21.2.1 配方法 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
练基础
知识点1 解形如x =p的方程
1(辽宁大连庄河期末)一元二次方程： 的根是 ( )
2下列方程中无实数根的是 ( )
A. x =0 C.-x +4=0
3关于x的方程：
(1)当p>0时，方程有 的实数根；
(2)当p=0时，方程有 的实数根；
(3)当p<0时,方程 .
4(广西柳州柳江一模)一元二次方程 的解是 .
5解下列方程：
知识点2 解形如(mx+n) =p(m≠0)的方程
6一元二次方程( 可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+3=5，则另一个是
7(河北保定雄县期末)若( 则x=
8(上海杨浦期中)已知关于x的方程(x-1) =5-k没有实数根，那么k的取值范围是 .
9(教材P6练习改编)解下列方程：
(2)(2y-3) =16;
(4)(2x+3) =(3x+2) .
练素养
10 (易错题)已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x- 的根，则此三角形的周长为 ( )
A.17 B.11 C.15 D.11或15
11(浙江杭州校级期中)若一元二次方程( (ab>0)的两个根是m+1与2m-7,则m的值是 .
第2课时用配方法解一元二次方程
练基础
知识点1 配方
1(易错题)若代数式： 是完全平方式，则k的值为 ( )
A.3 B.0 C.6 D.±6
2用适当的正数填空：
知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
3把一元二次方程 配方，需在方程两边加 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
4(山西朔州山阴期末)用配方法解方程： 5=0时，配方结果正确的是 ( )
5用配方法解方程：
解：移项，得 .
配方，得 .
即 开方，得 ，
6(江苏镇江期末)对方程 进行配方，得 其中m= .
7(教材P7例2改编)解下列方程：
(4)x(x+1)=1.
知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
8(山东淄博张店期末)用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是 ( )
9(江苏南京校级阶段练习)用配方法将方程 变形为 的形式为 .
10(安徽淮南阶段练习)关于x的方程 q=0通过配方变形为 则 pq=
11解下列方程：
练提升
12 已知 10c=7,c -6a=-27,则a+b+c的值是 ( )
A.-5 B.10 C.0 D.5
13 小刚用配方法解 得 则b等于 ( )
A.-6 B.-3 C.6 D.3
14 若方程 可以通过配方写成 的形式，那么 可以配成 ( )
A. a(x-n+5) =1 B. a(x+n) =1
C. a(x-n+5) =11
练素养
15(湖北荆州中考)已知:a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程
16 新趋势 材料阅读题大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方，现请你阅读方程(1)的解法，并按照此方法解方程(2).
方程((1):
解：移项，得
配方，得(
即
由此可得
方程(2):
微专题1配方法的妙用————配方法求代数式的最值
【方法指导】“配方法”是解决最值问题的一种重要方法.求二次式的最值时，可以通过拆项或添项的方法，恒等变形得到完全平方式，令该完全平方式等于0，便可确定代数式的最值.例： 由 的非负性，知当x=1时，多项式 有最小值1.则对于多项式 当x= 时，有最小值是 .
解析：
∴x=1时,有最小值是-1.
答案:1 - 1
【针对训练】
1.(广西贵港桂平期中)不论x，y取何有理数， 的值均为 ( )
A.正数 B.零
C.负数 D.非负数
2.(四川成都校级期中)当a= 时，代数式 有最小值为 .
3.(四川成都金牛期中)多项式 的最大值为
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1. B
2. D解析：选项D中方程移项，得：x =-9,由于没有任何一个实数的平方是-9，所以D中方程无实数根.
3.(1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无实数根
或 解析：整理方程，得 解得 即 或
5.解:(1)移项,得
根据平方根的意义，得x=±13,即
(2)二次项系数化为1，得
根据平方根的意义，得 即
(3)移项,得x =-144.
因为实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根.
(4)移项、合并同类项，得
二次项系数化为1，得
根据平方根的意义，得 即
6. x+3=-5
7.1或3 解析:根据题意,得x-2=±1,解得x=1或x=3.
8. k>5解析：由“实数的平方不会是负数”，知当5-k<0，即k>5时，方程没有实数根.
9.解:(1)开平方,得x-1=±7.所以
(2)开平方,得2y-3=±4.所以
(3)整理,得(
开平方，得：x+2=±4,即
(4)开平方,得22x+3=3x+2,或2x+3=-3x-2,解得
10. C 解析:∵(x-3) =4,∴x-3=±2,∴x =5,x =1.若第三边的长是5，则三角形的三边长分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15;若第三边的长是1,1+4<6,则不能构成三角形.故此三角形的周长是15.
易错点 易忘记用三角形的三边关系验证.
11.2解析：解一元二次方程( 得 故方程的两个根互为相反数，即m+1=-(2m-7),解得m=2.
第2课时 用配方法解一元二次方程
1. D 解析:
易错点 本题易因思维定式而漏掉k=-6的情况.
2.(1)4 2 (2)84 (3) (4)
3. C解析：方程两边加上一次项系数一半的平方，即 故选C.
4. D 解析:
则 即(x-3) =14.
解析：由题意得
7.解:(1)移项,得:
配方，得 即
由此可得x+1=±2.
所以
(2)由原方程，得
配方，得
即
由此可得 或
所以
(3)移项,得
配方，得 即
由此可得
解得
(4)由原方程，得
配方，得 即
由此可得
解得
8. C 解析:方程: 整理，得
配方，得 即
解析：
整理，得
配方，得 即
10.-6 解析：∵变形后的结果是
∴展开后可得
整理可得 即
∴原方程为
根据题意可得p=6,q=-1,
∴pq=-6.
11.解:(1)两边都除以4,得
移项，得
配方，得 即
由此可得
所以
(2)两边都除以3，得
移项，得
配方，得 即
由此可得
所以
(3)移项,得
两边都除以2，得
配方，得 即
由此可得
所以
(4)两边都除以6，并移项，得
配方，得
即
由此可得
所以
12. C 解析:由a -4b=-18,b +10c=7,c -6a=-27,得(a -4b+ 配方得( ∴a=3,b=2,c=-5,∴a+b+c=0.故选C.
13. C解析：由配方的过程可知， 解得b=6.
14. D 解析: 依题意得n=4,-m+16a=6.
∴a(x+4) =-m+16a+5,即a(x+n) =11.故选D.
15.解:解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3,其最小整数解为-2.将a=-2代入方程: 得 配方,得(x-2) =5.
解得
16.解:配方,得(
即
所以
所以
微专题1
1. D 解析: (y+4) ,
∵(x-5) ≥0,(y+4) ≥0,
∴(x-5) +(y+4) ≥0.
2.3 - 18 解析:( ∵(a-3) ≥0,
∴当a-3=0,即a=3时,代数式 有最小值为-18.
3.10 解析:- ，故当x=2时，多项式 有最大值，最大值为10.