-4,…,即{an}是以6为周期的数列,所以a2 024=a6×337+2=a2=-4.故选B.
4.C　因为an=数列{an}是递增数列,所以解得5.ACD　在数列{an}中,a2=1,am+n=aman,令m=n=1,得=a2=1,解得a1=±1,令m=2,则an+2=ana2=an,因此a2 024=a2=1,a2 023=a1=±1,A正确,B错误;显然a2n=1,a2n-1=a1,则S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024,解得a1=1,C正确;S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1,解得a1=-1,D正确.故选ACD.
6.27　由于Sn+1=Sn+3n,则an+1=Sn+1-Sn=3n(n∈N*),所以an=3n-1(n≥2,n∈N*),所以a4=33=27.
7.C　设第n站的饮用水的数量为an(n=1,2,3,…,10),由题意得a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,a10-a9=10,以上等式相加得,a10=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a10-a9)=1+2+3+…+10==55,即a10=55.故选C.
8.C　因为数列{nan}的前n项和Tn=2n(n+1)(2n+1),所以当n≥2时,Tn-1=2n(n-1)(2n-1),两式相减,得nan=2n(n+1)(2n+1)-2n(n-1)(2n-1)=12n2,an=12n,当n=1时,a1=2×2×3=12也符合该式,所以an=12n,an+1-an=12(n+1)-12n=12,所以数列{an}是首项为12,公差为12的等差数列,所以Sn=12n+12=6n2+6n.故选C.
9.ABD　在数列{an}中,由,得=2,而1·a1=1,因此数列{nan}是首项为1,公比为2的等比数列,则nan=2n-1,即an=,B正确;显然a4==2,A正确;显然an>0,1,当n=1时,a2=a1,因此数列{an}不是递增数列,C错误;当n≥2时,an+1>an,即数列{an}从第2项为递增数列,而a6=<6,a7=>6,因此数列{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,所以数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,D正确.故选ABD.
10.ABD　因为(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,则(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,整理得nSn+1=(n+2)Sn,即,故是常数列,所以=1,即Sn=n(n+1),故D选项正确.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,经检验n=1时也满足,故an=2n.对于A选项,由an=2n,知a2=4,故A选项正确;对于B选项,由an=2n,知=2,所以为常数列,故B选项正确;对于C选项,由an=2n,知a7=14,故C选项错误.故选ABD.
11.BD　由an+1=an+2n,可得,则-1=-1,又由a1=1,可得-1=-,所以数列-1表示首项为-,公比为的等比数列,所以-1=-n-1=-n,所以an=2n-1,由a4=24-1=15,所以A不正确;由an+1-an=2n>0,即an+1>an,所以{an}是递增数列,所以B正确;由a10=210-1=1 023>1 000,所以C错误;由an+1=2n+1-1,2an+1=2·2n-2+1=2n+1-1,所以an+1=2an+1,所以D正确.故选BD.
12　当n=1时,a1=1-=-;当n≥2时,由a1+2a2+3a3+…+nan=1-,得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=1-,两式相减,得nan=,则有an=(n≥2),当n=1时,a1不符合an=,所以an=
13　设子n代中Aa占比为an,则AA占比为1-an,
所以A∶a=[2(1-an)+an]∶an=(2-an)∶an,则子(n+1)代的基因型如下表所示:
雌 雄
A a
A 2AA Aa
a Aa ×
由表可知,表格中总份数为2+2其中淘汰了份,因此子(n+1)代中Aa的占比为=an+1,化简得an+1=,即,即,
所以数列是首项为,公差为的等差数列,
所以n+1,an=,因此a7=
14.-3　4 048　由题意可知,L42=L41+L40=L40+L39+L38+L39=(L40+L39+L38)+L37+L38=(L40+L39+L38+L37)+L38=(L40+L39+L38+L37)+L36+L37=(L40+L39+L38+L37+L36)+L37=…=(L40+L39+L38+…+L1)+L2=S40+L2,所以S40-L42=-L2=-3.数列{Ln}的各项依次被4除所得余数为1,3,0,3,3,2,1,3,0,3,3,2,…,发现余数的周期为6,前6项的和为1+3+0+3+3+2=12,2 024=337×6+2,2 024项包含337个周期,余2个数,所以数列{an}的前2 024项的和为337×12+1+3=4 048.
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