21.3实际问题与一元二次方程同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程
练基础
知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
1(黑龙江牡丹江中考)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛 ( )
A.8 B.10 C.7 D.9
2 新趋势 五育文化(辽宁沈阳于洪期末)学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，后来又有84名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1.现在队列表演时的列数是 .
知识点2 传播问题
3(教材P19探究1改编)有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感，若每轮传染中平均每人传染的人数相同(设为x)，则第一轮传染后患流感的人数为 ，第二轮传染后患流感的人数为 ，所以可列方程为 .
4 有一种病毒的传染性极强.某地有1人感染了此病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了此病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染此病毒.
知识点3 平均增长率问题
5 “又是一年春光好，又到植树造林时”，学校每年都组织学生参加义务植树活动，前年共植树500棵，今年共植树850棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是 ( )
C.500(1-x) =850
6“骑行戴头盔，安全有保障”，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是
知识点4 几何图形面积问题
7如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，且耕地面积为504m .若设修建的路宽为xm，则下列所列方程正确的是 ( )
A.20(30-x)=504
B.30(20-x)=504
C.(20-x)(30-x)=504
D.(20-x)(30+x)=504
8 (教材P22第9题改编)如图，在一块长为11m、宽为7m的矩形空地内修建三条宽度均匀的小路，三条小路入口处尺寸相等，其余部分种植花草.若花草的种植面积为60m ，则小路宽为 m.
9(山东德州陵城二模)如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了两扇宽为1m的小门.若花圃的面积刚好为40m ，则此时花圃AB段的长为 m.
10(辽宁沈阳沈北新区期中)如图，在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=30cm,BC=21 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动.如果点P，Q的运动速度均为1cm/s，那么运动 s时，它们相距15cm.
11 读诗歌解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜
学霸提示：三十而立，四十而不惑.
12 (山东临沂兰山期末)“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，9月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到11月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率.
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，你认为校图书馆能否接纳12月的进馆人次 并说明理由.
练素养
13 在《代数学》中记载了求方程 正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，图中阴影部分面积为33，则大正方形的面积为33+16=49，从而得到大正方形的边长为7，故x=7-4=3，即该方程的正数解为3.小明尝试用此方法解关于x的方程： c=0时，构造出如图2所示正方形.已知图2中阴影部分的面积和为39.
(1)该方程的正数解为 ；
(2)c的值为 .
21.3实际问题与一元二次方程
1. B解析：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得 解得x=10或x=-9(舍),∴共有10支队伍参加比赛.
2.15 解析：设队列增加的列数为x，则增加的行数为x+1，依题意得(8+x+1)(12+x)=8×12+84,
整理得
解得 (不合题意，舍去)，
∴12+x=12+3=15.故答案为15.
3.3+3x 3+3x+x(3+3x) 3+3x+x(3+3x)=300
4.11 1728 解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，
依题意得1+x+x(1+x)=144,
解得 (不合题意，舍去).
即每轮传染中平均一个人传染了11个人.
144×(1+11)=144×12=1728(个).
即照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有1728个人感染此病毒.
5. D
6.30%解析：设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x,由题意得23.4(1+x) =39.546,解得：x =0.3=30%, (不合题意，舍去)，所以我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是30%.
7. C
8.1解析：设小路入口处的尺寸为 xm，则种植花草部分的面积等于长为(11-x)m、宽为(7-x)m的矩形的面积,依题意得(11-x)(7-x)=60,整理得 解得 (不符合题意，舍去)，∴小路宽为1m.
9.4 解析:设AB= xm,则BC=(20-3x+2)m,依题意,得x(20-3x+2)=40,整理，得 解得
当 时,20-3x+2=12>11,不合题意,舍去;
当x=4时,20-3x+2=10,符合题意.
故答案为4.
10.9或12 解析:设运动 xs时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21-x) cm.
依题意有.
解得
故运动9s或12s时,它们相距15cm.
11.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.
根据题意,得x =10(x-3)+x,即:
解得x =5,x =6.
当x=5时，十位数字是2，即25岁，与“而立之年督东吴”不符，故舍去；
当x=6时,年龄为36.
所以周瑜去世时36岁.
12.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则10月进馆120(1+x)人次,11月进馆120(1+x) 人次.
根据题意，得
整理，得
解得x =0.5=50%,x =-3.5(不合题意，舍去).
所以进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)能接纳，理由如下：
因为120×(1+50%) =405(人次),405<450,
所以校图书馆能接纳12月的进馆人次.
解题关键点：正确理解“累计进馆570人次”的含义，即570不是11月的进馆人次，而是9月、10月、11月进馆人次的总和.
13.(1)x=3 (2)-39 解析:如题图2,先构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为 =64,
∴该方程的正数解为 把x=3代入方程得9+30+c=0,解得c=-39.