第四章《整式的加减》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·成都期中）在代数式、、、、中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：根据整式的定义及判断标准，整式有：、、、，共个，
故答案为：．
【分析】数或字母的积就是单项式，单独的一个数或字母也是单项式，几个单项式的和就是多项式，单项式和多项式统称整式，据此逐一判断得出答案.
2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：因为多项式是关于的三次三项，
所以-a-1=0，b=3，
解得a=-1，b=3，
所以，
故答案为： B.
【分析】根据题意可知多项式是关于的三次三项式，那么x5的系数为0，xb的次数为3，进而求出a，b的值，再代入可得 的值.
3．（2025七上·兴宁期中）下列叙述中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是 B．多项式是六次三项式
C．多项式的常数项是 D．不是整式
【答案】C
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A、单项式的系数是，次数是，故A不符合题意；
B、多项式是四次三项式，故B不符合题意；
C、多项式的常数项是，故C符合题意；
D、是整式，故D符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据单项式定义：由一个或多个数与字母的乘积组成的代数式，同时也包括单独的一个数或字母；多项式定义：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，多项式中不含字母的项叫做常数项，由此逐一判断即可解答．
4．如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与的和是一个单项式，
∴单项式与为同类项，
∴3n=9，m+4=2n，
解得：n=3，m=2，
故答案为： B.
【分析】根据题意可知， 单项式与为同类项，故相同字母的指数相同，可得3n=9，m+4=2n，解之可得m，n的值.
5．下列去括号正确的是( )
A． B．x-(-2x+3y-1)=x+2x-3y+1
C． D．
【答案】B
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A：，不正确；
B： x-(-2x+3y-1)=x+2x-3y+1，正确；
C：，不正确.
D：，正确；
故选：B .
【分析】根据去括号法则进行化简即可.
6．（2025七上·乐清期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵ 一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，
∴左边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，
右边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，
∴两个阴影部分周长的差为：，
即当已知两个阴影部分周长的差时，可求出．
故答案为：C.
【分析】先利用代数式分别表示出两阴影部分的周长，再利用整式的加减运算表示出两个阴影部分周长的差，然后利用已知两个阴影部分周长的差可对各选项进行判断即可．
7．（2024七上·深圳期中）定义：若，则称a与b是关于m的平衡数．例如：若，则称a与b是关于2的平衡数．若，，那么a与b是关于（ ）的平衡数．
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴
∵若，则称a与b是关于m的平衡数．
∴a与b是关于的平衡数
故选：A．
【分析】本题考查新定义，以及整式的加减运算法则，根据去括号，合并同类项，先化简
，，求得，结合，得到的平衡数，即可求解.
8．（2024七上·罗定期末）老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（ ）
A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是
C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是
【答案】B
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（2x2-3x+1）-（ax2+bx-5）
=2x2-3x+1-ax2-bx+5
=（2-a）x2-（3+b）x+6，
∵将“x=-2”抄成“x=2”，其余运算正确，结果却是对的，
∴二次项系数2-a可取任意实数，一次项系数-（3+b）的值为0，
∴a不一定是2，b一定是-3．
故选：B．
【分析】本题主要考查多项式的运算法则，先去括号，再合并同类项，化简得到（2-a）x2-（3+b）x+6，结合“一位同学将x=-2抄成x=2，其余运算正确，结果却是对的”进行分析判断，即可得到答案.
9．一个有趣的游戏：首先发给，，三位同学相同数量的扑克牌（假定发到每位同学手中的扑克牌数量为，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出三张扑克牌给同学；第二步，同学拿出五张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学.请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（ ）
A．8 B．11 C． D．
【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】根据题意可知A，B，C三位同学的初始手中牌都为x张，
第一步后：A同学有(x-3)张，B同学有(x+3)张，C同学有x张；
第二步后：A同学有(x-3)张，B同学有(x+8)张，C同学有(x-5)张；
第三步后：A同学有(x-3)+(x-3)张，B同学有(x+8)-(x-3)=11张，C同学有(x-5)张；
故答案为：B.
【分析】根据题意可知最开始三名同学手中的扑克牌都为x，然后用含x的式子表示A，B，C经过三个步骤后剩余的牌的数目即可.
10．（2024七上·鄞州期末）将正方形纸片和正方形纸片按如图所示放入周长为10的长方形中，将图中的两个空白图形分别记为，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（ ）
A．乙的周长 B．丙的周长
C．与的周长和 D．与的周长差
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形和正方形的边长分别为x和y，长方形的为a，
∵ 长方形周长为10，∴，
则甲的长和宽为：，，周长为：，
乙的长和宽为：，，周长为：，
丙的长和宽为：，，周长为：，
P的边长为x，周长为：，
Q 的边长为y，周长为：，
A、若乙的周长已知，可以化简求出的值，进而求出甲的周长，A不符合题意；
B、若丙的周长已知，可以化简求出的值，进而求出甲的周长，B不符合题意；
C、若与的周长和已知，相加可以求出的值，进而求出甲的周长，C不符合题意；
D、若与的周长差已知，可以求出的值，不能求出甲的周长，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】设正方形和正方形的边长分别为x和y，长方形的为a，则为，分别表示出甲、乙、丙、P，Q的 长和宽以及周长，根据选项的已知，求出未知数，整体代入可求甲的周长即可.
11．（2024七上·硚口期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如，
．若，则常数a，b的值分别是（ ）
A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴时，，化简得：
∴，
故答案为：B．
【分析】根据得化简即得常数a，b的值.
12．（2024七下·长兴期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，由题意得：
A的长为：a，宽为：a－b；B的长和宽都为：a－b；
∴长方形⑥的长为a+a－b=2a－b，宽为a－b，周长为：2(2a－b+a－b)=6a－4b；
∴长方形⑤的周长为2(2b+a)=4b+2a；
∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，根据图象表示出⑤和⑥的周长，再根据题目条件得a与b的关系式，化简即可得到答案.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．关于多项式 下列说法：①最高次项为b4；②它是一个四次五项式；③系数最大的项是3a2b；④二次项系数为-2；⑤常数项为2.其中说法正确的是 .(填序号)
【答案】②④
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：对于多项式，它是一个四次五项式，次数为4，最高次项为-b4，系数最大的项为27，二次项系数为-2，常数项为27，
故可知正确的说法为②④.
故答案为：②④ .
【分析】根据多项式的根据对各个说法进行判断即可.
14．一个三角形的三边长分别为2m-3n+4，6n-m，8，则该三角形的周长为 .
【答案】m+3n+12
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据题目，三角形的三边长分别为：
边1：
边2：
边3：
三角形的周长等于三边之和，将这三边长相加得到：
所以，该三角形的周长为.
故答案为：m+3n+12.
【分析】计算周长：三角形的周长等于三边之和，所以将三边长相加得到：，化简得到.
15．（2020七上·凉州月考）若 ，则x的相反数是 .
【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：
∴-3的相反数是3
故答案为3.
【分析】根据去括号的原则去掉括号得到x的值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数求x的相反数即可.
16．（2024七上·嘉兴期末）将①和②两张正方形纸片按如图所示两种方式放置在同一个长方形中.图Ⅰ中阴影部分的周长之和为m，图Ⅱ中阴影部分的周长之和为n，且AM=ND.若AD=17，m-n=9，则正方形①的边长为 .
【答案】
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，
，
则图（1）中阴影部分的周长之和为
，
，
图（2）中阴影部分的周长和为
，
，
，
，
解得：，
则正方形①的边长为，
故答案为．
【分析】设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长之和，图（2）中阴影部分的周长之和，根据题意列方程即可求解．
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．将下列代数式中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中：各单项式的系数分别是多少 多项式中哪个次数最高 次数是多少
【答案】解：单项式： ，系数分别是：-15，，-1，
多项式：，次数分别是1，4，3，多项式次数最高，次数是4.
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】根据单项式、多项式的定义判断是单项式还是多项式，再根据次数、系数的定义指出单项式系数和多项式的次数即可解决问题.
18．（2025七上·射洪期末）计算和化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）根据有理数的乘法分配律计算即可得解；
（2）实数的混合运算顺序是先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算减法即可；
（3）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解；
（4）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．先化简，再求值： 其中 ab=-2，a+b=1.
【答案】解：原式
=2ab+4a+4b-8ab-16
=-6ab+4a+4b-16.
因为ab=-2，a+b=1，
所以原式=-6ab+4a+4b-16=-6ab+4(a+b)-16=-6×(-2)+4×1-16=0
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先化简代数式得-6ab+4a+4b-16，再将条件ab=-2，a+b=1整体代入计算即可。
20．（2023七上·桂平期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．
（1）尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______．
（2）已知，求的值．
（3）拓广探索：已知，，求式子的值．
【答案】（1）
（2）解：，
∵，
∴；
（3）解：
；
∵，，
∴．
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）解：
；
故答案为：
【分析】（1）利用整体思想和合并同类项法则，进行求解即可.
（2）将作为一个整体，代入求值即可.
（3）将转化为，利用整体思想，代入求值即可．
（1）解：
；
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴；
（3）；
∵，，
∴．
21．对于有理数a，b，定义了一种新运算 如：5★3=2×5-3=7，1★3=
（1）计算：①2★(-1)= ，(-4)★(-3)= ；
（2）若
①比较A 与B 的大小；
②若A★B=-3，求 的值.
【答案】（1）5；-2
（2）解：①因为 ，所以A②因为A所以
整理，得
所以
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(1)2★(-1)=2×2-(-1)=5；(-4)★(-3)=-4- ×(-3)=-2.
故答案为：5；-2.
【分析】(1)根据新运算的定义进行计算即可.
(2)①利用作差法计算得，所以A②由①可得A★B==-3，再进行整式的加减混合运算化简得然后整体代入求得代数式的值.
22．（2024七上·夷陵期中）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表∶
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 元/公里 元/分钟 元/公里
（注∶车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为∶行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？
【答案】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时，
小东需付车费：（元），
答：需付车费55元．
（2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）；
当时，小明应付车费：（元）．
综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元．
（3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元，
根据题意：
当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
∴行车时长差为：（分钟）；
当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
行车时长差为：（分钟）．
答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据新型网约车的计价规则，结合表中数据，列出代数式，即可求得所需付车费 ，得到答案；
（2）根据题意，分或，两种情况讨论，结合表中新型网约车的计价数据，列出相应的代数式，分别得到表示出小明应付车费，得到答案；
（3）设小张的行车里程为x公里，得到小王的行车里程为公里，小张付费y元，得到小王付费元，根据行车里程数分情况讨论，再由每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长，即可得到答案．
（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时，
小东需付车费：（元），
答：需付车费55元．
（2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）；
当时，小明应付车费：（元）．
综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元．
（3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，
小张付费y元，则小王付费元，
根据题意：
当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
∴行车时长差为：（分钟）；
当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
行车时长差为：（分钟）．
答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟．
23．（2024七上·徐州期末）综合与实践
我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？
理解问题
（1）下列各数中，能被3整除的有______________；（填序号）
①25；②225；③1025；④2025
（2）小明发现他的学号是一个四位数，它能被3整除．如果学号的千位数字是4，百位数字是7，个位数字是1，那么十位数字是______________；
拟定计划
（3）先来看两位数的情形．若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可以表示为，其中9a能被3整除，只要能被3整除，这个两位数就能被3整除．设是一个三位数，可以表示为______________（用含有的代数式表示）；
实施计划
（4）仿照（3）中两位数的思路，说明三位数各数位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；回顾反思：两位数、三位数．．．．．．，都有这样的规律，论证方法类似．
【答案】（1）②④；（2）0或3或6或9；（3）；
证明：（4）由，
∵能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1），
∵7不能被3整除，∴25不能被3整除，∴①不符合题意；
由，∵9能被3整除，
∴225能被3整除，∴②符合题意；
由，
∵8不能被3整除，∴1025不能被3整除，∴③不符合题意；
由，
∵9能被3整除，∴2025能被3整除，∴④符合题意．
故答案为：②④；
（2）设十位数为x，
由题意得能被3整除，
∴x的值可能为0、3、6、9，
∴十位数字是0或3或6或9，
故答案为：0或3或6或9；
（3），
故答案为：；
【分析】（1）根据“如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”进行分析判断，即可求解；
（2）设十位数为x，根据题意，得到能被3整除，求得x的值，即可求解；
（3）根据题意，列出代数式，即可求解；
（4）根据整式加减法则，仿照例题的计算格式，进行计算，即可得到答案．
24．（2025七上·南宁期末）【综合与实践】
【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰．
【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段．
【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）．
任务一：求中线段的长；
任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度；
任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）；
任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择：
方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元；
方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元．
选择哪一种方案更划算？并说明理由．
骨架
骨架的长度（单位：米） 2 ▲
【答案】解：任务一：
（米）．
答：中线段AB的长为米．
任务二：（米）．
任务三：半圆面积为：（平方米）．
长方形面积为：（平方米）．
裱糊面积为（平方米）．
答：裱糊面积为7平方米．
任务四：方案1的费用：元．
方案2的费用：元．
当时，
解得：．
所以两种方案费用相同．
方案2的费用变形为．
当时，是负数，表明方案2费用更低；
当时，是正数，表明方案1费用更低．
（方法二）
方案1的费用：元．
方案2的费用：元．
当时，
解得：．
所以两种方案费用相同．
令
．
当时，为负数，表明方案1更划算；
当时，为正数，表明方案2更划算．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务一：根据l1的长度减去半圆的弧长是AB的2倍长，即可得出AB的长度；
任务二：半圆的半径长为0.5+0.4+0.5+0.6=2，即可得出半圆的弧长为6，再加上2倍的AB即可得出答案；
任务三：半圆的半径长为2，长方形的长为4，宽为0.25，即可得出裱糊面积为：3×22÷2+4×0.25=6+1=7（平方米）；
任务四：先根据两种方案列出代数式，然后再根据a的取值范围比较大小即可．
1 / 1第四章《整式的加减》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·成都期中）在代数式、、、、中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七上·兴宁期中）下列叙述中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是 B．多项式是六次三项式
C．多项式的常数项是 D．不是整式
4．如果关于x，y的两个单项式与的和是一个单项式，那么m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．下列去括号正确的是( )
A． B．x-(-2x+3y-1)=x+2x-3y+1
C． D．
6．（2025七上·乐清期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·深圳期中）定义：若，则称a与b是关于m的平衡数．例如：若，则称a与b是关于2的平衡数．若，，那么a与b是关于（ ）的平衡数．
A． B．2 C． D．4
8．（2024七上·罗定期末）老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（ ）
A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是
C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是
9．一个有趣的游戏：首先发给，，三位同学相同数量的扑克牌（假定发到每位同学手中的扑克牌数量为，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出三张扑克牌给同学；第二步，同学拿出五张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学.请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（ ）
A．8 B．11 C． D．
10．（2024七上·鄞州期末）将正方形纸片和正方形纸片按如图所示放入周长为10的长方形中，将图中的两个空白图形分别记为，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（ ）
A．乙的周长 B．丙的周长
C．与的周长和 D．与的周长差
11．（2024七上·硚口期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如，
．若，则常数a，b的值分别是（ ）
A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55
12．（2024七下·长兴期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．关于多项式 下列说法：①最高次项为b4；②它是一个四次五项式；③系数最大的项是3a2b；④二次项系数为-2；⑤常数项为2.其中说法正确的是 .(填序号)
14．一个三角形的三边长分别为2m-3n+4，6n-m，8，则该三角形的周长为 .
15．（2020七上·凉州月考）若 ，则x的相反数是 .
16．（2024七上·嘉兴期末）将①和②两张正方形纸片按如图所示两种方式放置在同一个长方形中.图Ⅰ中阴影部分的周长之和为m，图Ⅱ中阴影部分的周长之和为n，且AM=ND.若AD=17，m-n=9，则正方形①的边长为 .
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．将下列代数式中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中：各单项式的系数分别是多少 多项式中哪个次数最高 次数是多少
18．（2025七上·射洪期末）计算和化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
19．先化简，再求值： 其中 ab=-2，a+b=1.
20．（2023七上·桂平期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．
（1）尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______．
（2）已知，求的值．
（3）拓广探索：已知，，求式子的值．
21．对于有理数a，b，定义了一种新运算 如：5★3=2×5-3=7，1★3=
（1）计算：①2★(-1)= ，(-4)★(-3)= ；
（2）若
①比较A 与B 的大小；
②若A★B=-3，求 的值.
22．（2024七上·夷陵期中）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表∶
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 元/公里 元/分钟 元/公里
（注∶车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为∶行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？
23．（2024七上·徐州期末）综合与实践
我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？
理解问题
（1）下列各数中，能被3整除的有______________；（填序号）
①25；②225；③1025；④2025
（2）小明发现他的学号是一个四位数，它能被3整除．如果学号的千位数字是4，百位数字是7，个位数字是1，那么十位数字是______________；
拟定计划
（3）先来看两位数的情形．若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可以表示为，其中9a能被3整除，只要能被3整除，这个两位数就能被3整除．设是一个三位数，可以表示为______________（用含有的代数式表示）；
实施计划
（4）仿照（3）中两位数的思路，说明三位数各数位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；回顾反思：两位数、三位数．．．．．．，都有这样的规律，论证方法类似．
24．（2025七上·南宁期末）【综合与实践】
【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰．
【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段．
【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）．
任务一：求中线段的长；
任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度；
任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）；
任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择：
方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元；
方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元．
选择哪一种方案更划算？并说明理由．
骨架
骨架的长度（单位：米） 2 ▲
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：根据整式的定义及判断标准，整式有：、、、，共个，
故答案为：．
【分析】数或字母的积就是单项式，单独的一个数或字母也是单项式，几个单项式的和就是多项式，单项式和多项式统称整式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：因为多项式是关于的三次三项，
所以-a-1=0，b=3，
解得a=-1，b=3，
所以，
故答案为： B.
【分析】根据题意可知多项式是关于的三次三项式，那么x5的系数为0，xb的次数为3，进而求出a，b的值，再代入可得 的值.
3．【答案】C
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A、单项式的系数是，次数是，故A不符合题意；
B、多项式是四次三项式，故B不符合题意；
C、多项式的常数项是，故C符合题意；
D、是整式，故D符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据单项式定义：由一个或多个数与字母的乘积组成的代数式，同时也包括单独的一个数或字母；多项式定义：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，多项式中不含字母的项叫做常数项，由此逐一判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与的和是一个单项式，
∴单项式与为同类项，
∴3n=9，m+4=2n，
解得：n=3，m=2，
故答案为： B.
【分析】根据题意可知， 单项式与为同类项，故相同字母的指数相同，可得3n=9，m+4=2n，解之可得m，n的值.
5．【答案】B
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A：，不正确；
B： x-(-2x+3y-1)=x+2x-3y+1，正确；
C：，不正确.
D：，正确；
故选：B .
【分析】根据去括号法则进行化简即可.
6．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵ 一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，
∴左边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，
右边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，
∴两个阴影部分周长的差为：，
即当已知两个阴影部分周长的差时，可求出．
故答案为：C.
【分析】先利用代数式分别表示出两阴影部分的周长，再利用整式的加减运算表示出两个阴影部分周长的差，然后利用已知两个阴影部分周长的差可对各选项进行判断即可．
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴
∵若，则称a与b是关于m的平衡数．
∴a与b是关于的平衡数
故选：A．
【分析】本题考查新定义，以及整式的加减运算法则，根据去括号，合并同类项，先化简
，，求得，结合，得到的平衡数，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（2x2-3x+1）-（ax2+bx-5）
=2x2-3x+1-ax2-bx+5
=（2-a）x2-（3+b）x+6，
∵将“x=-2”抄成“x=2”，其余运算正确，结果却是对的，
∴二次项系数2-a可取任意实数，一次项系数-（3+b）的值为0，
∴a不一定是2，b一定是-3．
故选：B．
【分析】本题主要考查多项式的运算法则，先去括号，再合并同类项，化简得到（2-a）x2-（3+b）x+6，结合“一位同学将x=-2抄成x=2，其余运算正确，结果却是对的”进行分析判断，即可得到答案.
9．【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】根据题意可知A，B，C三位同学的初始手中牌都为x张，
第一步后：A同学有(x-3)张，B同学有(x+3)张，C同学有x张；
第二步后：A同学有(x-3)张，B同学有(x+8)张，C同学有(x-5)张；
第三步后：A同学有(x-3)+(x-3)张，B同学有(x+8)-(x-3)=11张，C同学有(x-5)张；
故答案为：B.
【分析】根据题意可知最开始三名同学手中的扑克牌都为x，然后用含x的式子表示A，B，C经过三个步骤后剩余的牌的数目即可.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形和正方形的边长分别为x和y，长方形的为a，
∵ 长方形周长为10，∴，
则甲的长和宽为：，，周长为：，
乙的长和宽为：，，周长为：，
丙的长和宽为：，，周长为：，
P的边长为x，周长为：，
Q 的边长为y，周长为：，
A、若乙的周长已知，可以化简求出的值，进而求出甲的周长，A不符合题意；
B、若丙的周长已知，可以化简求出的值，进而求出甲的周长，B不符合题意；
C、若与的周长和已知，相加可以求出的值，进而求出甲的周长，C不符合题意；
D、若与的周长差已知，可以求出的值，不能求出甲的周长，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】设正方形和正方形的边长分别为x和y，长方形的为a，则为，分别表示出甲、乙、丙、P，Q的 长和宽以及周长，根据选项的已知，求出未知数，整体代入可求甲的周长即可.
11．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴时，，化简得：
∴，
故答案为：B．
【分析】根据得化简即得常数a，b的值.
12．【答案】B
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，由题意得：
A的长为：a，宽为：a－b；B的长和宽都为：a－b；
∴长方形⑥的长为a+a－b=2a－b，宽为a－b，周长为：2(2a－b+a－b)=6a－4b；
∴长方形⑤的周长为2(2b+a)=4b+2a；
∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设白色长方形的长为a，宽为b，则黑色小长方形纸片的长为(a－b)，宽为b，根据图象表示出⑤和⑥的周长，再根据题目条件得a与b的关系式，化简即可得到答案.
13．【答案】②④
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：对于多项式，它是一个四次五项式，次数为4，最高次项为-b4，系数最大的项为27，二次项系数为-2，常数项为27，
故可知正确的说法为②④.
故答案为：②④ .
【分析】根据多项式的根据对各个说法进行判断即可.
14．【答案】m+3n+12
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据题目，三角形的三边长分别为：
边1：
边2：
边3：
三角形的周长等于三边之和，将这三边长相加得到：
所以，该三角形的周长为.
故答案为：m+3n+12.
【分析】计算周长：三角形的周长等于三边之和，所以将三边长相加得到：，化简得到.
15．【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：
∴-3的相反数是3
故答案为3.
【分析】根据去括号的原则去掉括号得到x的值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数求x的相反数即可.
16．【答案】
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，
，
则图（1）中阴影部分的周长之和为
，
，
图（2）中阴影部分的周长和为
，
，
，
，
解得：，
则正方形①的边长为，
故答案为．
【分析】设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长之和，图（2）中阴影部分的周长之和，根据题意列方程即可求解．
17．【答案】解：单项式： ，系数分别是：-15，，-1，
多项式：，次数分别是1，4，3，多项式次数最高，次数是4.
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】根据单项式、多项式的定义判断是单项式还是多项式，再根据次数、系数的定义指出单项式系数和多项式的次数即可解决问题.
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）根据有理数的乘法分配律计算即可得解；
（2）实数的混合运算顺序是先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算减法即可；
（3）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解；
（4）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．【答案】解：原式
=2ab+4a+4b-8ab-16
=-6ab+4a+4b-16.
因为ab=-2，a+b=1，
所以原式=-6ab+4a+4b-16=-6ab+4(a+b)-16=-6×(-2)+4×1-16=0
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先化简代数式得-6ab+4a+4b-16，再将条件ab=-2，a+b=1整体代入计算即可。
20．【答案】（1）
（2）解：，
∵，
∴；
（3）解：
；
∵，，
∴．
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）解：
；
故答案为：
【分析】（1）利用整体思想和合并同类项法则，进行求解即可.
（2）将作为一个整体，代入求值即可.
（3）将转化为，利用整体思想，代入求值即可．
（1）解：
；
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴；
（3）；
∵，，
∴．
21．【答案】（1）5；-2
（2）解：①因为 ，所以A②因为A所以
整理，得
所以
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(1)2★(-1)=2×2-(-1)=5；(-4)★(-3)=-4- ×(-3)=-2.
故答案为：5；-2.
【分析】(1)根据新运算的定义进行计算即可.
(2)①利用作差法计算得，所以A②由①可得A★B==-3，再进行整式的加减混合运算化简得然后整体代入求得代数式的值.
22．【答案】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时，
小东需付车费：（元），
答：需付车费55元．
（2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）；
当时，小明应付车费：（元）．
综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元．
（3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元，
根据题意：
当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
∴行车时长差为：（分钟）；
当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
行车时长差为：（分钟）．
答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据新型网约车的计价规则，结合表中数据，列出代数式，即可求得所需付车费 ，得到答案；
（2）根据题意，分或，两种情况讨论，结合表中新型网约车的计价数据，列出相应的代数式，分别得到表示出小明应付车费，得到答案；
（3）设小张的行车里程为x公里，得到小王的行车里程为公里，小张付费y元，得到小王付费元，根据行车里程数分情况讨论，再由每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长，即可得到答案．
（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时，
小东需付车费：（元），
答：需付车费55元．
（2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）；
当时，小明应付车费：（元）．
综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元．
（3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，
小张付费y元，则小王付费元，
根据题意：
当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
∴行车时长差为：（分钟）；
当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），
小王行车时长：（分钟），
行车时长差为：（分钟）．
答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟．
23．【答案】（1）②④；（2）0或3或6或9；（3）；
证明：（4）由，
∵能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1），
∵7不能被3整除，∴25不能被3整除，∴①不符合题意；
由，∵9能被3整除，
∴225能被3整除，∴②符合题意；
由，
∵8不能被3整除，∴1025不能被3整除，∴③不符合题意；
由，
∵9能被3整除，∴2025能被3整除，∴④符合题意．
故答案为：②④；
（2）设十位数为x，
由题意得能被3整除，
∴x的值可能为0、3、6、9，
∴十位数字是0或3或6或9，
故答案为：0或3或6或9；
（3），
故答案为：；
【分析】（1）根据“如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”进行分析判断，即可求解；
（2）设十位数为x，根据题意，得到能被3整除，求得x的值，即可求解；
（3）根据题意，列出代数式，即可求解；
（4）根据整式加减法则，仿照例题的计算格式，进行计算，即可得到答案．
24．【答案】解：任务一：
（米）．
答：中线段AB的长为米．
任务二：（米）．
任务三：半圆面积为：（平方米）．
长方形面积为：（平方米）．
裱糊面积为（平方米）．
答：裱糊面积为7平方米．
任务四：方案1的费用：元．
方案2的费用：元．
当时，
解得：．
所以两种方案费用相同．
方案2的费用变形为．
当时，是负数，表明方案2费用更低；
当时，是正数，表明方案1费用更低．
（方法二）
方案1的费用：元．
方案2的费用：元．
当时，
解得：．
所以两种方案费用相同．
令
．
当时，为负数，表明方案1更划算；
当时，为正数，表明方案2更划算．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务一：根据l1的长度减去半圆的弧长是AB的2倍长，即可得出AB的长度；
任务二：半圆的半径长为0.5+0.4+0.5+0.6=2，即可得出半圆的弧长为6，再加上2倍的AB即可得出答案；
任务三：半圆的半径长为2，长方形的长为4，宽为0.25，即可得出裱糊面积为：3×22÷2+4×0.25=6+1=7（平方米）；
任务四：先根据两种方案列出代数式，然后再根据a的取值范围比较大小即可．
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