通用版高考数学一轮复习课时突破练36　数列中的综合问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
通用版高考数学一轮复习
课时突破练36　数列中的综合问题
1.(15分)(2024·江苏常州期末)已知数列{an}为等差数列,{bn}为公比为3的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=3b1;
(2)若集合M={k|bk=am+a1,1≤m≤100},求集合M中的元素个数.
2.(15分)(2024·河北秦皇岛期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且2S1,S3,S2成等差数列,a4+a5=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,证明:数列{bn}的前n项和Tn<.
3.(15分)(2024·江西萍乡期中)已知在正项数列{an}(n∈N*)中,a2=3,前n项和为Sn,且　　　　.请在①②中任选一个条件填在题目横线上,再作答:①-2an+1=+2an,②n(an+1)=2Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<.
4.(17分)定义在区间D上的函数f(x)满足:若对任意x1,x2∈D,且x1>x2,都有,则称f(x)是D上的“好函数”.
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”,求a的取值范围.
(2)①证明:g(x)=ln x是(0,+∞)上的“好函数”;
②设n∈N*,证明:ln(2n+1)>1++…+.
答案：
1.(1)证明 设数列{an}的公差为d,
则
解得
(2)解 由(1)知b1=,所以d=2a1,所以bk=am+a1,即3k-1=a1+(m-1)×2a1+a1.
因为a1≠0,所以2m=3k-2,
因为m∈N*,所以2m是偶数,
所以k无正整数解,故集合M中的元素个数为0.
2.(1)解 设等比数列{an}的公比为q,
由2S1,S3,S2成等差数列知,2S3=2S1+S2,即2(a1+a2+a3)=2a1+(a1+a2),
所以2a3+a2-a1=0,有2q2+q-1=0,即q=或-1.
①当q=-1时,a4+a5=a4-a4=0,不合题意;
②当q=时,a4+a5=a1+a1=,得a1=,所以等比数列{an}的通项公式an=
(2)证明 由(1)知1-2log2an=1-2log2=1+2n,
所以bn=),
所以数列{bn}的前n项和Tn=(1-+…+)=(1-),
由>0,可得Tn<
3.(1)解 若选①:由-2an+1=+2an,得()-(2an+1+2an)=0,
即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,
因为数列{an}(n∈N*)为正项数列,所以an+1-an=2,{an}是公差为2的等差数列,
由a2=3,得an=a2+(n-2)×2=2n-1.
若选②:n(an+1)=2Sn,当n≥2时,(n-1)(an-1+1)=2Sn-1,
两式作差得(n-2)an-(n-1)an-1+1=0,则(n-1)an+1-nan+1=0,
两式作差得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0(n≥2),即an+1+an-1=2an,
所以数列{an}为等差数列,
当n=1时,a1+1=2S1=2a1,解得a1=1,
公差d=a2-a1=3-1=2,则an=2n-1.
(2)证明 由(1)知,bn=,
又因为),
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn<(1-+…+)=(1-)<
4.(1)解 由题意可知任意x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,,即,
解得a>
因为x1+x2∈(2,+∞),所以a,即a的取值范围为[,+∞).
(2)证明 ①设x1,x2∈(0,+∞),
则
令t=,且t∈(1,+∞),h(t)=ln t-,t∈(1,+∞),
则h'(t)=>0,则h(t)在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,
即,
所以g(x)=ln x是(0,+∞)上的“好函数”.
②由①可知,当x∈(1,+∞)时,,
令x1=2n+1,x2=2n-1,n∈N*,
则,
即ln(2n+1)-ln(2n-1)>
故ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)>+…+,
化简可得ln(2n+1)>1++…+
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)