2025-2026学年浙教版八年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章）（含解析）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．8
6．如图中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（ ）

A．60 B．56 C．70 D．48
10．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ．
12．如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
13．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
14．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
15．在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ．
16．如图，在中，，点和点在直线的同侧，，连接，则的度数为 ．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)求证：；
(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？
18．（6分）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,．
(1)求证：．
(2)求证：．
19．（8分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
20．（8分）如图，已知点在线段上，分别以，为边长在上方作正方形，，点为中点，连接，，．设，．

(1)若，判断的形状为______；
(2)请用含，的式子表示的面积；
(3)若的面积为，，求的长．
21．（10分）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论．
22．（10分）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．
(1)若，且点E在线段上．
①_______，理由是________；
②若平分交于点H，求证：；
(2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明．
23．（12分）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方．
(1)如图1，平分，连接．求证：；
(2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点．
①求的度数；
②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
　【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键．
如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可．
【详解】解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴，
∵10+10=20，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设第三根木棒的长度是，
由三角形三边关系定理得到：，
故，
第三根木棒的长度是整数且不大于，
故，且x是正整数，
第三根木棒的长度是、、、、、，
小明最多可以拼出不同的三角形个数为个．
故选：C．
3．C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
即．
故选：．
4．C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可．
【详解】解：如图：
由网格可知，
∴，
由网格可知均是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故A可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故B可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故D可以证明全等，不符合题意；
如图：
由上可得，而是钝角三角形，
故与不可能全等，故C符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】作交于点，交于点，、相交于点，利用“角角边”证明，再根据全等三角形性质得到后可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质、即可得到．
【详解】解：作交于点，交于点，、相交于点，
中，，
，
，
，
是的外角，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
点在上，且，
，
即．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积
【详解】解：，
，，
的面积，
的面积的面积，
阴影的面积的面积
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
9．A
【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积．
【详解】解：连接、，过点作于点，
设，
，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
同理可得：，
是的中点，
同理可得：，
，
，
同理可得：，
四边形的面积为28，
，
，
，
故选：A．

10．D
【分析】①根据角平分线定义得出，根据平行线性质得出，从而得出，由等腰三角形的判定定理即可得到结论；②根据已知条件，不能得出全等；③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到、、的距离相等，从而得出为外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；⑤根据，于是得到，推出，即可得到结论；④由，，于是得到，即可得到结论．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
同理，
②与不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；
③过点E作于N，于D，于M，如图，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分，
设，，，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
④∵，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
⑤∵，，
∴．故④正确．
综上，①③④⑤正确，一共4个．
故选：D．
二．填空题
11．4.5
【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，求出，设，则，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：在矩形中，，，
，，
由勾股定理得：，
将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中：由勾股定理得，
∴，
解得：，
的长为，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
，
；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或．
13．3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，

当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
14．
【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明 ，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长到点，使，连接，
在中，为边的中线，
，
在和中，
，
，
，，
为上一点，连接并延长交于点，，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
15．，或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】解：在锐角中，为边上的高，
，，
如图1，当时，此时，满足锐角三角形，
；
如图2，当时，此时，
，满足锐角三角形，，
；
如图3，当时，此时，
，，满足锐角三角形，
；
综上可知，的度数为，或，
故答案为：，或．
16．30°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=，
∴∠ADB=30°．

三．解答题
17．（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
18．（1）证明：延长相交于H．
∵，
∴．
∴．
（2）过A作于G．
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴平分，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，而，
∴，
∴．
19．（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
20．（1）解：为等腰三角形，
理由如下：四边形，是正方形，
，，，
，
，
，
点为中点，
，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
即，
为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2），点为中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得，，
的面积为，，
，，
解得．
．
21．解：（1）当时，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示：
（2），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
，
，
，、分别是和的角平分线，与相交于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（1）①∵，
∴，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明：平分，
，
，，
，，
，
又，
，
．
平分，
，
，
．
（2），理由如下：
，分别平分，，
设，，
，
即，①
，
即，②
由①②，得，
即．
23．（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②在上取点，使，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
由①知，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
，
底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米．