22.3实际问题与二次函数 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数
练基础
知识点1 二次函数的最值
1 原创题 五育文化实心球是中考体育考试项目之一，讲究力量性和动作速度.我们发现，实心球在空中运行的轨迹可以近似看成是抛物线.已知某实心球运动的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系是y= 则此实心球在运动过程中距离地面的高度最大为 m.
知识点2 几何图形面积问题
2(湖北恩施州巴东期中)用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（ ）
D.250cm
3 原创题 生产生活接种疫苗后，极少数人可能会出现急性过敏反应、晕厥等情况，因此接种者须在接种单位指定区域留观半小时.如图，某医院用一段长为50m的警示带围出一个一边靠墙的矩形封闭区域作为疫苗接种观察区，已知墙长为25m(靠墙面无需使用警示带)，则能围出的最大面积为 （ ）
A.312m
C.25m D.625m
4 (教材P52第6题改编)如图，从长宽比为2：1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在 .
5(广东揭阳普宁期末)用长12m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，那么这个窗户的最大透光面积是 (中间横框所占的面积忽略不计).
知识点3 销售中的利润问题
6(山西吕梁柳林期中)某种商品每天的销售利润y(单位：元)与单价x(单位：元)之间的函数关系式为y=-0.1(x-3) +25,!则这种商品每天的最大利润为 ( )
A.0.1元 B.3元
C.25元 D.75元
7 “一人一盔安全守规，一人一带平安常在！”某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 （ ）
A.60元 B.65元
C.70元 D.75元
8(山东淄博沂源期中)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用为800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的费用就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是 ( )
A.56 B.55 C.54 D.53
9(教材P51第2题改编)商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天销售量w(单位：个)与销售单价x(单位：元)满足w=-2x+80(20≤x≤40),设销售这种帽子每天的利润为y(单位：元)，则y与x之间的函数关系式为 (20≤x≤40);当销售单价定为 元时，每天的利润最大.
知识点4 |生活中的抛物线形问题
10 中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为y= ，当水面离桥顶的距离为 m时，水面的宽度为 ( )
A.8m B.9m
C.10m D.11m
11(甘肃张掖甘州期末)某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数解析式是 .
12 原创题五育文化2022年，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，不考虑空气阻力，足球飞行的路线是一条抛物线，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表所示.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14
有下列结论：①足球飞行路线的对称轴是t=20；②足球10s时落地；③足球飞行的最大高度超过20m；④足球被踢出4~7s时，飞行的高度逐渐下降.其中正确的是 (填序号).
13如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12m，高6m.车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1m的空隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为多少米
练素养
14 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 则其面积 这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为 ( )
A. B.4 C.2 D.5
22.3实际问题与二次函数
1.3解析：由题意，得 所以 即此实心球在运动过程中距离地面的高度最大为3m.
2. B 解析：设矩形的长为 xcm，则宽为 ∴矩形的面积. =225,故矩形的最大面积是225cm .
3. B 解析:设矩形的面积为ym ,AD长为 xm,则DC长为(50-2x)m,根据题意,得 ..当 时，y最大，最大值为 此时DC=25m，符合题意，即能围出的最大面积为312.5m .
4. AD的中点 解析:设AD=1,DC=2,AE=x,则DE=1-x.设剪下的两个正方形的面积之和为y，则 当 时，y取得最小值.即点E应选在AD的中点.
5.6m 解析：设窗框的高度为 xm，则宽为 由矩形面积公式，得其面积 3) +6,∴当x=3时,S最大值为6,即最大透光面积为6m .
6. C 解析:∵-0.1<0,∴当x=3时,y有最大值,最大值为25,故选C.
7. C解析：设每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w=(80-x-50)(200+20x)=-20(x-10) +8000,
∴当x=10时,w取得最大值,此时80-x=70,即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选C.
8. B解析：设一个旅游团的人数是x，旅行社的营业额为y元，依题意得y=x[800-10(x-30)]=-10x +1 100x= 故当一个旅游团的人数是55时，这个旅行社可以获得最大营业额.
30 解析：由题意，得y=w(x-20)=
∵20≤x≤40,a=-2<0,
∴当x=30时，y有最大值，即当销售单价定为30元时，每天的利润最大.
解题关键点：销售利润=销售量×单件利润.
10. C 解析:将 代入 得 解得：x = ∴水面宽度=5-(-5)=10(m).故选C.
解析：设函数解析式为 ，由题意，得A点坐标为(-0.8,-2.4),代入y=ax ,得-2.4=a×(-0.8) ,即 故
12.③解析：设该抛物线的解析式为 将(0,0),(1,8),(2,14)代入,得 解得
∴该抛物线的对称轴是t=4.5，当t=4.5时，h取得最大值，此时 故①错误，③正确.
当h=0时,t=0或t=9,
∴足球9s时落地，故②错误.
由二次函数的性质，知足球被踢出4s~7s时，飞行的高度先上升后下降，故④错误.故正确的只有③.
13.解：建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意，得A(-6，0),B(6,0),C(0,6).
设抛物线的解析式为 把B(6,0)代入,得36a+6=0,解得
所以抛物线的解析式为
当x=4时,
所以通过隧道的车辆的高度限制应为 m.
14. C 解析:
当b=3时，S有最大值，最大值为 故选C.
核心素养将已知数据代入公式并整理，利用二次函数的性质求最值，考查了推理能力和应用意识.