专题26 概率-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的的结果有2种
∴相邻两个方格所涂颜色不同的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出相邻两个方格所涂颜色不同的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
3．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
4．（2025·武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如图，画出树状图
共有6中等可能的结果，其中两球上金额的和为50的结果有2中
∴两球上金额的和为50元的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两球上金额的和为50的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．（2025·武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是( )
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：向上两面的数字和为5为随机事件，不符合题意；
B：向上两面的数字和大于1为必然事件，符合题意；
C：向上两面的数字和大于12为不可能事件，不符合题意；
D：向上两面的数字和为偶数为随机事件，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·兰州） 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将所有结果列表格如下：
a e i
d da de di
t ta te ti
l la le li
所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为.
故答案为：A .
【分析】先用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可解答.
7．（2025·贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着抛掷次数增加，“正面朝上” 的频率逐渐稳定在0.55附近，所以抛掷这枚棋子出现 “正面朝上” 的概率约为0.55.
故答案为：B.
【分析】依据大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，观察表格中随着抛掷次数增加，频率趋近于0.55，从而估计概率.
8．（2025·山东）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
10．（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
美 丽 山 河
美 / （美丽） （美山） （美河）
丽 （美丽） / （丽山） （丽河）
山 （美山） （丽山） / （山河）
河 （美河） （丽河） （山河） /
共有12种等可能结果，抽到（丽山）的结果有2种
故答案为：B.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
二、填空题
11．（2025·攀枝花） 在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
12．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
13．（2025·黑龙江）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，
树状图分析如下：
∴ 让两盏灯泡同时发光的概率 =
故答案为：.
【分析】首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，然后根据树状图分析可得所有机会均等的结果有6种，能让两盏灯泡同时发光的有2种，故而根据概率计算公式可得出答案。
14．（2025·安徽） 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）. 现从质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，
列树状图如下
一共有12种结果数，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的有4种情况，
∴P（天平恢复平衡）
故答案为： .
【分析】设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及天平恢复平衡的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
16．（2025·浙江）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得
1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故填：.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
三、解答题
17．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 ；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
18．（2025·东营）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
（4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
【答案】（1）解：调查总人数为：（人）；
选择B人数为：（人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
（2）解：，
答：B部分扇形所对应的圆心角为
（3）解：（人），
答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）解：由题意，列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先找到B部分所占的比例，再计算圆心角的度数即可解答；
（2）先找到选择D小组的比例，再根据样本估计总体的运算乘以总数3600，计算即可解答；
（3）根据列表法求事件的概率，先列出表格得到共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，再由概率公式计算即可解答.
19．（2025·达州） 项目调研
项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员 数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
【答案】（1）90°
（2）解： (人)
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人
（3）解：列表如下：
甲乙 B C D
C BC CC DC
D BD CD DD
共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有2种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为20÷10%=200（名），D：200×15%=30（名），A：200-50-40-30-10=60（名），
条形统计图补充为：
B研学基地人数对应的扇形圆心角度数 ：360°×=90°.
故填：90°.
【分析】 （1）根据E组人数和所占的百分比得到参加研学的总人数，再计算出D组和A组人数，则可补全条形统计图，然后计算B组所对应的扇形圆心角度数；
（2）用样本中参加A研学基地的学生人数所占的百分比乘以2000即可；
（3）通过列表展示所有6种等可能的结果，再找出两位同学选择相同研学基地的结果数，然后根据概率公式计算.
20．（2025·徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ；
（2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
【答案】（1）
（2）解：列树状图如下
一共有12种结果数，转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的有2种情况，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为.
答：转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1） 转动甲盘，待其停止转动后，一共有4种结果数，但指针落在A区域的的情况只有1种，
∴其概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意可知转动甲盘，待其停止转动后，一共有4种结果数，但指针落在A区域的的情况只有1种，据此列式计算即可.
（2）根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2025·西宁）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
（1）【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
【答案】（1）120
（2）96°
（3）解： （人）
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品结果共有4种，即AA，BB，CC，DD，
所以， P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)==.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形图知“冰箱贴”有36人，扇形图中“冰箱贴”占30%，因此样本容量为36÷30%=120；
(2)样本容量为120，已知“冰箱贴”36人、“创意摆件”12人、“手机挂件”40人，故“玩偶”人
数为120-36-12-40-32人，
则“玩偶”对应扇形的圆心角为；
故答案为：120，96°；
【分析】(1)利用“冰箱贴”的人数及其在扇形图中的占比，通过“部分数量÷对应百分比”计算样本容量；
(2)先求出“玩偶”的人数，再根据“圆心角=（玩偶人数÷样本容量）×360°”计算圆心角；
(3)先求样本中“手机挂件”的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计全校喜爱手机挂件的人数；
(4)根据题意画出树状图，然后用满足条件的结果除所有可能出现的结果即可得到概率.
22．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
23．（2025·长春）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】解： 由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
24．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为 ▲ 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ▲ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．
【答案】（1）200，144
（2）解： A类软件的数量为200-80-20-40=60人，
补全条形统计图为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中 使用A、B两类软件各1人的有6种，
∴ 恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A类软件所占圆心角为，
故答案为：200，144；
【分析】（1）根据使用D软件的人数除以占比求出总人数，然后利用A软件人数占比乘以360°计算圆心角即可；
（2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
25．（2025·内江） 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）12；60
（2）解：3000×12/60=600(人)，
答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，
∴甲、乙两人被同时选中的概率为.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%=60(人)，
∴m=60-24-14-10=12，人)，
扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°×=60°，
故答案为：12，60；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩B等级的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查抽取的总人数，进而根据成绩四个等级的人数之和等于本次调查的总人数可求出成绩A等级的人数m的值；再用360°乘以成绩D等级的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角；
（2）用该校参加此次选拔赛的总人数乘以样本中成绩A等级的人数所占的百分比即可估计出该校此次选拔赛中成绩等级为A的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
26．（2025·德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块.灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查(每人只能选择一项)，用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表：
主题板块 频数(满意人数) 频率(所占比例)
A 180 0.36
B a 0.20
C 75
D b c
E
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么 若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数；
（3）若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
【答案】（1）a=100；b=145；c=0.29.
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块.
200000×0.36=72000(人).
答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人.
（3）画树状图如图：
∴P(一男一女)
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）180÷0.36=500，∴a=500×0.20=100人；
b=500-180-100-75=145人，
c=145÷500=0.29；
【分析】（1）先根据A主题板块人数除以频率求出考察总人数，然后让考查总人数乘以B主题板块的频率求出a的值；再运用总人数减去A，B，C的人数求出b的值，用b的值除以500求出c即可；
（2）用200000乘以A板块的频率计算解题；
（3）列树状图的到所有等可能结果数，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
27．（2025·烟台）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为（分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）
（2）乙
（3）解：列表得：
男 女1 女2
男 / 一男一女 一男一女
女1 一男一女 / 两女
女2 一男一女 两女 /
答：
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）甲社团的中位数=、乙社团的中位数=
成绩为“8分”的学生在乙社团中成绩更排名
【分析】
（1）观察甲社团的成绩可得成绩为“10分”的同学有2名，由乙社团的加权平均数计算公式知成绩为“7分”的同学有12名，再补全条形统计图即可；
（2）观察条形统计图可知甲乙两个社团的成绩已按照从小到大的顺序排列，甲社团中第20名和第21名均落在“8分”这一组，则甲的中位数为“8分”；乙社团中第20名为“7分”，第21名为“8分”，则乙的中位数为“7.5分”，则成绩为“8分”的学生在乙社团中排名更靠前；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
28．（2025·遂宁） DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【答案】（），，；
（）B组的人数为 (人)。
补全频数分布直方图如图所示.
模型设计成绩的频数分布直方图
(人)。
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)学生的模具设计成绩.
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
∴成绩的中位数是( (分)。
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为
故答案为： 50， 83.5，
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用 乘以C的人数所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B组的人数，补全频数分布直方图即可.
(3)根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案.
1 / 1专题26 概率-2025年精选中考真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2025·武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是( )
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
6．（2025·兰州） 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·攀枝花） 在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是 ．
12．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 .
13．（2025·黑龙江）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为 ．
14．（2025·安徽） 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）. 现从质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
15．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
16．（2025·浙江）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
三、解答题
17．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 ；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
18．（2025·东营）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
（4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
19．（2025·达州） 项目调研
项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员 数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
20．（2025·徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ；
（2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
21．（2025·西宁）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
（1）【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
22．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
23．（2025·长春）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
24．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为 ▲ 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ▲ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．
25．（2025·内江） 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
26．（2025·德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块.灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查(每人只能选择一项)，用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表：
主题板块 频数(满意人数) 频率(所占比例)
A 180 0.36
B a 0.20
C 75
D b c
E
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么 若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数；
（3）若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
27．（2025·烟台）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为（分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
28．（2025·遂宁） DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的的结果有2种
∴相邻两个方格所涂颜色不同的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出相邻两个方格所涂颜色不同的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如图，画出树状图
共有6中等可能的结果，其中两球上金额的和为50的结果有2中
∴两球上金额的和为50元的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两球上金额的和为50的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：向上两面的数字和为5为随机事件，不符合题意；
B：向上两面的数字和大于1为必然事件，符合题意；
C：向上两面的数字和大于12为不可能事件，不符合题意；
D：向上两面的数字和为偶数为随机事件，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将所有结果列表格如下：
a e i
d da de di
t ta te ti
l la le li
所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为.
故答案为：A .
【分析】先用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可解答.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着抛掷次数增加，“正面朝上” 的频率逐渐稳定在0.55附近，所以抛掷这枚棋子出现 “正面朝上” 的概率约为0.55.
故答案为：B.
【分析】依据大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，观察表格中随着抛掷次数增加，频率趋近于0.55，从而估计概率.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
9．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
10．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
美 丽 山 河
美 / （美丽） （美山） （美河）
丽 （美丽） / （丽山） （丽河）
山 （美山） （丽山） / （山河）
河 （美河） （丽河） （山河） /
共有12种等可能结果，抽到（丽山）的结果有2种
故答案为：B.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
11．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
13．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，
树状图分析如下：
∴ 让两盏灯泡同时发光的概率 =
故答案为：.
【分析】首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，然后根据树状图分析可得所有机会均等的结果有6种，能让两盏灯泡同时发光的有2种，故而根据概率计算公式可得出答案。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，
列树状图如下
一共有12种结果数，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的有4种情况，
∴P（天平恢复平衡）
故答案为： .
【分析】设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及天平恢复平衡的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得
1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故填：.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
17．【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：调查总人数为：（人）；
选择B人数为：（人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
（2）解：，
答：B部分扇形所对应的圆心角为
（3）解：（人），
答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）解：由题意，列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先找到B部分所占的比例，再计算圆心角的度数即可解答；
（2）先找到选择D小组的比例，再根据样本估计总体的运算乘以总数3600，计算即可解答；
（3）根据列表法求事件的概率，先列出表格得到共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，再由概率公式计算即可解答.
19．【答案】（1）90°
（2）解： (人)
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人
（3）解：列表如下：
甲乙 B C D
C BC CC DC
D BD CD DD
共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有2种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为20÷10%=200（名），D：200×15%=30（名），A：200-50-40-30-10=60（名），
条形统计图补充为：
B研学基地人数对应的扇形圆心角度数 ：360°×=90°.
故填：90°.
【分析】 （1）根据E组人数和所占的百分比得到参加研学的总人数，再计算出D组和A组人数，则可补全条形统计图，然后计算B组所对应的扇形圆心角度数；
（2）用样本中参加A研学基地的学生人数所占的百分比乘以2000即可；
（3）通过列表展示所有6种等可能的结果，再找出两位同学选择相同研学基地的结果数，然后根据概率公式计算.
20．【答案】（1）
（2）解：列树状图如下
一共有12种结果数，转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的有2种情况，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为.
答：转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1） 转动甲盘，待其停止转动后，一共有4种结果数，但指针落在A区域的的情况只有1种，
∴其概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意可知转动甲盘，待其停止转动后，一共有4种结果数，但指针落在A区域的的情况只有1种，据此列式计算即可.
（2）根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）120
（2）96°
（3）解： （人）
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品结果共有4种，即AA，BB，CC，DD，
所以， P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)==.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形图知“冰箱贴”有36人，扇形图中“冰箱贴”占30%，因此样本容量为36÷30%=120；
(2)样本容量为120，已知“冰箱贴”36人、“创意摆件”12人、“手机挂件”40人，故“玩偶”人
数为120-36-12-40-32人，
则“玩偶”对应扇形的圆心角为；
故答案为：120，96°；
【分析】(1)利用“冰箱贴”的人数及其在扇形图中的占比，通过“部分数量÷对应百分比”计算样本容量；
(2)先求出“玩偶”的人数，再根据“圆心角=（玩偶人数÷样本容量）×360°”计算圆心角；
(3)先求样本中“手机挂件”的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计全校喜爱手机挂件的人数；
(4)根据题意画出树状图，然后用满足条件的结果除所有可能出现的结果即可得到概率.
22．【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
23．【答案】解： 由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
24．【答案】（1）200，144
（2）解： A类软件的数量为200-80-20-40=60人，
补全条形统计图为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中 使用A、B两类软件各1人的有6种，
∴ 恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A类软件所占圆心角为，
故答案为：200，144；
【分析】（1）根据使用D软件的人数除以占比求出总人数，然后利用A软件人数占比乘以360°计算圆心角即可；
（2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
25．【答案】（1）12；60
（2）解：3000×12/60=600(人)，
答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，
∴甲、乙两人被同时选中的概率为.
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%=60(人)，
∴m=60-24-14-10=12，人)，
扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°×=60°，
故答案为：12，60；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩B等级的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查抽取的总人数，进而根据成绩四个等级的人数之和等于本次调查的总人数可求出成绩A等级的人数m的值；再用360°乘以成绩D等级的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角；
（2）用该校参加此次选拔赛的总人数乘以样本中成绩A等级的人数所占的百分比即可估计出该校此次选拔赛中成绩等级为A的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
26．【答案】（1）a=100；b=145；c=0.29.
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块.
200000×0.36=72000(人).
答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人.
（3）画树状图如图：
∴P(一男一女)
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）180÷0.36=500，∴a=500×0.20=100人；
b=500-180-100-75=145人，
c=145÷500=0.29；
【分析】（1）先根据A主题板块人数除以频率求出考察总人数，然后让考查总人数乘以B主题板块的频率求出a的值；再运用总人数减去A，B，C的人数求出b的值，用b的值除以500求出c即可；
（2）用200000乘以A板块的频率计算解题；
（3）列树状图的到所有等可能结果数，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
27．【答案】（1）
（2）乙
（3）解：列表得：
男 女1 女2
男 / 一男一女 一男一女
女1 一男一女 / 两女
女2 一男一女 两女 /
答：
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）甲社团的中位数=、乙社团的中位数=
成绩为“8分”的学生在乙社团中成绩更排名
【分析】
（1）观察甲社团的成绩可得成绩为“10分”的同学有2名，由乙社团的加权平均数计算公式知成绩为“7分”的同学有12名，再补全条形统计图即可；
（2）观察条形统计图可知甲乙两个社团的成绩已按照从小到大的顺序排列，甲社团中第20名和第21名均落在“8分”这一组，则甲的中位数为“8分”；乙社团中第20名为“7分”，第21名为“8分”，则乙的中位数为“7.5分”，则成绩为“8分”的学生在乙社团中排名更靠前；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
28．【答案】（），，；
（）B组的人数为 (人)。
补全频数分布直方图如图所示.
模型设计成绩的频数分布直方图
(人)。
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)学生的模具设计成绩.
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
∴成绩的中位数是( (分)。
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为
故答案为： 50， 83.5，
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用 乘以C的人数所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B组的人数，补全频数分布直方图即可.
(3)根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案.
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