通用版高考数学一轮复习课时突破练49　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练49　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础达标练
1.(2024·江苏南通模拟)直线x·tan+y-2=0的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2024·四川绵阳高三期末)直线2x-3y+1=0的一个方向向量是(　　)
A.(3,2) B.(2,3)
C.(3,-2) D.(2,-3)
3.如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,把l绕点A顺时针旋转45°得直线m,m的倾斜角为α,则cos α等于(　　)
A.- B.
C. D.
5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)
A.x+y-5=0
B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0
D.2x+y-7=0
6.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(3,1),C(4,5),M为AB的中点,则中线CM所在直线的方程为(　　)
A.2x+y-3=0
B.2x-y+3=0
C.2x+y+3=0
D.2x-y-3=0
7.(多选)已知直线l过点M(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A,B两点,则(　　)
A.若直线l的斜率为1,则直线l的方程为y=x+5
B.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为x+y=1
C.若M为AB的中点,则l的方程为3x-2y+12=0
D.直线l的方程可能为y=3
8.直线l的一个方向向量为v=(1,-),则该直线的倾斜角为　　　　　　.
9.已知点A(2,4),B(4,2),直线l:y=kx-2,则直线l经过定点　　　　　,若直线l与线段AB有公共点,则k的取值范围是　　　　　.
能力提升练
10.(2024·河南开封模拟)若直线l:=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,=(　　)
A.2 B. C. D.
11.(2024·上海黄浦高三期中)直线(a2+1)x-2ay+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.0, B.
C. D.0,∪,π
12.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则(k,b)在第二象限
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2,-1),斜率为-的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2)
D.斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±3
13.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.不经过原点的直线都可以表示为=1
B.若直线l与x轴、y轴的交点分别为A,B且AB的中点为(4,1),则直线l的方程为=1
C.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=x或x+y=2
D.直线3x-2y=4的截距式方程为=1
素养拔高练
14.(2024·河北沧州三模)光从介质1射入介质2发生折射时,入射角与折射角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射率.如图,一个折射率为的圆柱形材料,其横截面圆心在坐标原点,一束光以45°的入射角从空气中射入点A(-2,0),该光线再次返回空气中时,其所在直线的方程为　　　　　　　　.
15.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,则直线AB的方程是　　　　　　　　.
答案：
1.D　由题意可将原直线方程变形为y=-tanx+2=tanx+2,又倾斜角的取值范围为[0,π),所以倾斜角为即A,B,C错误.
2.A　直线2x-3y+1=0的斜率为k=,则直线2x-3y+1=0的一个方向向量a=1,,对于A项,因为3-1×2=0,所以向量(3,2)与1,共线,A是;对于B项,因为2-1×3≠0,所以向量(2,3)与1,不共线,B不是;对于C项,因为3-1×(-2)≠0,所以向量(3,-2)与1,不共线,C不是;对于D项,因为2-1×(-3)≠0,所以向量(2,-3)与1,不共线,D不是.
3.C　∵AC<0,BC<0,∴A,B同号.又直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,-<0,->0,从而直线Ax+By+C=0不经过第三象限.
4.C　设l的倾斜角为θ,则tan θ=,∴θ=60°,由题意知α=θ-45°=60°-45°,∴cos α=cos(60°-45°)=cos 60°·cos 45°+sin 60°sin 45°=
5.A　易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,∴点P在AB的垂直平分线,即x=2上,∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
6.D　点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得,即2x-y-3=0.
7.AC　对于A项,直线l的斜率为1,则直线l的方程为y-3=x+2,即y=x+5,故A正确;对于B项,当直线l在两坐标轴上的截距都为0时,l的方程为y=-x,故B错误;对于C项,因为中点M(-2,3),且A,B在x轴、y轴上,所以A(-4,0),B(0,6),故AB的方程为=1,即3x-2y+12=0,故C正确;对于D项,直线y=3与x轴无交点,与题意不符,故D错误.
8.120°　设直线l的倾斜角为α,则0°≤α<180°,因为直线l的一个方向向量为v=(1,-),则tan α==-,故α=120°.
9.(0,-2)　[1,3]　由题意得直线l:y=kx-2过定点C(0,-2),又点A(2,4),B(4,2),kCA==3,kCB==1,要使直线l与线段AB有公共点,由图可知k∈[1,3].
10.D　因为直线l:=1(a>0,b>0)经过点(1,2),所以=1,可得a+b=(a+b)=3+3+2,当且仅当,即b=a时,等号成立,所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3+2,此时b=a,则
11.C　由题意知,若a=0,则倾斜角为θ=;若a≠0,则k=,①当a>0时,2=1(当且仅当a=1时,等号成立),②当a<0时,-≤-2=-1(当且仅当a=-1时,等号成立),k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),故θ∈∪.
综上,θ∈.
12.ABC　A项中,直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,所以(k,b)在第二象限,故A正确;B项中,直线可写为y-2=a(x-3),所以直线过定点(3,2),故B正确;C项中,根据直线的点斜式方程知正确;D项中,由直线的斜截式方程得y=-2x+3,故D错误.
13.BCD　A项中,与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示,故A错误;B项中,AB的中点为(4,1),那么A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为=1,故B正确;C项中,直线过原点时方程为y=x,不过原点时方程为x+y=2,故C正确;D项中,方程3x-2y=4可化为=1,故D正确.
14.(-2)x-y+2-2=0　
如图,入射角α=45°,设折射角为α',,∴sin α'=,则α'=30°,
∴∠OAB=30°=∠OBA,∴∠xOB=60°,则xB=2cos(-60°)=1,yB=2sin(-60°)=-,∴B(1,-),且β=45°.∴该光线再次返回空气中时,其所在直线的倾斜角为180°-(45°-30°)=165°,则其所在直线的斜率为tan 165°=-tan 15°=-tan(45°-30°)=-=--2,∴直线的方程为y+=(-2)(x-1),整理得(-2)x-y+2-2=0.
15.(3+)x-2y-3-=0　由题意可得kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C.
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得
解得m=,所以A().
又因为P(1,0),所以kAB=kAP=,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
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