通用版高考数学一轮复习课时突破练57　圆锥曲线中的范围、最值问题（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练57　圆锥曲线中的范围、最值问题
基础达标练
1.已知点P是抛物线C:y2=4x上的动点,点P到y轴的距离为d,Q(-3,3),则|PQ|+d的最小值为(　　)
A.5 B.+1
C.-1 D.4
2.(2024·安徽池州二模)已知实数x,y满足mx2+2y2=4(m>0),若|x+2y|的最大值为4,则m=(　　)
A. B. C. D.
3.已知P是双曲线x2-y2=1上的动点,Q是圆(x-4)2+y2=4上的动点,则P,Q两点间的最短距离为(　　)
A.-2 B.-1
C.-1 D.2-2
4.(2024·浙江联考一模)已知A,B分别是双曲线C:-y2=1的左、右顶点,P是双曲线C上的一动点,直线PA,PB与x=1交于M,N两点,△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2,则的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
5.(多选)(2024·广东湛江高三检测)已知椭圆C:=1,且两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,以下结论正确的是(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
6.(2024·广东茂名模拟预测)已知抛物线C:x2=4y,定点T(1,0),M为直线y=x-1上一点,过M作抛物线C的两条切线MA,MB,A,B是切点,则△TAB面积的最小值为　　　　　.
能力提升练
7.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+9|DE|的最小值为(　　)
A.32 B.48 C.64 D.72
8.(2024·山东济南一模)若椭圆C1和C2的方程分别为=1(a>b>0)和=λ(a>b>0,λ>0且λ≠1),则称C1和C2为相似椭圆.已知椭圆C1:=1,C2:=λ(0<λ<1),过C2上任意一点P作直线交C1于M,N两点,且=0,则△MON的面积最大时,λ的值为(　　)
A. B. C. D.
9.(多选)(2024·河南周口高三检测)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A,B为双曲线上两点,且满足,M为C上异于A,B的动点,则下列结论正确的是(　　)
A.C的渐近线方程为y=±x
B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
C.当|AB|=|F1F2|时,△BF1F2的面积为6
D.设MA,MB的斜率分别为k1,k2,则(k1+2k2)2的最小值为24
10.(多选)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
11.已知点P是椭圆=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2平分线上一点,且=0,则|OM|的取值范围是　.
12.已知F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,满足=0的点M总在椭圆的内部,则此椭圆离心率的取值范围为　　　　　.
13.(15分)如图,已知椭圆+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
素养拔高练
14.(15分)(2023·全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值.
答案：
1.D　∵抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),P到直线x=-1的距离等于|PF|,∴P到y轴的距离d=|PF|-1,∴d+|PQ|=|PF|+|PQ|-1.∴当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(-3,3),F(1,0),∴|QF|=5,∴d+|PQ|的最小值为5-1=4.
2.D　令x+2y=t,则t2≤16,则m>0时,由整理得(4m+2)y2-4mty+mt2-4=0,则Δ=(-4mt)2-4(4m+2)(mt2-4)≥0,整理得t2,则=16,解得m=
3.A　P是双曲线x2-y2=1上的动点,Q是圆(x-4)2+y2=4上的动点,由已知圆(x-4)2+y2=4的圆心为M(4,0),半径为2,P,Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径,设P(x,y),可知x2-y2=1,即y2=x2-1,可得|PM|=,当且仅当x=2时等号成立,所以P,Q两点间的最短距离为-2.
4.A　由已知得,A(-2,0),B(2,0),由双曲线的对称性,不妨设P(x,y)在第一象限,所以kPA=,kPB=,所以kPA·kPB=,设直线PA的方程为y=k(x+2),k>0,则直线PB的方程为y=(x-2),同时令x=1,则yM=3k,yN=-,所以|MN|=3k+,k>0,设△PMN,△PAB的外接圆的半径分别为r1,r2,由正弦定理得,2r1=,2r2=,所以,当且仅当3k=,即k=时等号成立,所以=2=
5.BD　椭圆C:=1,则a=4,b=2,c==2.对于A项,e=,故A错误;对于B项,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;对于C项,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;对于D项,|PF1|·|PF2|=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.
6　设M(x0,y0),MA,MB的斜率分别为k1,k2,且y0=x0-1.过点M的切线方程为y-y0=k(x-x0),联立解得x2-4kx-2x0+4+4kx0=0,所以Δ=16k2-4(-2x0+4+4kx0)=0,即2k2-2kx0+x0-2=0,所以k1+k2=x0,k1k2=,设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由导数几何意义知k1=x1,k2=x2,所以A(2k1,),B(2k2,),kAB=,所以直线AB:y-(x-2k1),即lAB:x0x-2y-2y0=0且2y0=x0-2,所以lAB:x0x-2y-x0+2=0,直线AB恒过定点(1,1),其到T的距离为1,联立得x2-2x0x+4y0=0,所以x1+x2=2x0,x1x2=4y0,即(x1-x2)2=4-16y0=4-8x0+16=4(x0-1)2+12≥12,所以S△TAB=1×|x1-x2|
7.C　因为直线l1⊥l2,且与抛物线y2=4x都有2个交点,所以直线l1,l2的斜率均存在且不为零,因为y2=4x的焦点F(1,0),所以可设直线l1的方程为x=my+1(m≠0),则直线l2的方程为x=-y+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l1和抛物线C的方程,消去x并整理得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0恒成立,则y1+y2=4m,y1y2=-4,由弦长公式得|AB|==4(m2+1),同理可得|DE|=4+1.所以|AB|+9|DE|=4(m2+1)+36+1=4m2++40≥64,当且仅当m2=,即m=±时等号成立,所以|AB|+9|DE|的最小值为64.故选C.
8.B　当直线MN的斜率不存在时,设直线MN的方程为x=x0,-2x0≤2,联立可得
所以|MN|=2,所以△MON的面积S△MON=|x0|,由=0,可得P为MN的中点,所以P(x0,0),因为点P在椭圆C2上,所以x0=±2,所以S△MON=2,当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=sx+t,联立消去y,得(4s2+3)x2+8stx+4t2-12=0,所以Δ=64s2t2-4(4s2+3)(4t2-12)=48(4s2-t2+3)>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以=-+t=,所以P点坐标为-,因为点P在椭圆C2上,所以t2=λ(4s2+3),因为原点O到直线MN的距离为,|MN|=|x2-x1|=,所以△MON的面积S△MON=
|t||x1-x2|==
=2
综上,S△MON=2,又0<λ<1,则S△MON=2=2,所以当λ=时,△MON的面积最大.
9.
ACD　由双曲线的方程可知a=,b=,c=2,由题意可知,A,B两点关于O点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),M(x0,y0),对于A项,渐近线方程y=±x=±x,故A正确;对于B项,焦点(2,0)到渐近线y=x的距离d=,故B不正确;对于C项,由对称性可知,|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|,故四边形AF1BF2为平行四边形,当|AB|=|F1F2|时,四边形AF1BF2为矩形,△BF1F2为直角三角形,故=32,由双曲线定义可得|AF1|-|AF2|=2,两边平方得-2|AF1|·|AF2|+=8,故|AF1|·|AF2|=12,所以|AF1|·|AF2|=6,故C正确;对于D项,设A(x1,y1),M(x0,y0),联立可得=3,由于k1=,k2=,所以k1·k2==3,由(k1+2k2)2=+4+4k1k2≥8k1k2=24,当且仅当k1=,k2=时等号成立,故D正确.
10.ACD　选项A,由题意知,点A在线段MF的垂直平分线上,则xA=p,所以=2pxA=2pp=p2(yA>0).所以yA=p,故kAB==2,故选项A正确;选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(xB,yB),则p+yB=p,则yB=-,代入抛物线方程得=2p·xB,解得xB=所以|OB|2=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,Ap,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.
11.(0,3)　如图所示,设F1M,PF2的延长线交于点Q,因为=0,所以PM⊥F1Q,又MP是∠F1PQ的平分线,所以△PF1Q为等腰三角形,|PF1|=|PQ|且M是F1Q的中点,又O是F1F2的中点,在△QF1F2中,|OM|=|QF2|=(|PQ|-|PF2|)=(|PF1|-|PF2|)|F1F2|=3,当且仅当点P是椭圆长轴的两个端点时,等号成立,而当点P是椭圆短轴两个端点时,|OM|=0,因为x≠0,y≠0,所以|OM|的取值范围是(0,3).
12.0,　由=0,可知∠F1MF2=90°,即点M在以原点O为圆心,以|F1F2|为直径的圆上.因此要使点M总在椭圆内部,只需c13.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵Q0,在直线AB上,∴设直线AB为y=kx+,设E(x,y)为椭圆上除P之外的一点且P(0,1),则|PE|2=(y-1)2+x2=(y-1)2+12-12y2=-11y2-2y+13=-11y2+y+2++13=-11y+2+,
∵-1≤y≤1,∴当y=-时,|PE|2最大值为,∴|PE|max=
(2)由得(12k2+1)x2+12kx-9=0.则x1+x2=,x1·x2=,直线PA:y-1=(x-0),即y=x+1,由得x=2,而y1=kx1+,
x=2,
∴xC=,yC=-xC+3=+3=,
∴C,
同理,D,
|CD|2=2+
2=
+
=
∴|CD|=
=
=
=,
令3k+1=t,则k=,
当,即t=,k=时取得最小值.
|CD|min=
14.解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|=|y1-y2|==4,解得p=-(舍)或p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).
设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,由得y2-4my-4n=0,则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
=(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,∴4m2=n2-6n+1≥0,又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2
∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1)=(my3+n+1)(my4+n+1)=[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2,∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值.∴△MNF面积的最小值为12-8
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