专题19 圆-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
2．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
3．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
4．（2025·青岛）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·泰安） 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
6．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，. 若 AB=6，CD=，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．5
8．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
10．（2025·湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
二、填空题
11．（2025·苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为 m.（结果保留π）
12．（2025·德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果，那么这个等宽曲线的周长是 .
13．（2025·北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
14．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ．
15．（2025·大庆） 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π）
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．
17．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
19．（2025·上海市）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 度.
20．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 .
21．（2025·遂宁）综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
三、解答题
22．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
23．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
24．（2025·徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
25．（2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
26．（2025·深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC
（1） 证明：四边形AEBD是菱形.
（2）如图2，O是AB上一点，且E、A、D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切与点D，
①求= .
②若AB = 4，求⊙O的半径.
（3） 在(1)的条件下，用尺规作图过D作交BC于F . (保留作图痕迹，不用说明做法)
27．（2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
28．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
29．（2025·潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．
【阅读观察】
材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比直称作黄金分割比，而的比值为与互为倒数．
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点）
方法1：如图3，①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形交于点，可得．点即为所求．
【思考探究】
（1）说明图3中；
（2）用不同于（1）的方法，说明图4中．
（3）【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接；
②作的平分线，交于点；
③过点作的垂线，交于点，连接；
④截取，连接．五边形即为所求．
若，根据以上作法，证明：．
30．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
31．（2025·连云港）已知AD是的高，是的外接圆.
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为R，求证：；
（3）如图3，延长AD交于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F.若，，，求CF的长.
32．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
33．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … …
请补全上述表格① ； ② ； ③ ； ④ .
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 .
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
34．（2025·凉山州）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，则．理由如下：是的直径
与相切于点
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段与线段，存在如下关系：．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△是的内接三角形，，，的延长线与过点的切线相交于，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
2．【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|4．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AB、DC相交于O
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC= BC=4，OA= OB，
∴AB=，
∴OA= OB=AB=
∴图中阴影部分的面积是π-π22 = 4π .
故答案为：D.
【分析】连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC= BC=4， OA= OB，再运用勾股定理可得AB=2，则OA= OB=AB=，最后根据圆的面积公式求解即可解答.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE
则
∵
∴
∴
∴
设圆的半径为r
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2
即
解得：r=
故答案为：A
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE，根据垂径定理可得，根据题意可得，则，再根据勾股定理可得EF，设圆的半径为r，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
12．【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，
∴ 这个等宽曲线的周长是
故答案为：π.
【分析】根据等边三角形性质得到∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，即可根据弧长公式求出等宽曲线的周长.
13．【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】；
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵过点可以引的两条切线，，
∴点P在圆外
∴d>6
∵PA，PB分别切圆于点A，B
∴OP平分∠AOB
∴∠APO=∠BPO
∵OC∥PA
∴∠POC=∠APO
∴∠POC=∠CPO
∴PC=OC
∵PA=x，CD=y
∴PC=OC=y+6
∴BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6
连接OB
∴半径OB⊥PB
∴∠OBC=90°
∴OC2=BC2+OB2
∴(y+6)2=(x-y-6)2+62
∴
故答案为：；
【分析】根据切线性质可得点P在圆外，根据点与圆的位置关系可得d>6，再根据切线性质可得OP平分∠AOB，则 ∠APO=∠BPO，根据直线平行性质可得∠POC=∠APO，则∠POC=∠CPO，即PC=OC，根据边之间的关系可得PC=OC=y+6，BC=PB-PC=x-y-6，连接OB，根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】
解：根据题意得：
第一个扇形，圆心角为90°，半径为AD= AE=1，面积为x12；
第二个扇形，圆心角为90°，半径为BE = BF=2，面积为x22；
第三个扇形，圆心角为90°，半径为CF= CG=3，面积为x32；
则第四个扇形，圆心角为90°，半径为DG= DH=3，面积为x42；
∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为x12+x22+x32+x42=
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解第四个扇形，计算即可解答.
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的计算；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24
∴笔筒的地面圆直径为：
铅笔放入笔筒内最长为：
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6-12.8≈2
故答案为：2
【分析】由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24，求出圆的直径，根据勾股定理可得铅笔放入笔筒内最长为8，再作差即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
18．【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．【答案】108或36
【知识点】圆内接正多边形；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当角的顶点在圆上时，如☉O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB，BC，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，
∴
当角的顶点在圆外部，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，
则：
∴∠FED=∠FDE=180°-108°=72°，
∴∠F=180°-2×72°=36°；
综上：这个角的大小是36°或108°；
故答案为：108或36.
【分析】如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如∠ABC，弦为AB，BC时，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，进行求解即可.
20．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
22．【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
23．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
24．【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
25．【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形ADCE为平行四边形
又∵，且D为AB中点
∴
∴平行四边形ADCE为菱形.
（2）解：①30°
②设半径为r
∵
∴
∵
∴
解得：
（3）解：方法不唯一(图1作BC中垂线，图2作内错角相等，图3作角分线+等腰出平行)：
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；切线的性质；作图-平行线；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ADCE为菱形.∴
∴
又∵
∴
∴
∵CD切于D
∴
∴
∴
【分析】(1)由，可知四边形ADCE为平行四边形，结合BD=AD可得ADCE为菱形；
(2)①结合菱形性质和切线的性质知∠COD=2∠CAD=2∠OCD，再由直角三角形两锐角互余可得∠ACD的度数；
②设半径为r，得OC=4-r，根据30角所对直角边等于斜边的一半，即可r的值；
(3)可作BC的中垂线，也可作内错角相等，还可作作角分线+等腰出平行.
27．【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
28．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
29．【答案】（1）解：设，则，
在中，根据勾股定理，得，
所以，
所以，
所以
（2）解：延长交于点，
在Rt中，根据勾股定理，得
所以，
因为，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
（3）证明：因为半径，所以，
过点作于点，
因为平分，
所以，
所以
所以，
所以，
在中，
设，则，
解得，
所以．
连接，在中，，
所以.
在Rt中，，
所以．
根据垂径定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长交于点，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形及正方形面积可得，即，整理变形即可求出答案.
（3）过点作于点，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，连接，根据勾股定理可得，，根据垂径定理，得，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
30．【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
31．【答案】（1）解：尺规作图如图1所示.
圆O就是所求作的图形
（2）证明：如图2，作⊙O的直径AM，连接BM，
所以∠ABM=90°，AM=2R，
因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.
因为∠ACB=∠AMB，所以Rt△ABM∽Rt△ADC.
所以，即，所以
（3）解：如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=90°.
因为∠ACB=60°，∠ADC=90°，所以∠DAC=30°，
所以∠EOC=60°，∠F=30°
因为OE=OC，所以△OEC是等边三角形，∠OEC=∠OCE=60°，
所以∠CEF=30°，∠CEF=∠F，所以CE=CF=R.
在Rt中，，所以，在Rt中，，
在Rt中，，代人，得，即
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB，BC边的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后作出此三角形的外接圆.
（2）作⊙O的直径AM，连接BM，利用直径所对圆周角是直角可知∠ABM=90°，AN=2R，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABM∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得结论.
（3）如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=9，易证△OEC是等边三角形，可推出∠OEC=∠OCE=60°，∠CEF=30°，同时可推出CE=CF=R，利用解直角三角形求出CD的长，可得到BD的长；再利用勾股定理求出AC的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，然后求出CF的长.
32．【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
33．【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
34．【答案】（1）解：如图所示，连接作直径AD，连接CD，
与相切于点，
，
，
，
是的直径．
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可得：，
又，
△△，
，
（3）解：，
，
的半径为1，
，
在△中，
由勾股定理得：；
，
．
又，
△是等边三角形，
，，
的延长线与过点的切线相交于，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
设，则，
由（2）可得：，
，
，
解得：或（负数不合题意，舍去），
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由于同弧所对的圆周角相等，因此可作直径AD，再连接CD，则，再由圆周角定理的推论知，即与互余，再由切线的性质知，即与也互余，所以，再等量代换即可；
（2）由（1）知 ，又是公共角相等，则可证明，由相似比可得，再化比例式为等积式即可；
（3）由（2）知，因此求PC的长得先计算出PA与BC的长，由圆周角定理可得，则利用勾股定理结合半径可得BC的长为；由于，则可得，即可判定为等边三角形，即AC=OA=1；再由OA=OB，可得，再借助切线的性质可得；由圆周角定理可得等于的一半即，则由三角形内角和定理可计算出，即PA=AC=1，则可设PC=x，则PB=x+，此时可直接由计算即可.
1 / 1专题19 圆-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
2．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
3．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|4．（2025·青岛）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
5．（2025·泰安） 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AB、DC相交于O
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC= BC=4，OA= OB，
∴AB=，
∴OA= OB=AB=
∴图中阴影部分的面积是π-π22 = 4π .
故答案为：D.
【分析】连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC= BC=4， OA= OB，再运用勾股定理可得AB=2，则OA= OB=AB=，最后根据圆的面积公式求解即可解答.
6．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
7．（2025·武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，. 若 AB=6，CD=，则⊙O的半径是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE
则
∵
∴
∴
∴
设圆的半径为r
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2
即
解得：r=
故答案为：A
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE，根据垂径定理可得，根据题意可得，则，再根据勾股定理可得EF，设圆的半径为r，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
9．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
10．（2025·湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
二、填空题
11．（2025·苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为 m.（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
12．（2025·德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果，那么这个等宽曲线的周长是 .
【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，
∴ 这个等宽曲线的周长是
故答案为：π.
【分析】根据等边三角形性质得到∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，即可根据弧长公式求出等宽曲线的周长.
13．（2025·北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ．
【答案】；
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵过点可以引的两条切线，，
∴点P在圆外
∴d>6
∵PA，PB分别切圆于点A，B
∴OP平分∠AOB
∴∠APO=∠BPO
∵OC∥PA
∴∠POC=∠APO
∴∠POC=∠CPO
∴PC=OC
∵PA=x，CD=y
∴PC=OC=y+6
∴BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6
连接OB
∴半径OB⊥PB
∴∠OBC=90°
∴OC2=BC2+OB2
∴(y+6)2=(x-y-6)2+62
∴
故答案为：；
【分析】根据切线性质可得点P在圆外，根据点与圆的位置关系可得d>6，再根据切线性质可得OP平分∠AOB，则 ∠APO=∠BPO，根据直线平行性质可得∠POC=∠APO，则∠POC=∠CPO，即PC=OC，根据边之间的关系可得PC=OC=y+6，BC=PB-PC=x-y-6，连接OB，根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
15．（2025·大庆） 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】
解：根据题意得：
第一个扇形，圆心角为90°，半径为AD= AE=1，面积为x12；
第二个扇形，圆心角为90°，半径为BE = BF=2，面积为x22；
第三个扇形，圆心角为90°，半径为CF= CG=3，面积为x32；
则第四个扇形，圆心角为90°，半径为DG= DH=3，面积为x42；
∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为x12+x22+x32+x42=
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解第四个扇形，计算即可解答.
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．
【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的计算；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24
∴笔筒的地面圆直径为：
铅笔放入笔筒内最长为：
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6-12.8≈2
故答案为：2
【分析】由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24，求出圆的直径，根据勾股定理可得铅笔放入笔筒内最长为8，再作差即可求出答案.
17．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．（2025·上海市）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 度.
【答案】108或36
【知识点】圆内接正多边形；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当角的顶点在圆上时，如☉O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB，BC，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，
∴
当角的顶点在圆外部，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，
则：
∴∠FED=∠FDE=180°-108°=72°，
∴∠F=180°-2×72°=36°；
综上：这个角的大小是36°或108°；
故答案为：108或36.
【分析】如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如∠ABC，弦为AB，BC时，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即☉O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，进行求解即可.
20．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
21．（2025·遂宁）综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
三、解答题
22．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
23．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
24．（2025·徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
25．（2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
26．（2025·深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC
（1） 证明：四边形AEBD是菱形.
（2）如图2，O是AB上一点，且E、A、D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切与点D，
①求= .
②若AB = 4，求⊙O的半径.
（3） 在(1)的条件下，用尺规作图过D作交BC于F . (保留作图痕迹，不用说明做法)
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形ADCE为平行四边形
又∵，且D为AB中点
∴
∴平行四边形ADCE为菱形.
（2）解：①30°
②设半径为r
∵
∴
∵
∴
解得：
（3）解：方法不唯一(图1作BC中垂线，图2作内错角相等，图3作角分线+等腰出平行)：
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；切线的性质；作图-平行线；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ADCE为菱形.∴
∴
又∵
∴
∴
∵CD切于D
∴
∴
∴
【分析】(1)由，可知四边形ADCE为平行四边形，结合BD=AD可得ADCE为菱形；
(2)①结合菱形性质和切线的性质知∠COD=2∠CAD=2∠OCD，再由直角三角形两锐角互余可得∠ACD的度数；
②设半径为r，得OC=4-r，根据30角所对直角边等于斜边的一半，即可r的值；
(3)可作BC的中垂线，也可作内错角相等，还可作作角分线+等腰出平行.
27．（2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
28．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
29．（2025·潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．
【阅读观察】
材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比直称作黄金分割比，而的比值为与互为倒数．
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点）
方法1：如图3，①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形交于点，可得．点即为所求．
【思考探究】
（1）说明图3中；
（2）用不同于（1）的方法，说明图4中．
（3）【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接；
②作的平分线，交于点；
③过点作的垂线，交于点，连接；
④截取，连接．五边形即为所求．
若，根据以上作法，证明：．
【答案】（1）解：设，则，
在中，根据勾股定理，得，
所以，
所以，
所以
（2）解：延长交于点，
在Rt中，根据勾股定理，得
所以，
因为，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
（3）证明：因为半径，所以，
过点作于点，
因为平分，
所以，
所以
所以，
所以，
在中，
设，则，
解得，
所以．
连接，在中，，
所以.
在Rt中，，
所以．
根据垂径定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长交于点，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形及正方形面积可得，即，整理变形即可求出答案.
（3）过点作于点，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，连接，根据勾股定理可得，，根据垂径定理，得，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
30．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
31．（2025·连云港）已知AD是的高，是的外接圆.
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为R，求证：；
（3）如图3，延长AD交于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F.若，，，求CF的长.
【答案】（1）解：尺规作图如图1所示.
圆O就是所求作的图形
（2）证明：如图2，作⊙O的直径AM，连接BM，
所以∠ABM=90°，AM=2R，
因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.
因为∠ACB=∠AMB，所以Rt△ABM∽Rt△ADC.
所以，即，所以
（3）解：如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=90°.
因为∠ACB=60°，∠ADC=90°，所以∠DAC=30°，
所以∠EOC=60°，∠F=30°
因为OE=OC，所以△OEC是等边三角形，∠OEC=∠OCE=60°，
所以∠CEF=30°，∠CEF=∠F，所以CE=CF=R.
在Rt中，，所以，在Rt中，，
在Rt中，，代人，得，即
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB，BC边的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后作出此三角形的外接圆.
（2）作⊙O的直径AM，连接BM，利用直径所对圆周角是直角可知∠ABM=90°，AN=2R，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABM∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得结论.
（3）如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=9，易证△OEC是等边三角形，可推出∠OEC=∠OCE=60°，∠CEF=30°，同时可推出CE=CF=R，利用解直角三角形求出CD的长，可得到BD的长；再利用勾股定理求出AC的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，然后求出CF的长.
32．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
33．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … …
请补全上述表格① ； ② ； ③ ； ④ .
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 .
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
34．（2025·凉山州）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，则．理由如下：是的直径
与相切于点
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段与线段，存在如下关系：．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△是的内接三角形，，，的延长线与过点的切线相交于，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长．
【答案】（1）解：如图所示，连接作直径AD，连接CD，
与相切于点，
，
，
，
是的直径．
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可得：，
又，
△△，
，
（3）解：，
，
的半径为1，
，
在△中，
由勾股定理得：；
，
．
又，
△是等边三角形，
，，
的延长线与过点的切线相交于，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
设，则，
由（2）可得：，
，
，
解得：或（负数不合题意，舍去），
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由于同弧所对的圆周角相等，因此可作直径AD，再连接CD，则，再由圆周角定理的推论知，即与互余，再由切线的性质知，即与也互余，所以，再等量代换即可；
（2）由（1）知 ，又是公共角相等，则可证明，由相似比可得，再化比例式为等积式即可；
（3）由（2）知，因此求PC的长得先计算出PA与BC的长，由圆周角定理可得，则利用勾股定理结合半径可得BC的长为；由于，则可得，即可判定为等边三角形，即AC=OA=1；再由OA=OB，可得，再借助切线的性质可得；由圆周角定理可得等于的一半即，则由三角形内角和定理可计算出，即PA=AC=1，则可设PC=x，则PB=x+，此时可直接由计算即可.
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