通用版高考数学一轮复习课时突破练69　二项分布、超几何分布、正态分布（含解析）

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通用版高考数学一轮复习
课时突破练69　二项分布、超几何分布、正态分布
基础达标练
1.若随机变量X~B5,,则P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
2.设有一正态总体,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
3.(2024·广东深圳高三期末)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球、3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.某气象局在连续四天的天气预报中,至少一次预报准确的概率是,则该气象局一次天气预报准确的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(2024·浙江杭州高三期末)已知随机变量X1,X2分别满足二项分布X1~Bn1,,X2~Bn2,,则“n1>n2”是“D(X1)>D(X2)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2024·湖北荆州三模)上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90,σ2),且P(X<70)=0.2,负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩,设这10个学生中得分在[70,110]的人数为Y,则随机变量Y的方差为(　　)
A.2 B.2.1
C.2.4 D.3
7.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球;否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可能是(　　)
A. B.
C. D.
8.(2024·上海三模)设随机变量X服从成功概率为p(0能力提升练
9.一个袋中有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则(　　)
A.E(ξ1)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
10.(2024·安徽马鞍山模拟预测)有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里有1个白球,乙袋子里有5个白球和5个黑球,现从乙袋子里随机取出k(1≤k≤10,k∈N*)个球放入甲袋子里,再从甲袋子里随机取出一个球,记取到的白球的个数为X,则当k(1≤k≤10,k∈N*)变大时(　　)
A.E(X)变小
B.E(X)先变小再变大
C.E(X)变大
D.E(X)先变大再变小
11.(多选)(2024·辽宁沈阳三模)下列说法正确的是(　　)
A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币,直至出现正面向上,则停止抛掷.设随机变量X表示停止时抛掷的次数,则P(X=3)=
B.从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中,随机选取2人参加某项活动,设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数,则E(Y)=
C.若随机变量ξ~B9,,则D(ξ)=2
D.若随机变量η~N(μ,σ2),则当μ减小,σ增大时,P(|η-μ|<σ)保持不变
12.(多选)(2024·山东聊城三模)某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8,现从生产流水线上随机抽取5件,其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y~N(4,1),则(　　)
A.D(2X+1)=1.6
B.E(X)=E(Y),D(X)≥D(Y)
C.P(X≤4)>P(Y≥4)
D.P(X=k)随k的增大先增大后减小
13.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为　　　　　.
14.(2024·新疆乌鲁木齐一模)在工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),购买者要求直径为3.0±ε,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为　　　　　.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5)
素养拔高练
15.已知随机变量X~B(2,p),其中0Y 0 1 2
P -q q
表中016.(15分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
答案：
1.B　随机变量X~B5,,则P(X=3)=故选B.
2.B　由正态密度函数f(x)的定义和解析式可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
3.B　根据题意,至少含有一个黑球的概率是
4.D　设一次天气预报准确的概率为p,则连续四天的天气预报中,至少一次预报准确的概率是1-(1-p)4,所以1-(1-p)4=,所以p=
5.C　因为X1~Bn1,,X2~Bn2,,所以D(X1)=n11-=n1,D(X2)=n21-=n2,所以n1>n2,则D(X1)>D(X2),若D(X1)>D(X2),则n1>n2.
所以“n1>n2”是“D(X1)>D(X2)”的充要条件.
6.C　由正态分布知,学生得分在[70,110]的概率为1-0.2×2=0.6,抽取10个学生得分在[70,110]的人数服从二项分布Y~B(10,0.6),D(Y)=10×0.6×(1-0.6)=2.4.
7.AC　由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<,由p∈(0,1)可得p∈0,.
8　设X~B(n,p),则np=30,np(1-p)=20,所以1-p=,故p=
9.B　ξ1的可能取值为0,1,2,ξ1~B2,,E(ξ1)=2,D(ξ1)=2;ξ2的可能取值为0,1,P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=,所以E(ξ2)=0+1,D(ξ2)=0-2+1-2所以E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).故选B.
10.A　由题意可知,从乙盒子里随机取出k(1≤k≤10,k∈N*)个球,其中白球的个数X服从超几何分布,则E(X)=k故从甲盒子里随机取一球,相当于从含有个白球的(k+1)个球中取一球,取到白球的个数为X,易知随机变量X服从两点分布,故P(X=1)=,所以E(X)=P(X=1)=,随着k的增加,E(X)减小.
11.BCD　对于A,抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面、反面的概率均为,则P(X=3)=,A错误;对于B,显然随机变量Y服从超几何分布,则E(Y)=,B正确;对于C,由随机变量ξ~B9,,得D(ξ)=9=2,C正确;对于D,由正态分布的意义知,P(|η-μ|<σ)=P(μ-σ<η<μ+σ)为定值,D正确.
12.CD　由题意X~B(5,0.8),则E(X)=5×0.8=4,D(X)=5×0.8×0.2=0.8,所以D(2X+1)=4×0.8=3.2,故选项A错误;X~B(5,0.8),则P(X=k)=0.8k·0.25-k,设当X=k(k≥1)时概率最大,则有
即
解得3.8≤k≤4.8,由k∈Z,所以当X=4时概率最大,则P(X=0)P(X=5),即P(X=k)随k的增大先增大后减小,故D选项正确;又因为Y~N(4,1),则E(Y)=4,D(Y)=1,E(X)=4,D(X)=0.8,所以E(X)=E(Y),D(X)P(Y≥4),故选项C正确.
13.5　设有白球x个,因为从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,所以=1-,解得x=5或x=14(舍去).
14.0.1　若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5.因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),所以μ=3.0,σ2=0.002 5,则σ=0.05,由P(|X-3.0|<0.1)=0.954 5,得P(|X-3.0|≥0.1)=1-0.954 5=0.045 5,则要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为0.1.
15　-　由题意,可得E(Y)=+2q,则D(Y)=+2q2-q+-2q2+2--2q2×q=-4q2+q+=-4q-2+,因为016.解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),
X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.
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