5.1直线与圆的位置关系 课件(共28张PPT) 高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

(共28张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
前面我们学习了直线的方程和圆的两种类型的方程。
我们知道利用直线的方程可以研究两条直线的位置关系.
本节我们将类比用直线方程研究两条直线位置关系的方法，
进一步学习如何利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.5.1 直线与圆的位置关系
1.理解并掌握直线与圆的位置关系的两种判断方法；（重点）
2.会求过一个定点的圆的切线方程；（重点）
3.当直线与圆相交时，会求直线被圆截得的弦长；（重点）
4.掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用．（难点）
复习回顾：初中学过的平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
相交
相切
相离
（1）
（3）
（2）
课堂探究
怎样判断直线与圆的位置关系？
你能利用直线和圆的方程来判断直线和圆的位置关系吗？
先来看一个具体的例子.
(有两个公共点）
(有一个公共点）
(没有公共点）
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
解1:(代数法)
判断直线与圆位置关系的方法：
(1) 代数法：
① △＞0
消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程.
利用一元二次方程的判别式△确定解的情况, 判断直线与圆位置关系：
直线l与圆C相交；
方程有两不等实根
② △＝0
直线l与圆C相切；
方程有两个相等实根
③ △＜0
直线l与圆C相离.
方程无实数根
在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过方程组
若相交, 可以由方程组(1)解得两交点坐标利用两点间的距离公式求得弦长.
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
解2:(几何法)
x
O
y
6
2
1
B
A
d
l
C

③ d＞r
已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有
① d＜r
直线l与圆C相交；
② d＝r
直线l与圆C相切；
直线l与圆C相离.
判断直线与圆位置关系的方法：
(2) 几何法：
根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长.
x
y
O
A
B
d
C
若直线l与圆C相交, 则弦长公式为
r
直线与圆相交时弦长的两种求法：
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
其中k为直线l的斜率, a是方程组消元后的二次方程的二次项系数, 是判别式.

x
O
y
l
C
d
A
B
r
例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程.
解1:(几何法)

-1
x
O
y
1
1
2

P(2,1)
r
例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程.
解2:(代数法)

-1
x
O
y
1
1
2

P(2,1)
r
变式： 过点P(1, 2)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程.

-1
x
O
y
1
1
2

P(1,2)
r
解：当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x=1,易知圆心到此直线的距离等于半径，所以直线x=1为圆的一条切线
当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y-2=k(x-1)
即kx-y-k+2=0
综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+5=0
巩固训练1：
1. 过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的
切线方程为_________________.
x=3或4x-3y-15=0
2. 过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的
切线方程为____________.
3x－y＝0

x
O
y

P(3,-1)
C(4,2)

x
O
y
C(4,2)
P(3,-1)
(1)求过已知点的圆的切线的方法
①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．
②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解.　
总结：
过圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2上一点M(x0 , y0)的切线方程：
补充结论：
P(x, y)
y
x
O
C(a, b)
特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0 , y0)的切线方程：
P(x, y)
y
x
O
1. 判断下列各组直线l与圆C的位置关系, 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
解:(1)
2. 已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切, 求圆C的方程.
3. 判断直线2x－y＋2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
消去y（或x）
几何方法
代数方法
复习回顾：判断直线和圆的位置关系
|AB|
解得：
所以，圆的方程为：
点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有
把 的横坐标 代入
圆的方程得：
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m)
答：支柱A2P2的高度约为3.86米。
那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2，
解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r
A
B
P
A1
A2
A3
A4
P2
O
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
x
y
思考：不建立坐标系,如何解决这个问题 由此比较综合法与坐标法的特点。
C
B
H
作
即
得
在
中，
得
又
在
中
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
解法如下
C
B
H
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险

港口

轮船

解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
联立直线l与圆O的方程，消去y，得
由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.
x
y
O
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步：建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题;
第二步：通过代数运算, 解决代数问题;
第三步：把代数运算的结果“ 翻译”成几何结论.
思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？
1. 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程.
A
B
P
O
x
y
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有
故所求圆拱的方程为
解得
2. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m. 这条船能否从桥下通过
A
B
P
O
x
y
C
F
E
D
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有
故所求圆拱的方程为
解得
把点D的横坐标x=5 代入上式，得
因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1，
所以该船可以从船下穿过.
3. 在一个平面上, 机器人从与点C(5, －3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行, 在行进过程中保持与点C的距离不变, 它在行进过程中到过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少
2
2
l
B(0,12)

C(5,-3)
x
O
y

A(-10,0)

解：依题意得, 机器人在以C(5,－3)为圆心, 9为半径的圆上运动, 其圆的方程为
经过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线方程为
∴点C到直线AB的距离为
∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d-r＝4.44,
最远距离为d+r＝22.44.