通用版高考数学一轮复习课时突破练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征
基础达标练
1.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是(　　)
A.2枚都是4点
B.1枚是1点,另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点
2.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
3.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示:
ξ -1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是(　　)
A.P(ξ<3)= B.P(ξ>1)=
C.P(2<ξ<4)= D.P(ξ<0.5)=0
4.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则a等于(　　)
A.-3 B.-2 C. D.3
5.现有3道单选题,学生小明对其中的2道题有思路,1道题完全没有思路,有思路的题答对的概率为,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为,若每题答对得5分,不答或答错得0分,则小明这3道题得分的均值为(　　)
A. B. C. D.
6.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的均值为1,则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.
7.(多选)若随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.5 q
则下列结论正确的是(　　)
A.E(X)=2.1
B.D(X)=0.49
C.E(3X+1)=6.3
D.D(3X+1)=1.47
8.若随机变量X的概率分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则P(X≤2)=　　　　　.
9.随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=,则D(3X-2)=　　　　　.
X -1 0 1
P a b
能力提升练
10.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为(　　)
A. B.
C. D.
11.已知随机变量ξi(i=1,2)的分布列如下表所示:
ξ 0 1 2
P pi -pi
若0A.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)D.E(ξ1)12.(多选)(2024·辽宁沈阳一模)下图是离散型随机变量X的概率分布直观图,其中3a=5b,2b=3c,则(　　)
A.a=0.5
B.E(X)=2.3
C.D(X)=0.61
D.D(2X)=1.22
13.(多选)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则(　　)
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的期望为2
D.取球次数ξ的方差为
14.(2024·新高考Ⅰ,14)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　　.
素养拔高练
15.(15分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
答案：
1.D　A表示的是随机试验中ξ=8的其中一个结果,B,C中表示的是随机试验中ξ=4的部分结果,而D是代表随机试验中ξ=4的所有试验结果.
2.C　由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,
则当P(X3.C　P(ξ<3)=,A错误;P(ξ>1)=,B错误;P(2<ξ<4)=P(ξ=3)=,C正确;P(ξ<0.5)=,D错误.
4.A　E(X)=1+2+3Y=aX+3,∴E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2,解得a=-3.
5.B　记小明这3道题的得分为随机变量X,则X的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=2,P(X=5)=+2,P(X=10)=+2,P(X=15)=2,所以E(X)=0+5+10+15
6.B　由题意得,比赛一局得分的均值为3×a+1×b+0×c=1,故3a+b=1,又a,b,c∈[0,1),故3a+b≥2,解得ab,当且仅当3a=b,即a=,b=时,等号成立.故ab的最大值为
7.AB　A选项,由题意得0.2+0.5+q=1,解得q=0.3,故E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1,A正确;B选项,D(X)=(1-2.1)2×0.2+(2-2.1)2×0.5+(3-2.1)2×0.3=0.49,B正确;C选项,E(3X+1)=3E(X)+1=3×2.1+1=7.3,C错误;D选项,D(3X+1)=32D(X)=9×0.49=4.41,D错误.
8　由题意知,P(X=1)=,P(X=2)=,所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=
9.5　依题意可得解得
所以D(X)=-1-2+0-2+1-2,所以D(3X-2)=32D(X)=9=5.
10.D　由题意可知P(X=2)=P(X=3),即e-λ=e-λ,解得λ=3,所以P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),从而P(X=1)=e-3=,故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为P=
11.A　E(ξ1)=0+1×p1+2-p1,E(ξ2)=0+1×p2+2-p2,
由于p1E(ξ2).
D(ξ1)=0-+p12+1-+p12×p1+2-+p12×-p1=p1-2+p1-2×p1++p12×-p1=-p1+同理可得D(ξ2)=-p2+
D(ξ1)-D(ξ2)=(p2-p1)=(p2-p1)p2+p1+>0,所以D(ξ1)>D(ξ2).
12.ABC　由题知解得a=0.5,b=0.3,c=0.2,A选项正确;所以E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3,B选项正确;D(X)=(1-2.3)2×0.2+(2-2.3)2×0.3+(3-2.3)2×0.5=0.61,C选项正确;D(2X)=22·D(X)=2.44,D选项错误.
13.BD　袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,对于A,抽取2次后停止取球的概率为,故A错误;对于B,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为,故B正确;对于C,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以E(ξ)=1+2+3,故C错误;对于D,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2+2-2+3-2,故D正确.
14　设每轮比赛中,甲选的卡片上的数字为i,乙选的卡片上的数字为j,则每轮比赛可用数字组(i,j)表示,其中i=1,3,5,7,j=2,4,6,8.当甲选的卡片上的数字为1时,甲这一轮得0分,所以在四轮比赛中,甲最多得3分,且要得3分,只有一种情形,即(1,8),(3,2),(5,4),(7,6).
甲得2分,有以下情形:
①当甲所选卡片上的数字为3和5时分别得1分,所选卡片上的数字为1和7时分别得0分,有(1,6),(3,2),(5,4),(7,8),共1种.
②当甲所选卡片上的数字为3和7时分别得1分,所选卡片上的数字为1和5时分别得0分,有(1,8),(3,2),(5,6),(7,4);(1,6),(3,2),(5,8),(7,4);(1,4),(3,2),(5,8),(7,6),共3种.
③当甲所选卡片上的数字为5和7时分别得1分,所选卡片上的数字为1和3时分别得0分,有(1,6),(3,8),(5,2),(7,4);(1,8),(3,6),(5,2),(7,4);(1,4),(3,8),(5,2),(7,6);(1,8),(3,4),(5,2),(7,6);(1,6),(3,8),(5,4),(7,2);(1,8),(3,6),(5,4),(7,2);(1,2),(3,8),(5,4),(7,6),共7种.
综上可知,共12种情况满足四轮比赛后,甲的总得分不小于2.而四轮比赛中的所有情况共有4!种,
故所求概率为
15.(1)解 E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证明 令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x,x>0,则f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f″(x)=2p2+6p3x≥0,∴f'(x)在(0,+∞)上单调递增.
E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.
①当E(X)≤1时,得p1+2p2+3p3≤1,∵在(0,1]内,f'(x)单调递增,∴f'(x)≤f'(1)=p1+2p2+3p3-1≤0,∴f'(x)≤0,∴f(x)在(0,1]内是单调递减的,则f(x)≥f(1),又f(1)=p0+p1+p2+p3-1=0,∴f(x)在(0,1]内有唯一的零点x=1,故p=1;
②当E(X)>1时,得p1+2p2+3p3>1,即p1+2p2+3p3-1>0.则f'(1)=p1+2p2+3p3-1>0.
又f'(0)=p1-1<0,且f'(x)是连续的单调函数,∴f'(x)在(0,1]内有唯一的零点x0,在(0,x0)内f'(x)<0,f(x)单调递减,在(x0,1)内f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(0)=p0>0,f(1)=p0+p1+p2+p3-1=0,∴f(x0)(3)解 当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望值小于或等于1时,这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝;当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望大于1时,这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能.
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