天津市静海区第一中学2026届高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

静海一中2025-2026第一学期高三数学（10月）
学生学业能力调研试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（128分）和第Ⅱ卷提高题（19分）两部分，共147分，3分卷面分。
知 识 技 能 学习能力
内容 集合 简易逻辑 函数性质 三角函数 复数 导数与函数 平面向量 不等式 关键环节
分数 5 5 15 45 5 34 15 5 18
第Ⅰ卷 基础题（共128分）
一、选择题: 每小题5分，共40分.
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
4．函数在的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知则下列结论成立的是()
A. B. C. D.
6．已知则=（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A. B. C. D.
8．已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：每小题5分，共25分.
9．已知复数，则复数的虚部为
10．已知，则
11．已知向量a和b的夹角为，则的值为
12．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 且 则 ．
13．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示______．若，则正切的最大值为_______．
三、解答题：(本大题共5小题，共82分)
14.（15分）已知的内角的对边分别为，满足已知.
（1）（5分）求角的大小；
（2）（5分）若，求的值；
（3）（5分）若的面积为，，求的周长．
15．（15分）已知函数．
（1）(7分）求函数单调递减区间；
（2）(8分）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.
16．（15分）已知函数．
(1)（4分）当时，求在点处的切线方程；
(2)（5分）求的单调区间；
(3)（6分）若，使成立，求的取值范围．
17．（18分）
(1)(5分）函数f(x)＝若不等式|f(x)|－mx＋2≥0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)(5分）函数有两个零点，求m的取值范围．
(3)(5分）已知，，若时，关于x的不等式恒成立，求的最小值．
（4）(3分）问题：用数形结合法解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？
第Ⅱ卷 提高题（共19分）
18.（19分）已知函数，．
(1)（5分）当时，求函数在点处的切线方程；
(2)已知函数有两个零点，，
①（7分）求实数的取值范围；
②（7分）证明：
19.卷面分（3分）
静海一中2025-2026第一学期高三数学（10月）
学生学业能力调研试卷 答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A B A B A C
二、填空题
9.10.. 11.12.13.
三、解答题
14.【答案】（1）；（2）；（3）.
(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再
根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；
(2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果；
(3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得到的周长.
【详解】解：（1），
由正弦定理得：，
即，
又 ， ，
，，
又，；
（2）由题意知：，，
又，
；
（3），，
由余弦定理得：，
即，解得：，
的周长为.
15.【答案】（1） （2）
【小问1详解】
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则， .
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.
16.(1)(2)详见解析(3)或.
【详解】（1）当时，，对求导得.
则，
又，所以切点为，
所以切线方程为，即.
（2）对求导得.
当时，，所以在上单调递减.
当时，令，即，，，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）在有解，即当时，，
当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得.
此时，，
所以或，得或 ，
又，所以舍去，所以.
当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得.
此时，所以，得.
综合两种情况，可得的取值范围为或.
17.（1）
（2）
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，
令，可知在内单调递增，
原题意等价于在定义域为有2个零点，
令，可得，
可知与（过原点的直线）有2个交点，
对于，则，
设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，
代入点，得，解得，即切线斜率，
结合图象可知：若与有2个交点，则，即，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
（3）
【详解】时，关于的不等式恒成立，
由，则；
由，则，即为的零点，
∴，即，
∴，当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为，
故答案为：.
18.(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）当时，，
则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）①函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点；
当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，当时，，
所以要满足函数有2个零点，只需，
即，
整理得，
设，函数的定义域为，
则，所以在定义域上单调递增，
且，则不等式的解集为，
所以的取值范围为；
②由①知，，则，
要证明，即证明，
不妨设，
因为，所以，
又，函数在上单调递增，
此时需证明，
当，时，
可得，
因为，即证明，
设，函数的定义域为，
则
，
所以在单调递增，则，
，所以，
所以，
即，命题得证.