通用版高考数学一轮复习课时突破练59　圆锥曲线中的证明、探究性问题（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练59　圆锥曲线中的证明、探究性问题
基础达标练
1.(2024·四川达州高三期中)已知椭圆+y2=1,直线l:y=2x+m,若椭圆上存在关于直线l对称的两点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,1) B.-
C.(-) D.-
2.(2024·河北沧州一模)已知点P为抛物线x2=8y上一点,过点P作圆C:x2+(y-5)2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为(　　)
A. B. C. D.
3.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3) D.(2,4)
4.定义:椭圆=1(a>b>1)中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”.则椭圆=1中所有“好弦”的长度之和为(　　)
A.162 B.166
C.312 D.364
5.(多选)(2024·湖北武汉模拟预测)设点A(x1,y1)(x1≠0)是抛物线y2=4x上任意一点,过点A作抛物线x2=4y的两条切线,分别交抛物线y2=4x于点B(x2,y2)和点C(x3,y3),则下列结论正确的是(　　)
A.(y1+y2)y1y2=-8
B.y1+y2+y3=0
C.y1y2y3=16
D.直线BC与抛物线x2=4y相切
6.写出一个同时具有下列性质①②的圆的方程为　　　　　.①经过坐标原点;②被两条坐标轴截得的弦长相等.
能力提升练
7.已知椭圆E:=1,对于任意实数k,下列直线中被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(　　)
A.kx+y+1=0 B.kx+y-1=0
C.kx-y-1=0 D.kx+y-2=0
8.(多选)(2024·湖北模拟预测)双曲线具有如下光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C:x2-=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>1)作直线l交x轴于点M,0,交y轴于点N,则(　　)
A.C的渐近线方程为y=±2x
B.∠F1AM=∠F2AM
C.过点F1作F1H⊥AM,垂足为H,则|OH|=
D.四边形AF1NF2面积的最小值为4
9.(多选)(2024·湖北襄阳高三检测)过椭圆C:=1外一点P(x0,y0)作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,若直线PA,PB的斜率之积为m(m为大于0的常数),则点P的轨迹可能是(　　)
A.两条直线的一部分
B.圆的一部分
C.椭圆的一部分
D.双曲线的一部分
10.(2024·河北沧州模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l交抛物线T于A,B两点,M为线段AB的中点,过点M作抛物线T的准线的垂线,垂足为N,若|MF|=|AM|,则的最大值为　　　　　.
11.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与双曲线E的右支交于B,C两点,且|CF|=3|FB|,点B关于原点O的对称点为点A,若=0,则双曲线E的离心率为　　　　　.
12.(15分)(2024·安徽三模)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,C在点P(x0,y0)(y0≠0)处的切线l分别交直线x=1和直线x=2于M,N两点.
(1)求证:直线x0x+2y0y-2=0与C相切.
(2)探究:是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
素养拔高练
13.(15分)(2022·新高考Ⅱ,21)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;
(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M,从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立:
①M在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
答案：
1.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线l:y=2x+m对称,所以直线AB的方程可以设为y=-x+t,联立化为x2-2tx+2t2-2=0,Δ=4t2-4(2t2-2)>0,解得t2<2,-2.D　因为∠MPN=2∠MPC,sin∠MPC=,设Pt,,则|PC|2=t2+-52=+25=(t2-8)2+24.当t2=8时,|PC|min=2,此时∠MPN最大,cos∠MPN最小,且(cos∠MPN)min=1-2sin2∠MPC=1-2×2=
3.D　显然当直线的斜率不存在时,必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时,设斜率为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,M(x0,y0),则相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).由于x1≠x2,所以=2,即ky0=2.圆心为C(5,0),由CM⊥AB得k=-1,ky0=5-x0,所以2=5-x0,x0=3,即点M必在直线x=3上.将x=3代入n=,得y2=12,所以-24(由于斜率不存在,故y0≠0,所以不取等号),所以4<+4<16,所以24.B　由已知可得a=5,b=3,所以c==4,即椭圆=1的右焦点坐标为(4,0),对于过右焦点的弦AB,则有当弦AB与x轴重合时,则弦长|AB|=2a=10;当弦AB不与x轴重合时,设AB:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去x得(9m2+25)y2+72my-81=0,则Δ=(72m)2-4(9m2+25)×(-81)=8 100(m2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=-,故|AB|==101-,∵m2≥0,则9m2+25≥25,0<,可得--<0,即1-<1,∴|AB|∈,10.综上所述,|AB|∈,10,故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10,由椭圆的对称性,可得“好弦”的长度和为4×(4+5+6+7+8+9)+10=166.
5.BCD　对于A项,∵直线AB的斜率为k=,∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),即(y1+y2)y--y1y2=4x-4x1,=4x1,∴直线AB的方程为(y1+y2)y-y1y2=4x,联立x2=4y,消去y得(y1+y2)x2-16x-4y1y2=0,∵直线AB与抛物线x2=4y相切,∴Δ=162+16(y1+y2)y1y2=0,∴(y1+y2)y1y2=-16,∴选项A错误;对于B项,同理可得(y1+y3)y1y3=-16,∴(y1+y2)y1y2=(y1+y3)y1y3,∵y1≠0,∴(y1+y2)y2=(y1+y3)y3,整理得(y2-y3)(y1+y2+y3)=0,∵y2≠y3,∴y1+y2+y3=0,∴选项B正确;对于C项,由y1+y2+y3=0可得y1+y2=-y3,代入(y1+y2)y1y2=-16得y1y2y3=16,∴选项C正确;对于D项,将直线BC的方程与抛物线x2=4y联立,同理可得Δ=162+16(y2+y3)y2y3=162-16y1y2y3=0,∴直线BC与抛物线x2=4y相切,∴选项D正确.
6.(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一)　设此圆的圆心坐标为(a,b),由该圆被两条坐标轴截得的弦长相等可知,圆心到坐标轴的距离相等,即|a|=|b|,不妨设圆心坐标为(1,1),又∵该圆经过坐标原点,∴圆的半径r=,此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
7.D　依题意,取k=1时,l:y=x+1.对于A项,当k=1时,kx+y+1=0 y=-x-1,与y=x+1关于x轴对称,截得的弦长相等;对于B项,当k=1时,kx+y-1=0 y=-x+1,与y=x+1关于y轴对称,截得的弦长相等;对于C项,当k=1时,kx-y-1=0 y=x-1,与y=x+1关于原点对称,截得的弦长相等;对于D项,由于直线l:y=kx+1的定点为(0,1),则<1,故(0,1)在椭圆内,则直线l:y=kx+1与椭圆恒有两个交点,设直线l:y=kx+1与=1的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由消去y化简得(4+mk2)x2+2mkx-3m=0,由韦达定理得x1+x2=-,x1x2=-,由弦长公式得|AB|=,所以|AB|=,整理得|AB|=由于直线kx+y-2=0的定点为(0,2),则=1,故(0,2)在椭圆上,当k=0时,直线kx+y-2=0与椭圆相切,不满足题意;易得当k≠0时,直线kx+y-2=0与椭圆恒有两个交点,设直线kx+y-2=0与=1的交点为C(x3,y3),D(x4,y4),则由消去y化简得(4+mk2)x2-4mkx=0,由韦达定理得x3+x4=,x3x4=0,由弦长公式得|CD|=,所以|CD|=,整理得|CD|=,因为m≠0,所以,即l:y=kx+1与直线:kx+y-2=0被椭圆E截得的弦长不可能相等.
8.
ABD　对于A选项,由已知可得a=1,b=2,∴C的渐近线方程为y=±2x,故A正确;对于B选项,由题意得,AM的直线方程为y-0=x-,y=x0x-1,y=x0x-1,∴x0x-=1,∴AM为双曲线的切线,由双曲线的光学性质可知,AM平分∠F1AF2,故B正确;对于C选项,延长F1H,与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即点H为F1E的中点.又O是F1F2的中点,∴|OH|=|F2E|=(|AE|-|AF2|)=(|AF1|-|AF2|)=a=1,故C错误;对于D选项,|F1F2|×|y0|+22=4,当且仅当|y0|=,即y0=±2时,等号成立,∴四边形AF1NF2面积的最小值为4,故D正确.
9.AD　依题意可知直线PA和直线PB的斜率存在,设过P(x0,y0)的椭圆的切线方程为y-y0=k(x-x0),联立化简可得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-8=0,取Δ=16k2(y0-kx0)2-4(1+2k2)[2(y0-kx0)2-8]=0,即(8-)k2+2x0y0k+4-=0,且有8-0,x0≠±2,且上式两根分别为kPA,kPB,则上式的判别式Δ1=4-4(8-)(4-)=128-1>0,整理得>1,符合题意,所以kPA·kPB==m,①若m=0,则y0=±2(x0≠±2),即点P的轨迹是直线(两条)的一部分;②若m=,则y0=±x0(x0≠±2),即点P的轨迹是直线(两条)的一部分;若m≠0且m,整理可得=1,③当m=-1时,=4-8m=12,轨迹方程可化为=12(x0≠±2),即点P的轨迹是圆的一部分;④当m<-1或-10,4-8m>0,且4-8m,由于x0≠±2,且=8->8,所以点P的轨迹是椭圆的一部分;⑤当00,=1表示焦点在y轴上的双曲线,由于x0≠±2,所以点P的轨迹是双曲线的一部分.又因为m为大于0的常数,所以点P的轨迹可能是两条直线的一部分或双曲线的一部分.
10　设|AF|=m,|BF|=n,因为|MF|=|AM|=|MB|,所以AF⊥BF,所以|AB|=,过点A,B分别作AG,BW垂直准线于点G,W,
由抛物线的定义可知|AF|=|AG|,|BF|=|BW|,由梯形的中位线可知|MN|=因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥2mn+m2+n2=(m+n)2,当且仅当m=n时,等号成立,所以|AB|=|MN|,所以,故的最大值为
11　设双曲线的左焦点为F1,连接AF,AF1,BF1,如图所示,
又因为=0,所以AF⊥BF,所以四边形AF1BF为矩形.
设|BF|=t,则|CF|=3t,由双曲线的定义可得|BF1|=2a+t,|CF1|=2a+3t,又因为△CBF1为直角三角形,所以|BC|2+|BF1|2=|CF1|2,即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a,所以|BF1|=3a,|BF|=a,又因为△BFF1为直角三角形,|FF1|=2c,所以|BF|2+|BF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,所以,即e=
12.(1)证明 联立整理得(+2)x2-4x0x+(4-4)=0,又因为=1,即+2=2,则x2-2x0x+=0,即=0,此方程有唯一解,即直线x0x+2y0y-2=0与椭圆C相切.
(2)解 由(1)知,直线l的方程为x0x+2y0y-2=0,即y=,将直线x=1和直线x=2分别与上式联立,由题意可得M1,,N2,,因为F(1,0),所以|MF|2=,|NF|2=(2-1)2+2=1+
所以,
即为定值
13.解 (1)由题意得=2,解得a=1,b=,因此双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设PQ的方程为y=kx+b(k≠0),联立曲线C的方程可得(3-k2)·x2-2kbx-b2-3=0,则x1+x2=,x1x2=-,x1-x2=
设点M(xM,yM),则
②-①,得y1-y2=2xM-(x1+x2),而y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2),故2xM=k(x1-x2)+(x1+x2),于是xM=
①+②,得2yM-(y1+y2)=(x1-x2),而y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b,故2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2b,于是yM=xM.
因此点M的轨迹为直线y=x,其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②:
由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2).
设A(xA,yA),B(xB,yB),则解得xA=,yA=,同理可得xB=,yB=-,此时xA+xB=,yA+yB=
而点M的坐标满足解得xM=,yM=,故M为AB的中点,即
若选择①③:
当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=x上,矛盾;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m≠0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则解得xA=,yA=
同理可得xB=,yB=-
此时xM=,yM=
由于点M同时在直线y=x上,
故,∴k=m.
因此PQ∥AB.
若选择②③:
由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2).
设A(xA,yA),B(xB,yB),则解得xA=,yA=,同理可得xB=,yB=-设线段AB的中点为C,C(xC,yC),则xC=,yC=由于|AM|=|MB|,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-(x-xC)上.
将该方程与y=x联立,可得xM==xC,yM==yC,即点M恰为AB的中点.
故点M在直线AB上.
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