通用版高考数学一轮复习课时突破练38　平面向量基本定理及向量坐标运算（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练38　平面向量基本定理及向量坐标运算
基础达标练
1.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是(　　)
A.a=2e1+e2,b=e1+e2
B.a=4e1-2e2,b=e2-2e1
C.a=3e1+3e2,b=e1+e2
D.a=e1-2e2,b=2e1+4e2
2.(2024·江苏苏州高三期中)已知D是△ABC的边BC上的点,且=3,则=(　　)
A. B.
C. D.
3.已知向量a,b,c在正方形网格中如图所示,则“c=λa+μb(λ,μ∈R)”是“λ+μ=3”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024·河北邯郸期中)已知向量=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　)
A.-16 B.16
C. D.-
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),若m∥n,则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)(2024·山东青岛高三期中)如图,=2,线段AD,CE相交于点F,则(　　)
A.
B.
C.
D.
7.已知向量a=(log2x,1),b=(log23,-1),若a∥b,则x=　　　　.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为　　　　　　.
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9.(2024·河南信阳高三期中)定义向量一种运算“ ”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a b=mq-np,下面错误的是(　　)
A.若a与b共线,则a b=0
B.(a b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
C.对任意的λ∈R,有(λa) b=λ(a b)
D.a b=b a
10.(2024·浙江绍兴高三期末)已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=CD=1,AD=,若=x+y,则x-y=(　　)
A. B.1
C. D.
11.(2024·江西赣州高三期末)勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
12.如图,已知 ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且=e1,=e2,则=　　　　,=　　　　.(用e1,e2表示)
13.(2024·四川自贡期末)如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,点E在线段BC上满足,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=　　　　.
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14.(多选)(2024·河北保定高三期末)设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴,其中∠xOy=θ0<θ<π且θ≠,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平面向量a满足a=xe1+ye2,则有序数对(x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标,记作a=(x,y)θ,下列命题中是真命题的是(　　)
A.已知a=(2,3),则|a|=
B.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a+b=(x1+x2,y1+y2)θ
C.已知a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a·b=0
D.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,若a∥b,则x2·y1=x1·y2
15.(多选)如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　)
A.-6 B.1
C.5 D.9
答案：
1.D　A选项,因为a=4b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,A错误;B选项,因为a=-2b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,B错误;C选项,因为a=3b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,C错误;D选项,设a=mb,则e1-2e2=2me1+4me2,则无解,故a,b不共线,则a=e1-2e2,b=2e1+4e2可以作为基底,D正确.故选D.
2.C　因为=3,所以=3(),所以
3.A　正方形网格长度为1,以a的起点为原点,水平向右的方向为x轴的正方向,竖直向上的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1).由c=λa+μb(λ,μ∈R),得(2,1)=λ(1,1)+μ(0,-1),解得则λ+μ=3,所以由“c=λa+μb(λ,μ∈R)”可以推出“λ+μ=3”.但当λ=1,μ=2时,λa+μb=(1,-1)≠c,所以由“λ+μ=3”推不出“c=λa+μb(λ,μ∈R)”,故“c=λa+μb(λ,μ∈R)”是“λ+μ=3”的充分不必要条件.
4.A　根据题意知=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),则=(3,1),=(m-2,-6).若B,C,D三点共线,则,故m-2=-18,解得m=-16.
5.C　因为向量m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),且m∥n,所以acos B=(2c-b)cos A,由正弦定理可得sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,即sin(A+B)=2sin Ccos A,即sin C=2sin Ccos A,又因为C∈(0,π),sin C≠0,故cos A=,由A∈(0,π),解得A=故选C.
6.AC　对于A,)=,故A正确;对于B,)=,故B错误;对于C,设=x+y,则=x+y=3x+y,因为E,F,C三点共线,所以3x+y=1,又因为=x+y=x+2y,A,F,D三点共线,所以x+2y=1,解得x=,y=,故,故C正确;对于D,)=,故D错误.故选AC.
7　因为a∥b,所以-log2x=log23,所以log2x+log23=0,所以log2(3x)=0,所以3x=1,所以x=
8.(-3,9)　因为点C在∠AOB的平分线上,所以存在λ∈(0,+∞),使得=λ=λ(0,1)+λ-=-,,又因为||=3,所以-2+2=(3)2,解得λ=5.故向量=(-3,9).
9.D　对于A,因为若a与b共线,则mq=np,所以a b=mq-np=0,故A正确;对于B,a b=mq-np,a·b=mp+nq,(a b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(mq)2+(np)2-2mnqp+(mp)2+(nq)2+2mnqp=m2(q2+p2)+n2(q2+p2)=(m2+n2)(q2+p2)=|a|2|b|2,故B正确;对于C,因为(λa) b=λmq-λnp=λ(a b),故C正确;对于D,因为a b=mq-np,b a=pn-qm,不相等,故D错误.故选D.
10.B　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
A(0,0),B(1,0),C(1,1),则=(0,1),=(-1,0),因为=x+y=x(0,1)+y(-1,0)=(-y,x),=(1,0)+(-y,x)=(1-y,x),因为AD=,化简(1-y)2+x2=3,即y2+x2=2+2y,=(0,-1)+(-y,x)=(-y,x-1),因为CD=1,所以=1,所以,化简得y2+(x-1)2=1,即y2+x2=2x,所以2+2y=2x,即x-y=1.故选B.
11.A　以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设|BE|=1,则|AE|=2,|AB|=,cos∠BAE=,sin∠BAE=,所以点E的纵坐标为|AE|·sin∠BAE=,横坐标为|AE|·cos∠BAE=,即E,=,又因为=(,0),=(0,),所以a+b.故选A.
12.-e1+e2　-e1+e2　设=x,=y,则x,=-y.由,得
①+②×(-2),得x-2x=e1-2e2,即x=-(e1-2e2)=-e1+e2,所以=-e1+e2.
同理可得y=-e1+e2,即=-e1+e2.
13.　以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E2,,AC=2,AD=ACtan 30°=,过点D作DF⊥x轴于点F,∠DAF=45°,DF=sin 45°=,
所以D-,=(2,2),=-,=2,,
因为=+,
所以(2,2)=λ-+μ2,,
所以
解得
则λμ的值为
14.BD　对于A,a=(2,3),则a=2e1+3e2,所以|a|==,故A错误;对于B,已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,则a+b=(x1+x2,y1+y2)θ,故B正确;对于C,a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a=-e1+2e2,a=2e1+e2,所以a·b=(-e1+2e2)·(2e1+e2)=-2|e1|2+2|e2|2+3|e1||e2|cos=-2+2+3×1×1×cos,故C错误;对于D,a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,若a∥b,则当a=0或b=0时,x1=y1=0或x2=y2=0,x2·y1=x1·y2满足;当a≠0,b≠0时,存在唯一λ,使得a=λb,则x1e1+y1e2=λ(x2e1+y2e2),则x1=λx2,y1=λy2,消元变形得到x2·y1=x1·y2,故D正确.故选BD.
15.BC　设=a,=b,求x+y的范围,只需考虑图中6个向量的情况即可,
讨论如下:①若P在A点,=a,∴x+y=1+0=1;②若P在B点,=b,∴x+y=0+1=1;③若P在C点,=a+2b,∴x+y=1+2=3;④若P在D点,=a+b+(a+2b)=2a+3b,∴x+y=2+3=5;⑤若P在E点,=a+b,∴x+y=1+1=2;⑥若P在F点,=a+3b,∴x+y=1+3=4.∴x+y的最大值为5.根据对称性,可知x+y的最小值为-5.故选BC.
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