【精品解析】专题23 锐角三角函数-2025年精选中考真题分类汇编

专题23 锐角三角函数-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2025·南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·泸州）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
8．（2025·西宁） 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2025·德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是 （　　）
A． B． C． D．
10．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题
11．（2025·南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　．
12．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 　 　. （结果保留根号）
13．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ．
14．（2025·广元）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
15．（2025·武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是　 　m.(tan22°取0.4)
16．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
17．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是　 　.
18．（2025·齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作，使，，再以为边作，使，，过点A，，作弧，记作第1条弧；以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧.按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　 　.
19．（2025·河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为　 　．
（参考数据：，）
20．（2025·眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），，点F在射线DP上，且，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题
21．（2025·淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
22．（2025·威海）如图
问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数．
（1）问题解决
如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
（2）策略迁移
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　 　 °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
23．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
24．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
25．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
26．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
27．（2025·山东）【问题情境】
年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．
【问题提出】
部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．
操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：
（3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
28．（2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点　 　是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为　 　°；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
29．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
30．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为　 　m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
31．（2025·河北）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为　 　；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
（4）［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
32．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则　 　，　 　，　 　（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
33．（2025·西宁）综合与实践
【问题提出】
原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)
如图13-1，在锐角中，探究 ， ，之间的关系.
（1）【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
如图1， 过点A作， 垂足为D， 过点B作， 垂足为E.
在中∴
在中∴
∴ 即
同理 在中 　 　
在中 　 　
∴　 　=　 　
即
；
（2）【结论应用】
如图 2，在 中，，，.求 AC， BC 的长.（结果保留小数点后一位；参考数据： ）
（3）【深度探究】
如图3， 是锐角 的外接圆，半径为 R.
求证： .
（4）【拓展应用】
如图 4，在 中，，，，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径的 分别交 AB， AC 于点 E， F，连接 EF. 则线段 EF 长度的最小值是　 　.
34．（2025·烟台）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系.
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系　 　；
（2）【类比探究】
如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）；
（3）【拓展延伸】
如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为　 　（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
2．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，其中，
∴关于的函数图象开口向上，且当或时，，当时，，
∴ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】过点作于，过点作于，根据等边三角形的性质得，，从而得，进而证明，，于是得，则，然后由等边三角形性质以及勾股定理求出的值，利用三角形面积公式得到的值，解直角三角形得到的值，利用三角形面积公式得到的值，即可求出关于的函数关系式，由此得到答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：B．
【分析】过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=DC=2，∠BCD=∠B=90°，由线段中点的定义得到AE=BE=1，在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE的长，分别求出∠BEC的正弦与余弦函数值；由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠GCD=∠BEC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义可求出CG的长，由等腰三角形的三线合一定理得到，进而根据线段和差求出；在Rt△EFH中，由∠FEH的余弦函数求出EH，由∠FEH的正弦函数求出FH，进而根据AH=AE+EH求出AH的长，最后在Rt△AFH中，利用勾股定理算出AF即可.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=，AB=BC=AF=1，
∴∠BAC=∠ABF=∠AFB==30°，
∴∠GAF=∠CBF=90°，
∴同理可得∠AFD=∠FDC=∠BFE=∠FEC=90°，
∴ACDF和BCEF是矩形，
∴AC∥DF，BF∥CE，
∴CHFG是平行四边形，
∴，
∴ 四边形GCHF的面积是FG×BC= ，
故答案为：A.
【分析】先根据正六边形的性质得到ACDF和BCEF是矩形，即可得到CHFG是平行四边形，然后根据余弦的定义求出GF长计算面积即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，
∴∠BQF=∠EGF=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴BK=MN，
又∠CBK+∠AFB=90°，∠FAB+∠AFB=90°，
∴∠CBK=∠FAB，
∵AB=CB，∠ABF=∠BCK=90°，
∴△ABF≌△BCK，
∴AF=BK，
∴MN=AF，即①成立；
∵BK∥MN，
∴∠CBK=∠CEN，
∴∠CEN=∠FAB，
∵BE=BF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠FAB，
∵∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，
∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠CEN+45°=∠FAB+45°，
∴∠EAH=∠EHA，即②成立；
∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△NEC△BAF，
∴
∴EN.BF=CN.AF，
∵∠EAH=∠AHE=∠CHN = 45°+a， ∠ACE = ∠ACN =45°，
∴△AEC△HNC，
∴
∴CN·AE=EC.HN，
∵AE = AF，
∴CN.AF=EC.HN，
.·.EN.BF=EC.HN，故结论③正确；
过点F作FP⊥AC，如图2所示，
设BF =3x，由BF：FC=3：4可得FC=4x， AB=BC = 7x，
∴ AF2 = AB2 + BF2 = (7x)2 + (3x)2 = 58x2，
∵PF= FC●sin∠ACB=4x，
∴AP = x，
∴tan∠FAC=，即结论④正确；
设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，
∴∠CNE≠∠CHN，
∴CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有ABC，ADCAEFAEH共四个，故结论⑤错误
故答案为：C.
【分析】：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，得出平行四边形BMNK，进而得出BK=MN，然后再通过证明△ABF≌△BCK，得出AF=BK，进一步等量代换，即可得出①正确；然后证明∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠FAB+45°，∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，进一步的得出∠EAH=∠EHA，即可得出②正确；再通过证明△NEC△BAF，△AEC△HNC， 可得出EN.BF=CN.AF，CN.AF=EC.HN，进一步即可得出EN.BF=EC.HN，即③正确；再过点F作FP⊥AC，如图2所示，设BF =3x，根据勾股定理可求得PF= FC●sin∠ACB=4x，AP = x，根据正切定义，即可得出④正确；设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，∠CNE≠∠CHN，可得出CNH不一定是等腰三角形，易证ABC，ADCAEFAEH是等腰三角形，故而⑤不正确，即可得出正确选项。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明，得，然后设，从而求出，利用三角形面积公式求出，解方程即可得到，进而利用勾股定理得，最后由正弦的定义进行求解即可.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
13．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
15．【答案】180
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：PD∥BC
∴∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°
在Rt△PAC中，
在Rt△PBC中，
∴AB=BC-AC=180
故答案为：180
【分析】由题意可得：PD∥BC，根据直线平行性质可得∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°，再根据正切定义可得AC，BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
17．【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
18．【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—含30°角直角三角形；探索规律-点的坐标规律；求正弦值；求余弦值
【解析】【解答】解：由题：OA=2，
，
，
，
……
∴
∵ 过点A，，作弧，
过点，，作弧，记作第2条弧，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上于原点O距离最小的点为
∴=
∵AOA1=30，A1OA2=30，A2OA3=30，A3OA4=30， ...，
∴12次操作循环一周，
∵404812 = 3374.
∴AOA4048 = 120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
aaa
∴MOA4048 = 60°，
∴OM=OA4048 ×cos60°=32×2404932024=2404832024 ，
A4048M=OA4048 ×sin60°=32×2404932024=24048332024 ，
∴A4048，
故答案为：.
【分析】根据题意找出一般规律，根据题意得出组成第2025条弧，
即可得到第2025条弧上于原点O距离最小的点为，结合题干发现循环规律12次操作循环一周，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：根据MOA4048 = 60°，解直角三角形得到OM，A4048M ，即可解答.
19．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.

20．【答案】①③④
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，在AB上截取AH=AE，连接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正确；
如图2， 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，
则△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②错误；
设AE=x， 则
时，△AEF的面积的最大值为2， 故③正确；
当 时， 设CG=a， 则
在 Rt△AEG中， 则有 解得 故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，连接EH.根据SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 进而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判断①；设AE=x， 则得到的面积 关于x的二次函数，配方找到最大值即可判断③； 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，则有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后证明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判断②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG长判断④解答即可.
21．【答案】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，
∵在Rt△EGB中，设GB＝x m，tan∠GEB，
∴GE，
∵在Rt△FHB中，tan∠HFB，
∴HF，
∵GE＝HF，
∴，
解得x≈153.9（m），
∴GB＝153.9m，
∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m），
∵在Rt△EMD中，设MD＝y m，tan∠MED，
∴ME，
∵在Rt△NFD中，tan∠NFD，
∴FN，
∵ME＝FN，
∴，
解得y≈81.5（m），
∴MD＝81.5（m），
∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20，
即CN＝CD+101.5，
∵AH＝CN，
∴CD+101.5＝185.9，
∴CD＝84.4（m），
答：大厦CD的高度约为84.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，设GB＝x m，根据正切定义可得GE，HF，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB＝153.9m，根据边之间的关系可得AH，设MD＝y m，根据正切定义可得ME，FN，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得MD＝81.5（m），再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图1中，连接BC，
∵AB＝BC，BC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠α+∠β＝45°；
（2）90
（3）解：如图2中，α＝∠GDH，β＝∠HDF，
在Rt△DGF中，tan（α+β）．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：（2）如图2中，连接BC，
由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴α+β＝90°．
故答案为：90；
【分析】（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解；
（2）构造等腰直角三角形ABC可得结论；
（3）构造直角三角形DFG，利用正切计算解题即可.
23．【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
25．【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
26．【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
27．【答案】（1）解：分别与，相切于点，，
，
（2）解：如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形.
钢柱的底面圆半径为，
，
，，
，
，
同理，
，
，
该部件的长度符合要求
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由切线长定理可得AB=AD，因为OA是公共边，则由HL可证，由全等的性质可得；
（2）如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形，则BC=OB=1，解可得，即，同理，则利用可求得即可；
（3）能，如图所示，用正方体代替圆柱也可以，同理先可得，则AC可求，则，再利用可得.
28．【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
29．【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
30．【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
31．【答案】（1）10
（2）解：如图所示
（3）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
②=
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（4）解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据矩形周长即可求出答案.
（2）以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（3）根据矩形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）①过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据题意可得点是矩形的对角线与的交点，则点是的中点，可得，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据勾股定理可得PQ，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CQ，BQ，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据正切定义即可求出答案.
②连接交于点，根据题意可得点为和的中点，点在以为直径的上，当与相切时，最大，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得，过点作，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CT，根勾股定理可得CL，再根据切线性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
32．【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
33．【答案】（1）；；；
（2）解： ， ， ，
，
，
，
，
，，
即 ，；
（3）证明：连接 BO 并延长交 于点 D，连接 DC，
∵BD 是 的直径，
在 中，，
，
，
即 ；
由 (1) 可知：，
.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；圆周角定理的推论；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：(4)由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，，
∴，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知，
∴在Rt△EOH中，，
由垂径定理可知，
故答案为：.
【分析】(1)根据探究过程，构造直角三角形，然后在不同的直角三角形中，根据三角函数的定义，解直角三角形即可得到BE的长，然后即可得到结论；
(2)首先利用三角形的内角和定理，得到∠C的度数，然后利用(1)中的结论，即可得到a，b的值；
(3)首先根据圆周角定理的推论，得到△BDC为直角三角形，然后利用(1)中的结论，得到，进而得到要证明的结论；
(4)首先由垂线段最短求出AD的最小值，然后根据垂径定理和圆周角定理，结合(1)中的结论建立EF与直径AD的数量关系，进而代入求得EF的最小值.
34．【答案】（1）
（2）解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
答：PA2的长度约为37；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
（1）思路一：如图2所示，延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
、
，即
思路二：如图3所示，分别过点A2作PA1和PA3的垂线段A2M和A2N.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
四边形A2MPN是矩形
四边形A2MPN是正方形
即
(3)解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
【分析】（1）思路一是延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q，由手拉手全等模型可证，从而利用全等的性质可证是等腰直角三角形，即把 与分别转化到这个等腰直角三角形的斜边与直角边上即可；思路二也利用手拉手模型可证，利用全等的性质可证四边形A2MPN是正方形，从而把与转化到这个正方形的边和对角线上，利用勾股定理或45度角的三角函数依然可证结论成立；
（2）由于正五边形的内角可直接求得，因此可利用思路一构造全等三角形，进而可得等腰三角形PA2Q，再利用等腰三角形三线合一作底边上的高，再解直角三角形即可；
（3）解法同（2）.
1 / 1专题23 锐角三角函数-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
2．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
3．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2025·南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，其中，
∴关于的函数图象开口向上，且当或时，，当时，，
∴ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】过点作于，过点作于，根据等边三角形的性质得，，从而得，进而证明，，于是得，则，然后由等边三角形性质以及勾股定理求出的值，利用三角形面积公式得到的值，解直角三角形得到的值，利用三角形面积公式得到的值，即可求出关于的函数关系式，由此得到答案.
5．（2025·泸州）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：B．
【分析】过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=DC=2，∠BCD=∠B=90°，由线段中点的定义得到AE=BE=1，在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE的长，分别求出∠BEC的正弦与余弦函数值；由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠GCD=∠BEC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义可求出CG的长，由等腰三角形的三线合一定理得到，进而根据线段和差求出；在Rt△EFH中，由∠FEH的余弦函数求出EH，由∠FEH的正弦函数求出FH，进而根据AH=AE+EH求出AH的长，最后在Rt△AFH中，利用勾股定理算出AF即可.
6．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
7．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2025·西宁） 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
9．（2025·德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=，AB=BC=AF=1，
∴∠BAC=∠ABF=∠AFB==30°，
∴∠GAF=∠CBF=90°，
∴同理可得∠AFD=∠FDC=∠BFE=∠FEC=90°，
∴ACDF和BCEF是矩形，
∴AC∥DF，BF∥CE，
∴CHFG是平行四边形，
∴，
∴ 四边形GCHF的面积是FG×BC= ，
故答案为：A.
【分析】先根据正六边形的性质得到ACDF和BCEF是矩形，即可得到CHFG是平行四边形，然后根据余弦的定义求出GF长计算面积即可.
10．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，
∴∠BQF=∠EGF=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴BK=MN，
又∠CBK+∠AFB=90°，∠FAB+∠AFB=90°，
∴∠CBK=∠FAB，
∵AB=CB，∠ABF=∠BCK=90°，
∴△ABF≌△BCK，
∴AF=BK，
∴MN=AF，即①成立；
∵BK∥MN，
∴∠CBK=∠CEN，
∴∠CEN=∠FAB，
∵BE=BF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠FAB，
∵∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，
∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠CEN+45°=∠FAB+45°，
∴∠EAH=∠EHA，即②成立；
∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△NEC△BAF，
∴
∴EN.BF=CN.AF，
∵∠EAH=∠AHE=∠CHN = 45°+a， ∠ACE = ∠ACN =45°，
∴△AEC△HNC，
∴
∴CN·AE=EC.HN，
∵AE = AF，
∴CN.AF=EC.HN，
.·.EN.BF=EC.HN，故结论③正确；
过点F作FP⊥AC，如图2所示，
设BF =3x，由BF：FC=3：4可得FC=4x， AB=BC = 7x，
∴ AF2 = AB2 + BF2 = (7x)2 + (3x)2 = 58x2，
∵PF= FC●sin∠ACB=4x，
∴AP = x，
∴tan∠FAC=，即结论④正确；
设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，
∴∠CNE≠∠CHN，
∴CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有ABC，ADCAEFAEH共四个，故结论⑤错误
故答案为：C.
【分析】：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，得出平行四边形BMNK，进而得出BK=MN，然后再通过证明△ABF≌△BCK，得出AF=BK，进一步等量代换，即可得出①正确；然后证明∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠FAB+45°，∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，进一步的得出∠EAH=∠EHA，即可得出②正确；再通过证明△NEC△BAF，△AEC△HNC， 可得出EN.BF=CN.AF，CN.AF=EC.HN，进一步即可得出EN.BF=EC.HN，即③正确；再过点F作FP⊥AC，如图2所示，设BF =3x，根据勾股定理可求得PF= FC●sin∠ACB=4x，AP = x，根据正切定义，即可得出④正确；设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，∠CNE≠∠CHN，可得出CNH不一定是等腰三角形，易证ABC，ADCAEFAEH是等腰三角形，故而⑤不正确，即可得出正确选项。
二、填空题
11．（2025·南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明，得，然后设，从而求出，利用三角形面积公式求出，解方程即可得到，进而利用勾股定理得，最后由正弦的定义进行求解即可.
12．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 　 　. （结果保留根号）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
13．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
14．（2025·广元）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
15．（2025·武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是　 　m.(tan22°取0.4)
【答案】180
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：PD∥BC
∴∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°
在Rt△PAC中，
在Rt△PBC中，
∴AB=BC-AC=180
故答案为：180
【分析】由题意可得：PD∥BC，根据直线平行性质可得∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°，再根据正切定义可得AC，BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
17．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是　 　.
【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
18．（2025·齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作，使，，再以为边作，使，，过点A，，作弧，记作第1条弧；以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧.按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—含30°角直角三角形；探索规律-点的坐标规律；求正弦值；求余弦值
【解析】【解答】解：由题：OA=2，
，
，
，
……
∴
∵ 过点A，，作弧，
过点，，作弧，记作第2条弧，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上于原点O距离最小的点为
∴=
∵AOA1=30，A1OA2=30，A2OA3=30，A3OA4=30， ...，
∴12次操作循环一周，
∵404812 = 3374.
∴AOA4048 = 120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
aaa
∴MOA4048 = 60°，
∴OM=OA4048 ×cos60°=32×2404932024=2404832024 ，
A4048M=OA4048 ×sin60°=32×2404932024=24048332024 ，
∴A4048，
故答案为：.
【分析】根据题意找出一般规律，根据题意得出组成第2025条弧，
即可得到第2025条弧上于原点O距离最小的点为，结合题干发现循环规律12次操作循环一周，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：根据MOA4048 = 60°，解直角三角形得到OM，A4048M ，即可解答.
19．（2025·河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为　 　．
（参考数据：，）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.

20．（2025·眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），，点F在射线DP上，且，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，在AB上截取AH=AE，连接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正确；
如图2， 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，
则△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②错误；
设AE=x， 则
时，△AEF的面积的最大值为2， 故③正确；
当 时， 设CG=a， 则
在 Rt△AEG中， 则有 解得 故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，连接EH.根据SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 进而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判断①；设AE=x， 则得到的面积 关于x的二次函数，配方找到最大值即可判断③； 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，则有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后证明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判断②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG长判断④解答即可.
三、解答题
21．（2025·淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
【答案】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，
∵在Rt△EGB中，设GB＝x m，tan∠GEB，
∴GE，
∵在Rt△FHB中，tan∠HFB，
∴HF，
∵GE＝HF，
∴，
解得x≈153.9（m），
∴GB＝153.9m，
∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m），
∵在Rt△EMD中，设MD＝y m，tan∠MED，
∴ME，
∵在Rt△NFD中，tan∠NFD，
∴FN，
∵ME＝FN，
∴，
解得y≈81.5（m），
∴MD＝81.5（m），
∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20，
即CN＝CD+101.5，
∵AH＝CN，
∴CD+101.5＝185.9，
∴CD＝84.4（m），
答：大厦CD的高度约为84.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，设GB＝x m，根据正切定义可得GE，HF，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB＝153.9m，根据边之间的关系可得AH，设MD＝y m，根据正切定义可得ME，FN，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得MD＝81.5（m），再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025·威海）如图
问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数．
（1）问题解决
如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
（2）策略迁移
已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　 　 °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
【答案】（1）解：如图1中，连接BC，
∵AB＝BC，BC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠α+∠β＝45°；
（2）90
（3）解：如图2中，α＝∠GDH，β＝∠HDF，
在Rt△DGF中，tan（α+β）．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：（2）如图2中，连接BC，
由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴α+β＝90°．
故答案为：90；
【分析】（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解；
（2）构造等腰直角三角形ABC可得结论；
（3）构造直角三角形DFG，利用正切计算解题即可.
23．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
24．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
25．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
26．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
27．（2025·山东）【问题情境】
年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．
【问题提出】
部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．
操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：
（3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：分别与，相切于点，，
，
（2）解：如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形.
钢柱的底面圆半径为，
，
，，
，
，
同理，
，
，
该部件的长度符合要求
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由切线长定理可得AB=AD，因为OA是公共边，则由HL可证，由全等的性质可得；
（2）如图所示，过点O作CM的垂线段OF，则四边形OBCF是正方形，则BC=OB=1，解可得，即，同理，则利用可求得即可；
（3）能，如图所示，用正方体代替圆柱也可以，同理先可得，则AC可求，则，再利用可得.
28．（2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点　 　是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为　 　°；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
29．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
30．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为　 　m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
31．（2025·河北）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为　 　；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
（4）［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
【答案】（1）10
（2）解：如图所示
（3）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
②=
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（4）解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据矩形周长即可求出答案.
（2）以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（3）根据矩形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）①过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据题意可得点是矩形的对角线与的交点，则点是的中点，可得，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据勾股定理可得PQ，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CQ，BQ，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据正切定义即可求出答案.
②连接交于点，根据题意可得点为和的中点，点在以为直径的上，当与相切时，最大，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得，过点作，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CT，根勾股定理可得CL，再根据切线性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
32．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则　 　，　 　，　 　（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
33．（2025·西宁）综合与实践
【问题提出】
原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)
如图13-1，在锐角中，探究 ， ，之间的关系.
（1）【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
如图1， 过点A作， 垂足为D， 过点B作， 垂足为E.
在中∴
在中∴
∴ 即
同理 在中 　 　
在中 　 　
∴　 　=　 　
即
；
（2）【结论应用】
如图 2，在 中，，，.求 AC， BC 的长.（结果保留小数点后一位；参考数据： ）
（3）【深度探究】
如图3， 是锐角 的外接圆，半径为 R.
求证： .
（4）【拓展应用】
如图 4，在 中，，，，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径的 分别交 AB， AC 于点 E， F，连接 EF. 则线段 EF 长度的最小值是　 　.
【答案】（1）；；；
（2）解： ， ， ，
，
，
，
，
，，
即 ，；
（3）证明：连接 BO 并延长交 于点 D，连接 DC，
∵BD 是 的直径，
在 中，，
，
，
即 ；
由 (1) 可知：，
.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；圆周角定理的推论；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：(4)由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，，
∴，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知，
∴在Rt△EOH中，，
由垂径定理可知，
故答案为：.
【分析】(1)根据探究过程，构造直角三角形，然后在不同的直角三角形中，根据三角函数的定义，解直角三角形即可得到BE的长，然后即可得到结论；
(2)首先利用三角形的内角和定理，得到∠C的度数，然后利用(1)中的结论，即可得到a，b的值；
(3)首先根据圆周角定理的推论，得到△BDC为直角三角形，然后利用(1)中的结论，得到，进而得到要证明的结论；
(4)首先由垂线段最短求出AD的最小值，然后根据垂径定理和圆周角定理，结合(1)中的结论建立EF与直径AD的数量关系，进而代入求得EF的最小值.
34．（2025·烟台）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系.
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系　 　；
（2）【类比探究】
如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）；
（3）【拓展延伸】
如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为　 　（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
【答案】（1）
（2）解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
答：PA2的长度约为37；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
（1）思路一：如图2所示，延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
、
，即
思路二：如图3所示，分别过点A2作PA1和PA3的垂线段A2M和A2N.
四边形A1A2A3A4是正方形
、
四边形A2MPN是矩形
四边形A2MPN是正方形
即
(3)解：如图所示，延长PA3至Q，使A3Q=PA1，连接A2Q，过A2作，垂足为点O.
由（1）知：
【分析】（1）思路一是延长PA3至Q，使A3Q=A1P，连接A2Q，由手拉手全等模型可证，从而利用全等的性质可证是等腰直角三角形，即把 与分别转化到这个等腰直角三角形的斜边与直角边上即可；思路二也利用手拉手模型可证，利用全等的性质可证四边形A2MPN是正方形，从而把与转化到这个正方形的边和对角线上，利用勾股定理或45度角的三角函数依然可证结论成立；
（2）由于正五边形的内角可直接求得，因此可利用思路一构造全等三角形，进而可得等腰三角形PA2Q，再利用等腰三角形三线合一作底边上的高，再解直角三角形即可；
（3）解法同（2）.
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