通用版高考数学一轮复习课时突破练34　等比数列（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练34　等比数列
基础达标练
1.(2024·山东青岛一模)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7=(　　)
A.32 B.24 C.20 D.16
2.(2024·山东青岛期末)在等比数列{an}中,a1+2a2=5,2a4+4a5=80,则a3=(　　)
A.4 B. C.8 D.5
3.(2024·湖南衡阳二模)已知{an}是等比数列,且a6-a4=-24,a7-a5=48,则a1=(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
4.(2024·安徽宣城期末)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=4,a4+a5+a6=8,则=(　　)
A.2 B. C. D.
5.(2024·江西吉安期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=A·2n+B,则A+B=(　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
6.(多选)(2024·江西南昌三模)已知{an}是递减的等比数列,若a2=2,前3项和S3=7,则下列说法正确的是(　　)
A.a1=4 B.q=3
C.an=2n-1 D.Sn=8-23-n
7.(2024·广东茂名一模)有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1 890盏灯,则底层所开灯的数量为　　　盏.
8.(2024·四川广安二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1-an=2n,则Sn=　　　　.
能力提升练
9.(2024·江苏镇江阶段练习)已知{an}为等比数列,向量a=(a1,a5),b=(a10,8),c=(λ,a2),且a⊥b,b∥c,则λ=(　　)
A.4 B.2
C.8 D.6
10.(2024·山东青岛二模)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a2 022a2 024-=(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
11.(多选)(2024·浙江温州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,3an+1=Sn,则下列结论正确的是(　　)
A.a2= B.an=n-1
C.Sn=n-1 D.S5·S7>
12.(2024·河南郑州三模)抛掷一枚不均匀的硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率为,记n次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为an,则数列{an}的通项公式an=　　　　　.
13.(15分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
素养拔高练
14.(15分)(2024·山东聊城模拟)已知等差数列{an}满足:a1+3,a3,a4成等差数列,且a1,a3,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在任意相邻两项ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个2,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前200项和T200.
答案：
1.A　设等比数列公比为q,由题得所以a1=,q=2.所以a7=26=32.故选A.
2.A　设等比数列公比为q,由题意可知,=2q3==16,所以q3=8,即等比数列公比为q=2,所以a1+2a2=a1+4a1=5,解得a1=1,所以a3=a1q2=4.故选A.
3.C　设等比数列{an}的公比为q,则q==-2,又因为a6-a4=a1q5-a1q3=-32a1+8a1=-24,解得a1=1.故选C.
4.B　由题意得S6-S3=8,S6=S3+8=4+8=12,因为S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,故(S6-S3)2=S3(S9-S6),即82=4(S9-12),解得S9=28,故故选B.
5.C　(方法一)设等比数列的公比为q,等比数列{an}的前n项和为Sn,显然当q=1时不合题意,则q不等于1,则Sn==-qn+,令C=-,则有Sn=C·qn-C,由题意Sn=A·2n+B,得A+B=0.
(方法二)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A·2n+B-(A·2n-1+B)=A·2n-1,当n=1时,a1=S1=2A+B,∴an={an}为等比数列,当n≥2时,=2,=2,化简得A+B=0.故选C.
6.AD　由题意,设等比数列公比为q,
则
解得因为数列{an}为递减的等比数列,所以所以an=a1qn-1=4×n-1,Sn==8-23-n.故选AD.
7.30　依题意,从下往上每层灯的数据构成等比数列{an},公比q=2,n=6,前6项和S6=1 890,于是S6==1 890,解得a1=30,所以底层所开灯的数量为30盏.
8.2n+1-n-2　在数列{an}中,由an+1-an=2n,得当n≥2时,an-an-1=2n-1,则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+21+22+…+2n-1==2n-1,显然a1=1满足上式,因此an=2n-1,所以Sn=-n=2n+1-n-2.
9.C　因为a⊥b,所以a1a10+8a5=0,又因为{an}为等比数列,所以an≠0,且a1a10=a5a6,所以a1a10+8a5=a5a6+8a5=a5(a6+8)=0,解得a6=-8,又b∥c,所以a2a10=8λ,即=8λ,解得λ=8.故选C.
10.A　依题意得,a1=1,a2=2,a3=a1+a2=3,所以an=an-1+an-2(n∈N*,n≥3),当n≥2时,anan+2-=an(an+1+an)-=anan+1++an+1(an-an+1)=-an+1an-1=-(an-1an+1-),又因为a1a3-=-1,所以数列{anan+2-}是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以a2 022a2 024-=(-1)×(-1)2 022-1=1.故选A.
11.AC　因为a1=1,3an+1=Sn,所以3an=Sn-1(n≥2),a2=,A正确;两式相减可得,3an+1-3an=an,则(n≥2),当n=1时,不符合此式,所以从第2项起,是公比为的等比数列,所以an=B错误;Sn=a1+=n-1,C正确;S5·S7=4·6=10==52,D错误.故选AC.
12+n+1　根据题意有抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷n-1次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上,或抛掷n-1次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成,可得递推关系为an=(1-an-1)+an-1(n≥2),构造数列an-an-1-,所以,即数列an-是以a1-为首项,以为公比的等比数列,又因为抛一次硬币,偶数次正面向上为0次,此时a1=,所以a1-,所以an-n-1,则an=+n+1.
13.解 (1)设等比数列{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
14.解 (1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得a1+3+a4=2a3,即2a1+3+3d=2a1+4d,解得d=3,又因为a1a8=,即a1(a1+7×3)=(a1+2×3)2,解得a1=4,所以an=3n+1.
(2)在新数列{bn}中,ak+1前面(包括ak+1)共有2+22+23+…+2k+(k+1)=2k+1+k-1项,令2k+1+k-1≤200(k=1,2,…),则k≤6,所以a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7出现在新数列{bn}的前200项中,故数列{bn}的前200项中,有7项是a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,其余193项都是2.所以T200=(4+7+…+22)+193×2=477.
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