通用版高考数学一轮复习课时突破练58　圆锥曲线中的定点、定值问题（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练58　圆锥曲线中的定点、定值问题
基础达标练
1.(2024·贵州贵阳三模)已知椭圆=1,直线y=kx(k≠0)与椭圆交于A,B两点,F1,F2分别为椭圆的左、右两个焦点,直线AF2与椭圆交于另一个点D,则直线AD与BD的斜率乘积为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
2.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
3.已知某直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,且两交点纵坐标之积为-16,则直线恒过点(　　)
A.(1,0) B.(2,0)
C.(4,0) D.(8,0)
4.(2024·山东青岛高三期末)已知动点P在椭圆C:=1上,点P到定点F(4,0)的距离记为d1,到定直线x=的距离记为d2,则=(　　)
A. B.
C. D.
5.(2024·内蒙古通辽联考)已知A,B是椭圆=1(a>b>0)长轴上的两个端点,M是椭圆上一点,直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,若椭圆的离心率为,则k1·k2=(　　)
A.- B.-
C.- D.
6.(多选)(2024·湖南长沙模拟)已知椭圆=1上一点P位于第一象限,左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,∠F1PF2的角平分线与x轴交于点G,与y轴交于点H0,-,则(　　)
A.四边形HF1PF2的周长为4+
B.直线A1P,A2P的斜率之积为-
C.|F1G|∶|F2G|=3∶2
D.四边形HF1PF2的面积为2
7.(2024·山西吕梁二模)已知抛物线C:y2=2px过点A(2,4),P,Q是抛物线C上的两个动点,直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4,则直线PQ恒过定点　　　　　.
能力提升练
8.设F为椭圆C:+y2=1的右焦点,过点(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,设直线AF,BF的斜率分别为k1,k2(k2≠0),则为(　　)
A.-1 B.1
C.4 D.-4
9.双曲线x2-=1的左、右两支上各有一点A,B,点B在直线x=上的射影是点B',若直线AB过右焦点,则直线AB'必定经过的定点的坐标为　　　　　.
10.已知点P为椭圆+y2=1上任一点,点Q是抛物线x2=2y的准线上的任意一点,以PQ为直径的圆过原点O,则=　　　　　.
11.(15分)(2024·河北模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上有一点P(1,m)(m>0),F为抛物线C的焦点,E-,0,且|EP|=|PF|.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点P向圆E:x+2+y2=r2(点P在圆外)引两条切线,交抛物线C于另外两点A,B,求证:直线AB过定点.
12.(15分)(2024·福建漳州模拟)已知R是圆M:(x+)2+y2=8上的动点,点N(,0),直线NR与圆M的另一个交点为S,点L在直线MR上,MS∥NL,动点L的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若过点P(-2,0)的直线l与曲线C相交于A,B两点,且A,B都在x轴上方,问:在x轴上是否存在定点Q,使得△QAB的内心在一条定直线上 请你给出结论并证明.
素养拔高练
13.(多选)(2024·贵州贵阳高三检测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0,且λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足.设点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是(　　)
A.C的方程为(x+4)2+y2=16
B.点A,B都在曲线C内部
C.当A,B,P三点不共线时,∠APO=∠BPO
D.若D(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4
14.(多选)(2024·江苏高三检测)如图,△PAB为阿基米德三角形,抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),以A,B为切点的抛物线的切线PA,PB相交于点P.给出如下结论,其中正确的为(　　)
A.若弦AB过焦点,则△ABP为直角三角形且∠APB=90°
B.点P的坐标是
C.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0
D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
答案：
1.B　∵直线y=kx(k≠0)过原点,∴可设A(x1,y1),D(x2,y2),则B(-x1,-y1),
∴kAD·kBD==-,= -,∴kAD·kBD=-
2.C　根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以三角形周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16.所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.
3.C　易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-4my-4n=0,所以y1y2=-4n=-16,所以n=4,所以x=my+4,所以直线恒过点(4,0),故选C.
4.C　设点P(m,n),则d2=-m,d1==
=5-m,所以
5.C　依题意可得A(-a,0),B(a,0),设M(x0,y0)(x0≠±a),所以k1=,k2==1,因为椭圆的离心率为,所以e=,所以,所以k1·k2==-=-
6.ABD　由题意知,长半轴长a=2,短半轴长b=,半焦距c=1,∴F1(-1,0),F2(1,0).
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,易得|HF1|=|HF2|=,∴四边形HF1PF2的周长为4+,故A正确.
由椭圆的第三定义知=-=-,故B正确.
设P(x0,y0),则=1,0∵PH是∠F1PF2的角平分线,
∴点H到直线PF1的距离与点H到直线PF2的距离相等,
,
易知(x0+1)+y0与(x0-1)-y0必一正一负(x0+4),同理得(4-x0),
=-,整理得y0=,
∴x0=1,∴四边形HF1PF2的面积为|F1F2|=2,故D正确.
kPH==2,直线PH:y+=2x,即y=2x-,令y=0,得x=,故G,
∴|F1G|=-(-1)=,|F2G|=1-,
∴|F1G|∶|F2G|=5∶3,故C错误.
7.(0,-2)　A(2,4)坐标代入抛物线方程得16=4p,解得p=4,∴抛物线方程为y2=8x.显然直线PQ斜率不为0,故可设PQ:x=my+t,将PQ的方程与y2=8x联立得y2-8my-8t=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=8m,y1y2=-8t,
∴Δ>0 64m2+32t>0 2m2+t>0,kPA=,同理,kQA=,由题意,得=4,∴2(y1+y2)=y1y2+4(y1+y2),∴y1y2=-2(y1+y2),即t=2m,代入直线方程得x=my+2m=m(y+2),故直线PQ恒过定点(0,-2).
8.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB:x=ty+2,代入椭圆方程,可得(2+t2)y2+4ty+2=0.所以y1+y2=,y1y2=故k1+k2==0.又k1,k2均不为0,故=-1,即为定值-1.
9.,0　双曲线x2-=1的右焦点为(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),B',y2,lAB:y=k(x-2),直线与双曲线方程联立得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,则x1+x2=,x1·x2=,所以x1·x2+1=(x1+x2),直线AB'的斜率为k=,所以直线AB'的方程为y-k(x1-2)=(x-x1),令y=0化简得,(x2-x1)x=x1·x2-x1+1=(x2-x1),即(x2-x1)x-=0,则x=恒成立,所以直线AB'必定经过的定点的坐标为,0.
10.1　抛物线C的标准方程为x2=2y,其准线方程为y=-,设P(xP,yP),QxQ,-,因为以PQ为直径的圆过原点,所以OP⊥OQ,所以xP≠0,所以xPxQ-=0,即xQ=,所以,又因为=1,=1-,所以=1,所以为定值,且定值为1.
11.(1)解 由题意,知F,0,∵抛物线C过点P(1,m)(m>0),∴m2=2p,又|EP|=|PF|,∴1+2+m2=21-2+2m2,∴1+2+2p=21-2+4p,又p>0,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明 由(1)得,P(1,2),圆E:(x+1)2+y2=r2.
∵P(1,2)在圆外,∴r2<22+22=8,即0∴y=2是过点P的圆E的另一条切线,此时切线y=2与抛物线C有且仅有一个交点P,不合题意.当过点P的圆E的切线斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,∴圆心E(-1,0)到切线的距离d==r,整理可得(r2-4)k2+8k+r2-4=0,设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1.由题意,知直线AB斜率不为0,可设直线AB方程为x=ty+n,由得y2-4ty-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4n,∴k1k2==1,整理可得n=2t-3,∴直线AB:x=ty+2t-3=(y+2)t-3,
∴直线AB恒过定点(-3,-2).
综上所述,直线AB恒过定点(-3,-2).
12.解 (1)圆M的圆心为M(-,0),半径r=2,因为MS∥NL,所以△MSR∽△LNR,又因为|MR|=|MS|,所以|LR|=|LN|,所以||LM|-|LN||=||LM|-|LR||=|MR|=r=2<2=|MN|,所以点L在以M,N为焦点,2为实轴长的双曲线上.设双曲线的方程为=1(a>0,b>0,c=),则2a=2,2c=2所以a=,c=,b=1.又因为点L不可能在x轴上,所以曲线C的方程为-y2=1(y≠0).
图1
图2
(2)在x轴上存在定点Q(-1,0),使得△QAB的内心在一条定直线上.
证明如下:由条件可设l:x=my-2,代入-y2=1,得(m2-2)y2-4my+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则得m2≠2,所以y1+y2=>0,y1y2=>0,所以y1+y2=2my1y2.取Q(-1,0),则kAQ+kBQ==0.又因为A,B都在x轴上方,所以∠AQB的平分线为定直线x=-1,所以在x轴上存在定点Q(-1,0),使得△QAB的内心在定直线x=-1上.
13.ACD　设P(x,y)(P不与A,B重合),由A(-2,0),B(4,0),有|PA|=,|PB|=,即,化简得(x+4)2+y2=16,所以点P的轨迹曲线C是以C(-4,0)为圆心,半径r=4的圆,如图所示,
对于A选项,由曲线C的方程为(x+4)2+y2=16,选项A正确;对于B选项,由BC=8,点B在曲线C外,选项B错误;对于C选项,由|OA|=2,|OB|=4,有,则当A,B,P三点不共线时,由三角形内角平分线定理知,PO是△APB内角∠APB的角平分线,所以∠APO=∠BPO,选项C正确;对于D选项,由,得|PB|=2|PA|,则|PB|+2|PD|=2|PA|+2|PD|=2(|PA|+|PD|)≥2|AD|=2×2=4,当且仅当P在线段AD上时,等号成立,则|PB|+2|PD|的最小值为4,选项D正确.
14.ACD　由题意设Ax1,,Bx2,,x121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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