通用版高考数学一轮复习课时突破练50　两条直线的位置关系（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练50　两条直线的位置关系
基础达标练
1.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　)
A. B.不存在
C.- D.-或不存在
2.已知直线l1经过点A(2,a-1),B(a,4),且与直线l2:2x+y-3=0平行,则a等于(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　　)
A.x+2y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y-3=0
4.若直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a+b+c等于(　　)
A.-6 B.4 C.-10 D.-4
5.(2024·黑龙江哈尔滨模拟预测)已知直线l1:ax+3y-6=0,直线l2:2x+(a-1)y-4=0,则“l1∥l2”是“a=3或a=-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2024·黑龙江牡丹江模拟)直线y=x关于直线x=1的对称直线为l,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-2=0
B.x+y+2=0
C.x+y-2=0
D.x+y+2=0
7.(多选)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是(　　)
A.若l1∥l2,则m=-1或m=3
B.若l1∥l2,则m=3
C.若l1⊥l2,则m=-
D.若l1⊥l2,则m=
8.已知直线l1:2x+y+1=0和直线l2:x+ay+3=0,若l1⊥l2,则实数a的值为　　　　　;若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为　　　　　.
能力提升练
9.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小,则点P的坐标为(　　)
A.(-2,-3) B.(-2,3)
C.(2,3) D.(-2,2)
10.定义点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2.以下说法正确的是(　　)
A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行
B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1·d2≤0,则直线P1P2与直线l相交
11.(多选)设直线l1:y=px+q,l2:y=kx+b,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B.l1与l2至多有无穷多个交点
C.l1∥l2的充要条件是p=k且q≠b
D.记l1与l2的交点为M,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0可表示过点M的所有直线
12.(多选)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下说法正确的是(　　)
A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)
C.不论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.如果l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是(O为坐标原点)
13.(2024·四川成都模拟预测)已知直线l经过点P(0,1),且被两条平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+5=0截得的线段长为2,则直线l的方程为　　　　　　　　.
14.(2024·湖北一模)设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出,经l反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若||=,则k的值为　　　　　.
素养拔高练
15.(多选)设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A,B,直线l:xcos θ-ysin θ+1=0(其中0<θ<π)分别与直线x+1=0,x-1=0交于C,D两点,则(　　)
A.当θ=时,l的倾斜角为
B. θ∈(0,π),点A,B到l的距离之和为定值
C. θ∈(0,π),使l与圆O无公共点
D. θ∈(0,π),恒有OC⊥OD
答案：
1.D　当a≠0时,设直线l2的斜率是k2,由l1⊥l2得ak2=-1,则k2=-;当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y轴平行或重合,则直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为-或不存在.
2.C　直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-2,所以=-2,解得a=-1,经检验符合题意.
3.D　设直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线为l2,则l2的斜率为-,且过直线x-2y+1=0与x=1的交点(1,1),则l2的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.故选D.
4.D　因为ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,故2a-20=0,即a=10,因为垂足为(1,b),故故a+b+c=-4.
5.A　若直线l1:ax+3y-6=0和直线l2:2x+(a-1)y-4=0平行,则解得a=-2,所以“l1∥l2”是“a=3或a=-2”的充分不必要条件.
6.C　直线y=x与直线x=1交于点A1,,所以直线l的斜率为-且过点A1,,所以直线l的方程为y-=-(x-1),即x+y-2=0.
7.BD　由直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0得,若l1∥l2,则,解得m=3,故A错误,B正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C错误,D正确.故选BD.
8.-2　　已知直线l1:2x+y+1=0和l2:x+ay+3=0,若l1⊥l2,则2+a=0,解得a=-2;若l1∥l2,则2a=1,解得a=,此时直线l2:2x+y+6=0,显然两直线不重合,故此时l1与l2间的距离d=
9.B　根据题意画出大致图象,如图.
设点A关于直线x-2y+8=0的对称点为A1(m,n).
则有解得
故A1(-2,8).此时直线A1B的方程为x=-2.所以当点P是直线A1B与直线x-2y+8=0的交点时,|PA|+|PB|最小,将x=-2代入x-2y+8=0,得y=3,故点P的坐标为(-2,3).
10.A　设P1(x1,y1),P2(x2,y2),对于A项,若d1=d2=1,则ax1+by1+c=ax2+by2+c=,直线P1P2与直线l平行,正确;对于B项,点P1,P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线P1P2不一定与l垂直,错误;对于C项,若d1=d2=0,满足d1+d2=0,即ax1+by1+c=ax2+by2+c=0,则点P1,P2都在直线l上,所以此时直线P1P2与直线l重合,错误;对于D项,若d1·d2≤0,即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)≤0,所以点P1,P2分别位于直线l的两侧或在直线l上,所以直线P1P2与直线l相交或重合,错误.
11.BC　对于A项,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=m(m为直线与x轴交点的横坐标),此时直线l1或l2的方程无法表示,故A错误;对于B项,当p=k且q=b时,两直线重合,此时两直线有无穷多个交点,故B正确;对于C项,当p=k且q≠b时,l1∥l2,故C正确;对于D项,记l1与l2的交点为M,则M的坐标满足l1:y=px+q且满足l2:y=kx+b,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0不表示过点M的直线l2,故D错误.
12.ABD　对于A项,a×1+(-1)×a=0恒成立,l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;对于B项,直线l1:ax-y+1=0,当a变化时,x=0,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1);l2:x+ay+1=0,当a变化时,x=-1,y=0恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确;对于C项,在l1上任取一点(x,ax+1),该点关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,左边不恒等于0,故C不正确;对于D项,联立解得即M,所以|MO|=,所以|MO|的最大值是,故D正确.
13.(2+)x-y+1=0或(2-)x+y-1=0　若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,此时与l1,l2的交点分别为(0,-1)和(0,-5),截得的线段的长为|-5-(-1)|=4≠2,不符合题意.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=kx+1,解方程组得点A,解方程组得点B.由|AB|=2,得2+2=8,即k2-2k-1=0,解得k=±2,则直线l的方程为(2+)x-y+1=0或(2-)x+y-1=0.
14　如图,设点O关于直线l的对称点为A(x1,y1),
则
解得即A(1,1).
由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行,故k≠-1,由即P,故直线AP的斜率为kAP=,直线AP的直线方程为y-1=(x-1),令y=0得x=1-k,故M(1-k,0),令x=0得y=1-,故由对称性可得N0,-1,由||=得(1-k)2+,即-2k+=,解得k+,得k=或k=,若k=,则第二次反射后光线不会与y轴相交,故不符合条件.故k=
15.BD　依题意A(-1,0),B(1,0),对于A项,当θ=时直线l:xcos-ysin+1=0,即-x-y+1=0,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的倾斜角为,故A错误;对于B项,点A到直线l的距离d1==|-cos θ+1|,点B到直线l的距离d2==|cos θ+1|,所以点A,B到直线l的距离之和为d=|-cos θ+1|+|cos θ+1|,因为θ∈(0,π),所以cos θ∈(-1,1),所以d=-cos θ+1+cos θ+1=2,即对 θ∈(0,π),点A,B到直线l的距离之和为定值2,故B正确;对于C项,坐标原点O到直线l的距离dO==1,所以直线l与单位圆相切,即直线l与单位圆必有一个交点,故C错误;对于D项,对于直线l:xcos θ-ysin θ+1=0,令x=-1,解得y=,令x=1,解得y=,即C-1,,D1,,所以=-1,,=1,,所以=-1+=-1+=-1+=0,所以,即 θ∈(0,π),恒有OC⊥OD,故D正确.
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