2025-2026学年苏科版九年级数学上册期中测试卷（1-4章）（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册期中测试卷（1-4章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．关于的方程有实数根，那么的可能值是（ ）
A．4 B．2 C．0或2 D．0或1
2．如图，是的直径，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．七年级一班40名同学课外阅读时间统计图如图所示，那么该班40名同学课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）．
A．9 ，10 B．9，9 C．14，9 D．14，8.5
4．如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．背面图案、形状大小都相同的五张卡片的正面分别记录着一些命题．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的命题为真命题的概率是（ ）
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是最简二次根式． 函数函数值y随x的增大而减小． 调查某班50人的数学成绩，总体是50人． 两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稳．
A． B． C． D．
8．已知 则 的最小值是（　　）
A． B．0 C．3 D．6
9．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？ （填“甲”或“乙”）
12．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
13．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
14．如图，内接于，为的直径，，，则 ．
15．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
16．如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
(1)． (2)．
18．（6分）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G．
(1)求证：；
(2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径．
19．（6分）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图．
意愿参加课程人数统计表
课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作
人数 10 8 15
(1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人；
(2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？
(3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22．（9分）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒．
(1)当________秒时，四边形为矩形．
(2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
(3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
23．（9分）如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方的顶点叫做格点，、、三个点在格点上，经过、、三点，用无刻度直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，直接写出的形状，是__________，画的圆心；
（2）如图2，在弧上找一点，使，画弦，使得．
24．（10分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
25．（10分）（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，则_______．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解．
【详解】解：当时，关于的方程是有实数根，
当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根，
∴，且，
解得：且，
综上所述：整数的值可能是或．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用平行线的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，最后由等腰三角形性质求．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查中位数、众数，从统计图中得到相关信息是解题的关键．
通过数据分析与处理，得到中位数与众数即可．
【详解】根据图形可知，出现次数最多的是9，所以众数为9，
共40个数字，中位数为第20,21位的均值，由统计图可知第20,21位都为9，
所以中位数为9．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可．
【详解】解：设，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，
∴当时，函数值，
∴，
对于一元二次方程，解得，，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，过作于点，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差等知识点，理解有关的定义及定理是解题的关键．
根据命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差逐项判断即可．
【详解】解：第一个命题：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．”垂径定理的逆命题需满足“弦不是直径”．若弦为直径，平分它的另一条直径未必垂直，故命题不成立．
第二个命题：“是最简二次根式．”是三次根式，而“二次根式”特指根指数为2的根式，因此命题错误．
第三个命题：“函数的函数值y随x的增大而减小．”反比例函数在每一象限内y随x的增大而减小，但未限定象限，整体定义域内不满足，故命题错误．
第四个命题：“调查某班50人的数学成绩，总体是50人．”总体应为“50人的数学成绩”，而非“50人”，命题错误．
第五个命题：“两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稳．”方差越小，数据波动越小，稳定性越高，命题正确．
综上，真命题仅1个，概率为，对应选项A．
故选A．
8．D
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可．
【详解】解：∵，，且，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，，
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴时，有最小值，且为，
故选：D．
9．C
【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵，点D为弦的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案为C．
10．C
【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
【详解】解：如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：C．
二、填空题
11．甲
【分析】
先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可．
【详解】
解：=（7+6+9+6+7）÷5=7（环），
=（5+9+6+7+8）÷5=7（环），
=[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2，
=[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2，
∵1.2＜2，
∴甲的成绩较为稳定，
故答案为：甲．
12．
【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：35．
13．20
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
14．15
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
16．
【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度．
【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，是的中点，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
，
，
，
所以方程的解为．
18．（1）证明：连接．
∵，，
∴，，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设，则，
，．
由（1）得
在中，，
∴
∴或（舍去），
∴，即⊙O的半径为13．
19．（1）解：（人）
（人）
故答案为：，．
（2）解：（人）
答：全校参加科幻画创作的学生有人．
（3）解：画树状图如下：
∴．
答：恰好抽到一名男生一名女生的概率．
20．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴，
∴，
∴．
（2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足．
理由如下：假设满足题意的k的值存在．
∵
∴，，
∵，
∴，
∴．
由（1）得，
∵不在的范围内
∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足．
21．（1）证明：连接，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
22．（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同．
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴则，
根据题意得，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴当时，四边形为矩形，
，
解得，
∴秒时，四边形为矩形，
故答案为：4；
（2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，
连接、，
∵点、分别从点、同时出发，速度相同，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形
在中，，，
∴
即
解得，
∴运动时间为时，四边形为菱形．
（3）点和点的距离可以是，
过点作于点，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，有，
即，
解得，．
∴当运动时间为或时，点和点的距离是．
23．解：（1）由题意得：AB= ， AC= ， BC=
∴
∴是直角三角形，
∵是直角的外接圆；
∴的圆心为AC的中点；
圆心即为所作，
（2）延长AB到D点，再连接CD，交于E点，再取格点 连接 延长交于 连接 则为所求作的点，为所求作的直线，
∵由正方形的性质可得：BF⊥AC，AC是直径
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即为所作．
24．（1）解：总人数：（人），
D组人数：；如图：
A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54；
（2）解：去海洋馆：（人）
答：该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
∴甲班10名学生的成绩的平均数：，
甲班10名学生的成绩的众数：90；
甲班10名学生的成绩的中位数：，
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
25．（1）证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
由（2）知：四边形为菱形，
∴设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴．