专题22 图形的相似-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
2．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
4．（2025·威海）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（ ）
A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED
C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB
【答案】B
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 的中线，
所以点F为 的重心，
所以
所以
所以
所以
故A选项不符合题意.
因为
所以
所以
所以 四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 的重心，
所以
所以
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以，
所以，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
5．（2025·济南）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接DE，
由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠FCD=∠EDC，
∴DE//BC，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴DE=2，
∴CE=DE=2，
∴，
∴AE=4.
故答案为：D.
【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出，进而，由已知线段可先求出DE的长，再进一步求出AE的长。
6．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
7．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
8．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
9．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
10．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选：C.
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
二、填空题
11．（2025·南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵一块砖的三个面的面积比是5：3：1，
∴设三个面的面积为，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴，
∴，
∴面向下放在地上，地面所受压强为，
故答案为：.
【分析】设三个面的面积为，由压强公式（其中为压强，为压力，为受力面积），求出的值，即可求解.
12．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
13．（2025·白银）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列人国家非物质文化进产名录，为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm.
【答案】195
【知识点】图形的相似；相似比
【解析】【解答】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大、小风筝相似，且相似比为3：1，
∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴大风筝两条对角线的长分别为30×3=90cm和35×3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为90+105=195cm，
故答案为：195.
【分析】根据相似图形的定义得大、小风筝相似以及它们的相似比，从而得大风筝两条对角线的长，进而求和即可.
14．（2025·兰州） 如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形ABCD中，且AD=2，
∴AB=-1，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF=BF=AB=-1.
∴PC=ED=2-(-1)=3-.
∵四边形FGHC是正方形，
∴GF=GH=HC=FC=3-，
∴CD=AB=-1，
∴HD=CD- CH=(-1)(3-)=2-4，
∵四边形LKDH是正方形，
∴LH=HD=2-4.
∴“黄金螺线” AFHK的长为： =
=
故答案为： .
【分析】先根据黄金矩形ABCD中且AD=2，求出AB=-1，进而求出GF =GH=HC=FC=3-，LH=HD=2-4， 再根据弧长公式l=即可求出“黄金螺线”AFHK的长，由此即可解答.
15．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
16．（2025·烟台）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为（4，3）.以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 .
【答案】或
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：
与位似且在点P同侧，且相似比为2
，即A1A=AP
为线段的中点，设、、
、
解得
同理A1为PA2的中点，即，解得，即
同理A2为PA3的中点，即，解得，即
故答案为：.
【分析】由于与位似且在点P同侧，且相似比等于2，则点A为线段PA1的中点，由中点坐标公式可得A1的坐标，同理，A1为PA2的中点，A2为PA3的中点，则依次可求出A2和A3的坐标.
17．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
18．（2025·广安） 已知的面积是1.
（1） 如图1，若D， E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点F，则四边形CDFE的面积为 .
（2） 如图2，若M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）连接DE，
∵ D， E分别是边BC和AC的中 点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴，
∴BF=2EF即BE=3EF，
∴S△DEF=S△BDE，
∵△ABC的面积为1，
∴S△CDE=；
∵点D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴，
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=
故答案为： .
（2）连接MN，
∵ M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，
∴AC=6NC，BC=6CM，
∴
∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△ABC，
∴∠BAC=∠CNM，AB=6MN，
∴MN∥AB，，
∴△MNG∽△ABG，
∴，
∴，
∴S△GMN=S△BMN，S△CMN=S△BMN， ∴S△BMN= 536 ， ∴S△GMN=，
∴ S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接DE，易证DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证得DE∥AB，AB=2DE，据此可得到△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，利用相似三角形的性质可求出△CDE的面积，同时可得到△BDE的面积，即可求出△DEF的面积，然后求出四边形CDFE的面积即可.
（2）连接MN，利用已知可证得，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△MNC∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出△CMN的面积，同时可证得NM∥AB，可推出△MNG∽△ABG，利用相似三角形的性质可得到NG与BG的比值，可求出△BMN和△GMN的面积，然后根据S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN，可得到四边形CMGN的面积.
三、解答题
19．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
20．（2025·宜宾）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中
（1）求一次函数的表达式，并求的面积．
（2）连结，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A(-2，1)代入到 中得：1=
解得k =- 2，
∴反比例函数解析式为y＝
∵反比例函数交于另一点
∴ C(-1，2)，
把A(-2，1)， C(-1，2)代入到y =mx +b中得：
解得
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
在y=x+3中，当y=x+3＝0时，x=-3，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
∴M(-3，0)，
∴OM=3，
∴SAOM=OM·IyAl=x3×1=
（2）(2) ∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B(2，-1)，OA=OB，
∴ A(-2，1)， C(-1，2)，
∴AC=，同理计算BC=3，AB=2，
∴ AC2 +BC2=()2 +(3)2=2 +18= 20， AB2 =(2)2 =20，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当OAD∽BAC时，则，∠ODA= ∠BCA=90°，
∴AD=AC，OD/ /BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(-)，
当△OAD∽△CAB时，
∴
∴AD=5，OD=3，
设D(d，d +3)，
解得d=3，
∴d+3=6，
∴点D的坐标为(3，6)；
综上所述，点D的坐标为(-)或(3，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数y=mx+b的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点м的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可解答；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式得到AC，BC，AB即可由勾股定理的逆定理可证明∠ACB=90°，则只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况；再分别讨论这两种情况，利用相似的性质得到对应边成比例建立关系计算即可解答.
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
22．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
23．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作图即可，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②由题意可得在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，由题意可得：，根据圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，则当为的直径时，取得最大值为，即可求出答案.
24．（2025·苏州）如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C，作直线 BC， 为二次函数 图像上两点.
（1）求直线 BC 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点 M，N重合），且点 P 的横坐标为 作 若直线 BC 与线段 MN，MP 分别交于点 D，E，且 与 的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m 的值.
【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与轴交于点，
∴令，有，
∴，
∵二次函数 的图像与轴交于两点，且点在点的左侧，
∴令，有，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：不存在实数使得，理由如下：
∵为二次函数 图像上两点，
∴，，
∴，
∵，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵，
∴不存在实数使得；
（3）解：如图，过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，
∴，
∵点的横坐标为，
∴当时，有，
∴，
由（1）（2）得，直线的函数表达式为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与 的面积的比为1：4，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
整理得：，
解得： ， ，
∴的值为或.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）先求出的值，然后利用配方法以及二次函数的最值知识得到的最大值，再进行判断即可；
（3）过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，则有，然后求出点的坐标，结合（1）（2）得点的坐标，从而得的值，进而得，于是推出，根据相似三角形的判定得，由相似三角形的性质求出，接下来证明，结合相似三角形的性质求出，最后由点坐标得坐标，则有关于的方程，解方程即可求出的值.
25．（2025·长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点， 连接CD， 且始终满足CD=AD+BC.
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径 时，令 比较m与n的大小，并说明理由；
（3）在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x， 求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围).
【答案】（1）证明：证法一： 如图1，
连接OC， OD， 过O作( 于点E.
令
由于
则有
化简得d=r，
∴CD与该半圆相切.
证法二：如图2，
连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠M=∠1.
∵O为AB 的中点，
∴OA=OB.
在△OAM 与△OBC中
∴△OAM≌△OBC(AAS).
∴AM=BC.
∵CD=AD+BC，
∴CD=AD+AM=DM .
∴∠M=∠2.
∴∠1=∠2， 即CO平分∠BCD.
又∵OE⊥CD， OB⊥CB，
∴OE=OB.
∴CD与该半圆相切.
证法三：如图3，
在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.
∵DC=AD+BC=DE+CE，
∴CE=CB，
∴∠1=∠2， ∠3=∠4.
∵ AD， BC是半圆的切线，
∴AD⊥AB， BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠C=180°.
∵∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°，
∴∠AEB=90°.
∵O为AB的中点，
连接OD， 在△ADO和△EDO中
∴△ADO≌△EDO (SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°.
∴OE⊥CD、
∴CD与该半圆相切.
（2）解：m=n.理由如下：
如图4，
过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得
∵CD=AD+BC=a+b， DM =|a-b|， CM=2r，
代入可得
（3）解：如图5，
∵ CD， AD， BC均为该半圆的切线， ∴DA=DE， CB=CE，
∵AD⊥AB， BC⊥AB， ∴AD∥BC.
∵∠ACD=∠GCE， ∴△ACD∽△GCE.
∴∠ADC=∠GEC. ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC.
同理可得
由(2)可知
又在Rt△ABE中，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）正法一：连接OC， OD， 过O作于点E.令根据面积列等式即可得到d=r，即可得到结论；证法二：连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.证明△OAM≌△OBC，即可得到AM=BC，然后根据角平分线的定义解答即可；证法三：在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.证明△ADO≌△EDO，即可得到∠OED=∠OAD=90°证明结论；
（2）过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，根据勾股定理得到，代入计算解答即可；
（3）证明，可得对应边成比例，然后根据对应边成比例且夹角相等得到△ACD∽△GCE.进而得到，同理可得，设在Rt△ABE中求出，，然后代入求出函数解析式即可.
26．（2025·广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分
（2）【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
如图2，已知平行六边形满足．
求证：平行六边形是菱六边形：
（3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
【答案】（1）错误；正确；错误
（2）证明：过点作平行且相等于，连接，
则平行四边形是平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，，
平行且相等于，
为平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，平行于，
平行于，平行于，
为平行四边形，
，
，
，
，
平行六边形是菱六边形．
（3）解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，
平行于，平行于，平行于，，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得：，
．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O
由图可知：
①AB平行于DE，只能知道△AOB~△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的
②AB平行于DE，∠ABE=∠BED，同理可得∠CBE=∠BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的
故答案为：①错误；②正确；③错误
【分析】（1）连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，根据相似三角形及直线平行性质逐项进行判断即可求出答案.
（2）过点作平行且相等于，连接，根据平行四边形判定定理可得平行四边形是平行四边形，则PQ平行于，，再根据平行六边形性质可得QH平行且相等于，再根据平行四边形判定定理可得为平行四边形，则QR平行于，，再根据平行六边形性质可得OH平行于，平行于，再根据平行四边形判定定理可得为平行四边形，则，再根据边之间的关系可得，再根据菱六边形定义即可求出答案.
（3）设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，则DE平行于，平行于，平行于，，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，代值化简可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
27．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
28．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
29．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
30．（2025·陕西） 问题探究
（1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上；
（2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值；
（3）问题解决
为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
【答案】（1）解：依题意，先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，
则，
∵
∴四边形是平行四边形，
即如图所示：
（2）解：如图2，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
过点作且分别与，交于，
即在线段上运动的，
则，
当有最小值时，则的周长有最小值，
作点关于的对称点
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值，即的长，
即的周长有最小值，
∵ 四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
此时的周长；
（3）解：如图3，取的中点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
连接
∵是的中点，且四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中点
过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，过点作于点，
∴为定值，
∴为定值，
则点在的中位线上运动，
作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，
∵，
故，
如图4，连接，作于点，于点，连接
∵与相切于点
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
故三点共线，
∴，
则，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点是的中点，是的中点
∴是三角形的中位线，
∴
∴．
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，根据三角形面积建立方程，解方程可得，过点作且分别与，交于，即在线段上运动的，根据三角形周长可得，当有最小值时，则的周长有最小值，作点关于的对称点，则，，即，当三点共线时，有最小值，即长，即的周长有最小值，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）取的中点，取的中点，连接，根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，过点作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，连接，根据平行四边形性质可得，过点作于点，过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，过点作于点，则为定值，即为定值，可得点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，再根据角之间的关系可得，连接，作于点，于点，连接根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，故三点共线，根据边之间的关系可得MB，再根据余弦定义建立方程，解方程可得BK，可得MO；，再根据三角形中位线定理可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1专题22 图形的相似-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·威海）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（ ）
A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED
C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB
5．（2025·济南）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题
11．（2025·南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa．
12．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
13．（2025·白银）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列人国家非物质文化进产名录，为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm.
14．（2025·兰州） 如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
15．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
16．（2025·烟台）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为（4，3）.以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 .
17．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为 ．
18．（2025·广安） 已知的面积是1.
（1） 如图1，若D， E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点F，则四边形CDFE的面积为 .
（2） 如图2，若M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 .
三、解答题
19．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
20．（2025·宜宾）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中
（1）求一次函数的表达式，并求的面积．
（2）连结，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
22．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
23．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
24．（2025·苏州）如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C，作直线 BC， 为二次函数 图像上两点.
（1）求直线 BC 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点 M，N重合），且点 P 的横坐标为 作 若直线 BC 与线段 MN，MP 分别交于点 D，E，且 与 的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m 的值.
25．（2025·长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点， 连接CD， 且始终满足CD=AD+BC.
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径 时，令 比较m与n的大小，并说明理由；
（3）在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x， 求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围).
26．（2025·广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分
（2）【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
如图2，已知平行六边形满足．
求证：平行六边形是菱六边形：
（3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
27．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
28．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
29．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
30．（2025·陕西） 问题探究
（1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上；
（2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值；
（3）问题解决
为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
4．【答案】B
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 的中线，
所以点F为 的重心，
所以
所以
所以
所以
故A选项不符合题意.
因为
所以
所以
所以 四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 的重心，
所以
所以
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以，
所以，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接DE，
由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠FCD=∠EDC，
∴DE//BC，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴DE=2，
∴CE=DE=2，
∴，
∴AE=4.
故答案为：D.
【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出，进而，由已知线段可先求出DE的长，再进一步求出AE的长。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
7．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
10．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选：C.
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵一块砖的三个面的面积比是5：3：1，
∴设三个面的面积为，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴，
∴，
∴面向下放在地上，地面所受压强为，
故答案为：.
【分析】设三个面的面积为，由压强公式（其中为压强，为压力，为受力面积），求出的值，即可求解.
12．【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
13．【答案】195
【知识点】图形的相似；相似比
【解析】【解答】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大、小风筝相似，且相似比为3：1，
∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴大风筝两条对角线的长分别为30×3=90cm和35×3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为90+105=195cm，
故答案为：195.
【分析】根据相似图形的定义得大、小风筝相似以及它们的相似比，从而得大风筝两条对角线的长，进而求和即可.
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形ABCD中，且AD=2，
∴AB=-1，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF=BF=AB=-1.
∴PC=ED=2-(-1)=3-.
∵四边形FGHC是正方形，
∴GF=GH=HC=FC=3-，
∴CD=AB=-1，
∴HD=CD- CH=(-1)(3-)=2-4，
∵四边形LKDH是正方形，
∴LH=HD=2-4.
∴“黄金螺线” AFHK的长为： =
=
故答案为： .
【分析】先根据黄金矩形ABCD中且AD=2，求出AB=-1，进而求出GF =GH=HC=FC=3-，LH=HD=2-4， 再根据弧长公式l=即可求出“黄金螺线”AFHK的长，由此即可解答.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
16．【答案】或
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：
与位似且在点P同侧，且相似比为2
，即A1A=AP
为线段的中点，设、、
、
解得
同理A1为PA2的中点，即，解得，即
同理A2为PA3的中点，即，解得，即
故答案为：.
【分析】由于与位似且在点P同侧，且相似比等于2，则点A为线段PA1的中点，由中点坐标公式可得A1的坐标，同理，A1为PA2的中点，A2为PA3的中点，则依次可求出A2和A3的坐标.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）连接DE，
∵ D， E分别是边BC和AC的中 点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴，
∴BF=2EF即BE=3EF，
∴S△DEF=S△BDE，
∵△ABC的面积为1，
∴S△CDE=；
∵点D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴，
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=
故答案为： .
（2）连接MN，
∵ M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，
∴AC=6NC，BC=6CM，
∴
∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△ABC，
∴∠BAC=∠CNM，AB=6MN，
∴MN∥AB，，
∴△MNG∽△ABG，
∴，
∴，
∴S△GMN=S△BMN，S△CMN=S△BMN， ∴S△BMN= 536 ， ∴S△GMN=，
∴ S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接DE，易证DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证得DE∥AB，AB=2DE，据此可得到△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，利用相似三角形的性质可求出△CDE的面积，同时可得到△BDE的面积，即可求出△DEF的面积，然后求出四边形CDFE的面积即可.
（2）连接MN，利用已知可证得，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△MNC∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出△CMN的面积，同时可证得NM∥AB，可推出△MNG∽△ABG，利用相似三角形的性质可得到NG与BG的比值，可求出△BMN和△GMN的面积，然后根据S四边形CMGN=S△GMN+S△CMN，可得到四边形CMGN的面积.
19．【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
20．【答案】（1）解：把A(-2，1)代入到 中得：1=
解得k =- 2，
∴反比例函数解析式为y＝
∵反比例函数交于另一点
∴ C(-1，2)，
把A(-2，1)， C(-1，2)代入到y =mx +b中得：
解得
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
在y=x+3中，当y=x+3＝0时，x=-3，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y=x+3，
∴M(-3，0)，
∴OM=3，
∴SAOM=OM·IyAl=x3×1=
（2）(2) ∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B(2，-1)，OA=OB，
∴ A(-2，1)， C(-1，2)，
∴AC=，同理计算BC=3，AB=2，
∴ AC2 +BC2=()2 +(3)2=2 +18= 20， AB2 =(2)2 =20，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当OAD∽BAC时，则，∠ODA= ∠BCA=90°，
∴AD=AC，OD/ /BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(-)，
当△OAD∽△CAB时，
∴
∴AD=5，OD=3，
设D(d，d +3)，
解得d=3，
∴d+3=6，
∴点D的坐标为(3，6)；
综上所述，点D的坐标为(-)或(3，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数y=mx+b的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点м的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可解答；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式得到AC，BC，AB即可由勾股定理的逆定理可证明∠ACB=90°，则只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况；再分别讨论这两种情况，利用相似的性质得到对应边成比例建立关系计算即可解答.
21．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
22．【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
23．【答案】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作图即可，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②由题意可得在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，由题意可得：，根据圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，则当为的直径时，取得最大值为，即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与轴交于点，
∴令，有，
∴，
∵二次函数 的图像与轴交于两点，且点在点的左侧，
∴令，有，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：不存在实数使得，理由如下：
∵为二次函数 图像上两点，
∴，，
∴，
∵，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵，
∴不存在实数使得；
（3）解：如图，过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，
∴，
∵点的横坐标为，
∴当时，有，
∴，
由（1）（2）得，直线的函数表达式为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与 的面积的比为1：4，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
整理得：，
解得： ， ，
∴的值为或.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）先求出的值，然后利用配方法以及二次函数的最值知识得到的最大值，再进行判断即可；
（3）过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，则有，然后求出点的坐标，结合（1）（2）得点的坐标，从而得的值，进而得，于是推出，根据相似三角形的判定得，由相似三角形的性质求出，接下来证明，结合相似三角形的性质求出，最后由点坐标得坐标，则有关于的方程，解方程即可求出的值.
25．【答案】（1）证明：证法一： 如图1，
连接OC， OD， 过O作( 于点E.
令
由于
则有
化简得d=r，
∴CD与该半圆相切.
证法二：如图2，
连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠M=∠1.
∵O为AB 的中点，
∴OA=OB.
在△OAM 与△OBC中
∴△OAM≌△OBC(AAS).
∴AM=BC.
∵CD=AD+BC，
∴CD=AD+AM=DM .
∴∠M=∠2.
∴∠1=∠2， 即CO平分∠BCD.
又∵OE⊥CD， OB⊥CB，
∴OE=OB.
∴CD与该半圆相切.
证法三：如图3，
在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.
∵DC=AD+BC=DE+CE，
∴CE=CB，
∴∠1=∠2， ∠3=∠4.
∵ AD， BC是半圆的切线，
∴AD⊥AB， BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠C=180°.
∵∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°，
∴∠AEB=90°.
∵O为AB的中点，
连接OD， 在△ADO和△EDO中
∴△ADO≌△EDO (SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°.
∴OE⊥CD、
∴CD与该半圆相切.
（2）解：m=n.理由如下：
如图4，
过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得
∵CD=AD+BC=a+b， DM =|a-b|， CM=2r，
代入可得
（3）解：如图5，
∵ CD， AD， BC均为该半圆的切线， ∴DA=DE， CB=CE，
∵AD⊥AB， BC⊥AB， ∴AD∥BC.
∵∠ACD=∠GCE， ∴△ACD∽△GCE.
∴∠ADC=∠GEC. ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC.
同理可得
由(2)可知
又在Rt△ABE中，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）正法一：连接OC， OD， 过O作于点E.令根据面积列等式即可得到d=r，即可得到结论；证法二：连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作于点E.证明△OAM≌△OBC，即可得到AM=BC，然后根据角平分线的定义解答即可；证法三：在DC上截取DE=DA， 连接OE， AE， BE.证明△ADO≌△EDO，即可得到∠OED=∠OAD=90°证明结论；
（2）过点C作CM⊥AD， 交AD于点M，根据勾股定理得到，代入计算解答即可；
（3）证明，可得对应边成比例，然后根据对应边成比例且夹角相等得到△ACD∽△GCE.进而得到，同理可得，设在Rt△ABE中求出，，然后代入求出函数解析式即可.
26．【答案】（1）错误；正确；错误
（2）证明：过点作平行且相等于，连接，
则平行四边形是平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，，
平行且相等于，
为平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，平行于，
平行于，平行于，
为平行四边形，
，
，
，
，
平行六边形是菱六边形．
（3）解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，
平行于，平行于，平行于，，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得：，
．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O
由图可知：
①AB平行于DE，只能知道△AOB~△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的
②AB平行于DE，∠ABE=∠BED，同理可得∠CBE=∠BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的
故答案为：①错误；②正确；③错误
【分析】（1）连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，根据相似三角形及直线平行性质逐项进行判断即可求出答案.
（2）过点作平行且相等于，连接，根据平行四边形判定定理可得平行四边形是平行四边形，则PQ平行于，，再根据平行六边形性质可得QH平行且相等于，再根据平行四边形判定定理可得为平行四边形，则QR平行于，，再根据平行六边形性质可得OH平行于，平行于，再根据平行四边形判定定理可得为平行四边形，则，再根据边之间的关系可得，再根据菱六边形定义即可求出答案.
（3）设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，则DE平行于，平行于，平行于，，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，代值化简可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
27．【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
28．【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
29．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
30．【答案】（1）解：依题意，先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，
则，
∵
∴四边形是平行四边形，
即如图所示：
（2）解：如图2，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
过点作且分别与，交于，
即在线段上运动的，
则，
当有最小值时，则的周长有最小值，
作点关于的对称点
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值，即的长，
即的周长有最小值，
∵ 四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
此时的周长；
（3）解：如图3，取的中点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
连接
∵是的中点，且四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中点
过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，过点作于点，
∴为定值，
∴为定值，
则点在的中位线上运动，
作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，
∵，
故，
如图4，连接，作于点，于点，连接
∵与相切于点
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
故三点共线，
∴，
则，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点是的中点，是的中点
∴是三角形的中位线，
∴
∴．
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，根据三角形面积建立方程，解方程可得，过点作且分别与，交于，即在线段上运动的，根据三角形周长可得，当有最小值时，则的周长有最小值，作点关于的对称点，则，，即，当三点共线时，有最小值，即长，即的周长有最小值，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）取的中点，取的中点，连接，根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，过点作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，连接，根据平行四边形性质可得，过点作于点，过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，过点作于点，则为定值，即为定值，可得点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，再根据角之间的关系可得，连接，作于点，于点，连接根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，故三点共线，根据边之间的关系可得MB，再根据余弦定义建立方程，解方程可得BK，可得MO；，再根据三角形中位线定理可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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